2.3.1两条直线的交点坐标导学案
学习目标
能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
重点难点
重点：两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.
难点：点到直线的距离公式的推导.
课前预习 自主梳理
知识点 两条直线的交点
1．两直线的交点
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上，所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．
2．两直线的位置关系
在同一平面内的两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，直线l1与l2的位置关系如下：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( )
(2)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )
(4)点P1(0，a)和点P2(b,0)之间的距离为a－B．( )
(5)在两点间的距离公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果．( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
【详解】 (1)正确．由直线交点坐标的概念可知．
(2)错误．当m＝时，两直线平行．
(3)错误．当方程组有无数多组解时，两直线重合．
(4)错误．|P1P2|＝.
(5)正确．两点间的距离公式与坐标之差的平方有关，所以位置可以互换，不影响计算结果．
2.无论m取何实数，直线一定过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线方程得到，解得答案.
【详解】，则.
取，解得，故直线过定点,必过第三象限.
故选：C
3.两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．(,) B．(,0)
C．(0,) D．()
【答案】C
【分析】联立直线方程找到交点，根据第二象限的点解出.
【详解】由解得即两条直线的交点为，
由交点在第二象限，得,解得.
故选：C.
4.直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将两直线方程联立，解方程组即可求解.
【详解】联立方程组，解得：，
所以直线与直线的交点坐标是，
故选：.
5.无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把直线都过一个定点转化为求直线和直线的交点，联立方程组即可求解.
【详解】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．
故选：D．
新课导学 环节一创设情境，引入课题
在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引人平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式．这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等．
思考1:若点在直线上,则点的坐标与直线的方程有什么关系
思考2:直线与直线的位置关系分别如何
直线与直线的位置关系分别如何
思考3:能根据图形确定直线与直线的交点坐标吗
有什么办法求得这两条直线的交点坐标
环节二观察分析，感知概念
问题1已知两条直线,画出两条直线的图象,分析交点坐标与直线的方程有什么关系
提示 直线的图象如图所示.点既在直线上,也在直线上.满足直线的方程,也满足直线的方程.
即交点坐标是方程组的解.
环节三抽象概括，形成概念
思考4
已知两条直线相交，它们的交点坐标与直线，的方程有什么关系
你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗
设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．
所以点的坐标既满足直线的方程，
也满足直线的方程，
即点的坐标是方程组的解．
解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．
环节四辨析理解，深化概念
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
注意点：
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
环节五概念应用，巩固内化
例1求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
解：解方程组，得，所以，与的交点是(图2.3-1)．
例2判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
（1），；
（2），；
（3），．
分析：解直线的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则与相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则与重合．
解：（1）解方程组，得，所以，与相交，交点是．
（2）解方程组
得，矛盾，这个方程组无解，所以与无公共点，．
（3）解方程组，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，与重合．
思考5
你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗 比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会
用斜率判断和通过解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究两条直线的位置关系.用斜率容易判断两条直线平行或不相交（或垂直），但无法直接得出不相交时两条直线的交点坐标.教学时，要引导学生分析上述两种方法在解决具体问题时各自的特点.
环节六归纳总结,反思提升
问题2请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1．知识清单：
(1)两条直线的交点．
(2)直线系过定点问题．
2．方法归纳：消元法、直线系法．
3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．
环节七 目标检测，作业布置
备用练习
1.过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的斜率相同排除A、B；再由所过的点排除C，即可得答案.
【详解】由斜率为，而A、B中的直线斜率为，与该直线不平行，排除；
C、D中直线斜率为，对于，显然不过，而过已知点，
所以C中直线不符合，D中直线符合要求.
故选：D
2.已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则或
C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限
【答案】B
【分析】对于A选项，提出让其前面的系数为，即可验证A正确.对于B选项，当则与重合，故B错误.利用两直线垂直，即可得到，得到C正确.把直线化为斜截式方程，找到恒过定点，即可验证D正确
【详解】，，，即始终过定点，故A正确. 若，当则与重合，故B错误.或，故C正确. 当时，直线始终过点，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：B.
3.直线与的交点坐标为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】联立直线与的方程求解即可．
【详解】联立直线与的方程为，解得，故选D
【点睛】联立直线方程组成的二元一次方程组的解即为直线的交点坐标．
4.若三条直线，，相交于一点，则实数k的值为
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先求出直线，的交点P，再把交点坐标代入直线中，求得k的值．
【详解】解：设三条直线交于一点P，
则直线，交于点P，
联立，解得，即，
直线过点P，即，
故选B．
【点睛】本题考查了三线共点的问题，通常是先求两条直线相交，有一个交点，第三条直线过交点．
5.如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】求出两直线的交点坐标，代入含参数的直线方程可得参数值．
【详解】由，解得，所以，．
故选：D．
【点睛】本题考查求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标．2.3.1两条直线的交点坐标导学案
学习目标
能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
重点难点
重点：两条直线的交点坐标、点到直线的距离公式.
难点：点到直线的距离公式的推导.
课前预习 自主梳理
知识点 两条直线的交点
1．两直线的交点
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上，所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．
2．两直线的位置关系
在同一平面内的两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，直线l1与l2的位置关系如下：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 个 零个
直线l1与l2的位置关系 重合
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( )
(2)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )
(4)点P1(0，a)和点P2(b,0)之间的距离为a－B．( )
(5)在两点间的距离公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果．( )
2.无论m取何实数，直线一定过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A．(,) B．(,0)
C．(0,) D．()
4.直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B．
C． D．
5.无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
新课导学 环节一创设情境，引入课题
在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引人平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式．这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等．
思考1:若点在直线上,则点的坐标与直线的方程有什么关系
思考2:直线与直线的位置关系分别如何
直线与直线的位置关系分别如何
思考3:能根据图形确定直线与直线的交点坐标吗
有什么办法求得这两条直线的交点坐标
环节二观察分析，感知概念
问题1已知两条直线,画出两条直线的图象,分析交点坐标与直线的方程有什么关系
环节三抽象概括，形成概念
思考4
已知两条直线相交，它们的交点坐标与直线，的方程有什么关系
你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗
设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．
所以点的坐标既满足直线的方程，
也满足直线的方程，
即点的坐标是方程组的解．
解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．
环节四辨析理解，深化概念
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)：
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 一个 个 零个
直线l1与l2的位置关系 重合
注意点：
(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.
(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．
环节五概念应用，巩固内化
例1求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
例2判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
（1），；
（2），；
（3），．
思考5
你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗 比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会
用斜率判断和通过解方程组判断这两种方法都是通过代数方法研究两条直线的位置关系.用斜率容易判断两条直线平行或不相交（或垂直），但无法直接得出不相交时两条直线的交点坐标.教学时，要引导学生分析上述两种方法在解决具体问题时各自的特点.
环节六归纳总结,反思提升
问题2请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1．知识清单：
(1)两条直线的交点．
(2)直线系过定点问题．
2．方法归纳：消元法、直线系法．
3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．
环节七 目标检测，作业布置
备用练习
1.过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
2.已知直线和直线，下列说法不正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则或
C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限
3.直线与的交点坐标为
A． B． C． D．
4.若三条直线，，相交于一点，则实数k的值为
A． B． C．2 D．
5.如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
