2.3.2两点间的距离公式 导学案
学习目标
1.理解两平行线间距离的定义
2.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离
3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
重点难点
1.重点:平面上两点间的距离公式的推导与应用
2.难点:运用坐标法证明简单的平面几何问题
课前预习 自主梳理
知识点：点到直线的距离
点到直线的距离
定义 点到直线的垂线段的长度
图示
公式 (或求 法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝，即||＝|·n|(M为任意一点，n为单位向量)
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( )
(2)直线外一点与直线上任一点距离的最小值就是点到直线的距离．( )
(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )
(4)连接两条平行直线上的点，即得两平行线间的距离．( )
【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
【详解】(1)错误．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离d＝，即先将直线方程化为一般式后再运用点到直线的距离公式．
(2)正确．由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短知结论成立，这是点到直线距离的代数特征．
(3)正确．由平行线间距离的定义可知．
(4)错误．两平行线间的距离是两平行线间的垂线段长，并不是两平行直线上任意两点间的距离．
2.已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，因为，由两点间的距离公式求解即可.
【详解】因为点C在x轴上，设点，则，
所以，
化简可得：，所以.
故选：D.
3.若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据中点坐标公式即可求解.
【详解】解：设，由题知，点和点的中点为，则
解得：，
所以点的坐标为
故选：B.
4.已知两点，，则（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
【答案】B
【分析】根据两点间的距离公式计算可得.
【详解】因为，，则.
故选：B
5.设，直线过定点，直线过定点，则=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】分析可得两条直线过的两定点分别为，，利用两点间距离公式即得解
【详解】对于，当时，，即过定点，即.
对于，其方程可以写成，由，
得直线过定点，即.
所以.
故选:A
新课导学
学习探究
环节一创设情境，引入课题
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小
引导语:我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的．所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式．
环节二观察分析，感知概念
探究
如图2.3-2，已知平面内两点，，如何求，间的距离
我们用平面向量的知识来解决．如图2.3-3，由点，，得
．于是，．
问题1:此公式与两点的先后顺序有关吗
师生活动:学生思考、讨论交流.
设计意图:通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解.
环节三抽象概括，形成概念
由此得到，两点间的距离公式．
特别地，原点与任一点间的距离
问题2:当直线平行于轴时,怎么表示 当直线平行于轴时,怎么表示
师生活动:学生思考、讨论交流.
设计意图:两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题,使学生明确公式与点的顺序无关.
环节四辨析理解深化概念
问题3:你能利用，构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗 与向量法比较，你有什么体会
师生活动:学生思考、讨论交流,教师总结.
设计意图:先引导学生如何构造直角三角形,再利用分类讨论思想,使用勾股定理推导出两点间的距离公式,并与向量法的推导形成对比,让学生体会方法的不同.
环节五概念应用，巩固内化
例3已知点，，在轴上求一点，使，并求的值．
解：设所求点为，则
，
．
由，得
解得．
所以，所求点为，且
．
例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
证明：如图2.3-4，四边形是平行四边形．以顶点为原点，边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
如何由平行四边形的性质，得到点的坐标为
在中，点的坐标是，设点的坐标为，点的坐标为，由平行四边形的性质，得点的坐标为．
由两点间的距离公式，得，，，．
所以，．
所以，
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
问题4:在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题．你能回忆一下证明过程吗 比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会
上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为
思考
根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法 你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗
其实,在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中,我们曾按照向量法的“三步曲”证明过这个命题,即建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面儿何问题转化为向量问题;通过向量运算,研究几何元素之间的关系;把运算结果“翻译”成几何关系。
用坐标法解决这个问题的基本步骤与向量法完全类似,即建立平面直角坐标系,用坐标表示有关的量;进行代数运算;把代数运算的结果“翻译”成儿何结论
教学中,可以引导学生建立不同的坐标系,如根据平行四边形的对角线互相平分,以对角线的交点为原点,一条对角线所在直线为轴建立坐标系,并进行比较,让学生体验“适当的坐标系”的含义.
环节六归纳总结,反思提升
教师引导学生回顾本节知识,本节课我们学习了以下问题:
两点间的距离公式;
两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题(如根据各边长度判断三角形或四边形的形状)，根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分．
（2）用坐标法解决平面几何问题.
应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是：
第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关的量．
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
设计意图:从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结,使学生从整体上把握本节课所学的知识.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：P79习题2.3第4和12题
备用练习
1.已知点，，轴上一点满足，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件设点的坐标，由于，根据两点之间的距离公式列式求解即可得点的坐标.
【详解】解：由于点在轴上，设
又，，
所以，解得
故点的坐标为.
故选：B.
2.一条平行于轴的线段长是5个单位，它的一个端点是，则它的另一个端点B的坐标为 ( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2,－2)或(2,7)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2,－3)或(2,5)
【答案】A
【分析】由线段平行于轴可设为，结合即可求解.
【详解】∵轴，∴设为，
又，∴或7.
故选：A.
3.已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
【答案】C
【分析】先求出直线，的斜率，从而可得kAC·kBC＝－1，再求出,进而可得三角形的形状
【详解】因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.
又AC＝＝a，|BC|＝＝a，
所以△ABC为直角三角形．
故选：C
4.若直线上的点P与点的距离是2，则点P的坐标为
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】设点，利用两点距离公式列方程求解．
【详解】设点，则，解得：或
则点坐标为或，
故选D．
【点睛】本题考查两点距离公式，是基础题．
5.光线从点射到轴上，经轴反射后经过点，则光线经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先找出点关于轴的对称点，然后利用两点距离公式即可求得.
【详解】关于轴的对称点的坐标为,
则.
故选：B.2.3.2两点间的距离公式 导学案
学习目标
1.理解两平行线间距离的定义
2.会求两平行线间的距离，及应用公式求距离
3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力
重点难点
1.重点:平面上两点间的距离公式的推导与应用
2.难点:运用坐标法证明简单的平面几何问题
课前预习 自主梳理
知识点：点到直线的距离
点到直线的距离
定义 点到直线的 的长度
图示
公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d= ，即||＝ (M为任意一点，n为单位向量)
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( )
(2)直线外一点与直线上任一点距离的最小值就是点到直线的距离．( )
(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．( )
(4)连接两条平行直线上的点，即得两平行线间的距离．( )
2.已知，点C在x轴上，且，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.已知两点，，则（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
5.设，直线过定点，直线过定点，则=（ ）
A． B． C． D．1
新课导学
学习探究
环节一创设情境，引入课题
在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小
引导语:我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的．所以，在解析几何中，最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式．
环节二观察分析，感知概念
探究
如图2.3-2，已知平面内两点，，如何求，间的距离
我们用平面向量的知识来解决．如图2.3-3，由点，，得
．于是，．
问题1:此公式与两点的先后顺序有关吗
师生活动:学生思考、讨论交流.
设计意图:通过问题，使学生明确公式与点的顺序无关，从而加深对公式的理解.
环节三抽象概括，形成概念
由此得到，两点间的距离公式．
特别地，原点与任一点间的距离
问题2:当直线平行于轴时,怎么表示 当直线平行于轴时,怎么表示
师生活动:学生思考、讨论交流.
设计意图:两点间距离公式适用于两个点在平面内任意位置的问题,使学生明确公式与点的顺序无关.
环节四辨析理解深化概念
问题3:你能利用，构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间距离公式吗 与向量法比较，你有什么体会
师生活动:学生思考、讨论交流,教师总结.
设计意图:先引导学生如何构造直角三角形,再利用分类讨论思想,使用勾股定理推导出两点间的距离公式,并与向量法的推导形成对比,让学生体会方法的不同.
环节五概念应用，巩固内化
例3已知点，，在轴上求一点，使，并求的值．
例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
问题4:在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题．你能回忆一下证明过程吗 比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会
上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为
思考
根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法 你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗
其实,在必修第二册“第六章平面向量及其应用”中,我们曾按照向量法的“三步曲”证明过这个命题,即建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面儿何问题转化为向量问题;通过向量运算,研究几何元素之间的关系;把运算结果“翻译”成几何关系。
用坐标法解决这个问题的基本步骤与向量法完全类似,即建立平面直角坐标系,用坐标表示有关的量;进行代数运算;把代数运算的结果“翻译”成儿何结论
教学中,可以引导学生建立不同的坐标系,如根据平行四边形的对角线互相平分,以对角线的交点为原点,一条对角线所在直线为轴建立坐标系,并进行比较,让学生体验“适当的坐标系”的含义.
环节六归纳总结,反思提升
教师引导学生回顾本节知识,本节课我们学习了以下问题:
两点间的距离公式;
两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题(如根据各边长度判断三角形或四边形的形状)，根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分．
（2）用坐标法解决平面几何问题.
应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是：
第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关的量．
第二步：进行有关代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
设计意图:从方法以及公式两个方面对本节课的知识进行归纳小结,使学生从整体上把握本节课所学的知识.
环节七 目标检测，作业布置
完成教材：P79习题2.3第4和12题
备用练习
1.已知点，，轴上一点满足，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.一条平行于轴的线段长是5个单位，它的一个端点是，则它的另一个端点B的坐标为 ( )
A．(－3,1)或(7,1) B．(2,－2)或(2,7)
C．(－3,1)或(5,1) D．(2,－3)或(2,5)
3.已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
4.若直线上的点P与点的距离是2，则点P的坐标为
A． B．
C．或 D．或
5.光线从点射到轴上，经轴反射后经过点，则光线经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
