广东省深圳市福田区重点中学2024届高三上学期模拟数学试题（word版含解析）

数学试卷
（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）
命题人：曹亚林 审题人：李友军
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上
1．设S，T是两个非空集合，且，，令，那么等于（ ）
A．X B．T C． D．S
2．为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．点在以为焦点的椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的（ ）
A．3倍 B．4倍 C．5倍 D．7倍
7．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有两个以上是符合题目要求的，少选得2分，多选或错选得0分
9．一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是3 B．平均数是8
C．方差是11 D．方差是36
10．已知函数，则满足的整数的取值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．设是上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．
B．的图像关于直线对称
C．的一个周期为4
D．在上有7个零点
12．已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（ ）
A．一定不是正方体
B．外接球的表面积为
C．长、宽、高的值均属于区间
D．体积的取值范围为
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数，则 ．
14．曲线过坐标原点的切线的斜率为 ．
15．函数的最小值是 ．
16．已知函数，则方程有 个不相等的实数解．
四、解答题：本大题共6小题，共70分（第17题10分，第18-22题每题12分）.解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．在中，分别是的对边，．
(1)求
(2)若，求面积的最大值．
18．如图，在三棱锥中，．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
19．设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为．
(1)若，，求数列的通项公式；
(2)若．
（i）证明：；
（ii）求所有可能的数列的通项公式．
20．已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的单调区间与极值．
21．已知抛物线，过且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点
（1）求的取值范围；
（2）若线段的垂直平分线交轴于点，求面积的最大值．
22．已知函数的最大值为，且．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
1．D
【分析】结合已知条件，利用交集和并集性质即可求解.
【详解】因为，所以，
故.
故选：D.
2．B
【分析】根据复数除法运算法则和的幂运算的周期性直接求解即可.
【详解】.
故选：B.
3．A
【分析】求解给定不等式，再利用充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】不等式，不等式，
显然
“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
4．B
【解析】判断函数为奇函数排除，当时，排除得到答案.
【详解】，
，函数为奇函数，排除.
当时，，，故，排除.
故选：.
【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键.
5．A
【分析】由等比数列下标和的性质求解．
【详解】由题意得，
而各项均为正数，则，
故选：A
6．D
【分析】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解.
【详解】
由可知，，所以，
所以，
∵线段的中点M在y轴上，且原点O为线段的中点，
所以，所以轴
∴可设，
把代入椭圆，得.
∴，.
∴.
故选：D.
7．C
【分析】由复合函数的单调性与对数函数的性质列式求解．
【详解】二次函数在单调递减，在单调递增，
当时，在上单调递减，
若函数在区间上单调递减，则，与前提条件矛盾，舍去
当时，在上单调递增，
若函数在区间上单调递减，则，得，
故选：C
8．C
【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为．
【详解】圆（x-5）2+（y-1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0，
它与y=x 的交点N（3，3），
N到（5，1）距离是2，圆的半径为，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为．
故选C．
9．BD
【详解】代入平均数和方差公式，即可求解.
【分析】，，，…，的平均数为，方差为，则，，
所以数据，，…，的平均数为，
方差为.
故选：BD.
10．BCD
【分析】由函数的单调性与奇偶性转化后求解．
【详解】由题意得，故为偶函数，
而，当时，，
故在单调递增，在单调递减，
若，则，得，
即，解得
故选：BCD
11．AC
【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性的定义以及函数的零点判断各选项.
【详解】对于A，，所以，故A正确；
对于C，因为，则，
所以的一个周期为4，故C正确；
对于B，因为是上的奇函数，则，
即图像关于对称，因为周期为4，所以图像关于对称，故B错误；
对于D，由是上的奇函数，关于对称，周期为4，
又当时，，令，得，
从而作出在上的大致图像，
注意到，，
所以在上有8个零点，故D错误.
故选：AC.
12．ABD
【分析】根据题意，设长方体的长宽高分别为，由即可判断A，由即可判断B，由不等关系代入计算即可判断C，由，结合的范围，利用导数即可判断D.
【详解】设长方体的长宽高分别为，则可得，即，
又因为，所以，
由不等式可得，，当且仅当时，等号成立，
而，取不到等号，所以得不到，即该长方体一定不是正方体，故A正确；
设长方体外接球的半径为，则，即，则外接球的表面积为，故B正确；
由可得，，代入可得，，即，
因为，由基本不等式可得，
即，设，则，
则，化简可得，即，
所以，即，又因为，
则，同理可得，故C错误；
设长方体的体积为，则，且，，
即，其中，
化简可得，，，
且，，
令，则或，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
所以，当时，有极小值，且，
当时，有极大值，且，
又因为,
，所以，故D正确；
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题主要考查了基本不等式的应用以及利用导数解决立体几何中体积最值问题，难度较大，解决问题的关键在于将长方体的体积转化为关于长方体长宽高的函数关系，然后利用导数知识求解.
13．##
【分析】由指数与对数的运算法则求解．
【详解】，则，
故答案为：
14．##
【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义、斜率坐标公式列式求解作答.
【详解】设曲线过坐标原点的切线与曲线相切的切点为，
由求导得，于是，整理得，解得，
所以曲线过坐标原点的切线的斜率为.
故答案为：
15．
【分析】由基本不等式“1”的妙用求解．
【详解】
当且仅当即时等号成立，
故答案为：
16．6
【分析】令，首先分析的根的情况，进一步结合的根的情况即可得解.
【详解】首先分以下两种情形来研究函数的性态：
情形一：当时，，求导得，
令，由此可以列出以下表格：
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
且有极大值，极小值.
情形二：当时，，求导得，
令，由此可以列出以下表格：
所以在单调递减，在单调递增， 且有极小值.
综合以上两种情况，且注意到当趋于负无穷时，也趋于负无穷，
当在1的左边趋于1时，趋于，且，
当趋于正无穷时，也趋于正无穷，
由此即可在同一直角坐标系中画出与的图象如下图：
其中、、为方程的三个根，
、为方程的两个根，
由图可知，；
所以由以上分析可知方程有三个根、、，
现在只需把回代到方程中即可，
且注意到，
，
，
所以方程 、、分别有个根.
综上所述方程一共有个不同的实数根.
故答案为：6.
【点睛】关键点点睛：解题的关键在于首先利用换元法令，将问题转换为的根的情况，进一步利用导数去分析这个函数的性态，由此得出方程的根的个数，最终回代即可.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理，边化角，化简可得结果；
（2）由余弦定理结合基本不等式求解.
【详解】（1），由正弦定理，有，
，，
所以，
，又，得，又,
.
（2），，，.
当且仅当时等号成立.此时.
所以面积的最大值的为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理可得答案；
（2）取的中点，连接，，由已知条件可得为二面角的平面角，由余弦定理可得答案．
【详解】（1）取的中点，连接，，
因为，，所以， ，
且，平面，所以平面，
平面，所以 ；
（2）取的中点，连接，，
因为，所以，
因为，所以，可得，，
因为，所以，，
所以为二面角的平面角，
由余弦定理可得，
所以二面角的余弦值为．

19．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）和．
【分析】（1）根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，进而可求得数列的通项公式；
（2）（i）根据题意可得出关于和的不等式组，求出的取值范围，可得出整数的值，（ii）代入已知条件可求得整数的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式.
【详解】（1）由，得．
又，则，解得，
因此的通项公式是；
（2）（i）由，得，即，
由①②得，即，
由①③得，即，
于是，又，故④．
（ii）将④代入①②得，又，故或．
当，时，；
当，时，.
综上，所有可能的数列的通项公式是和.
20．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据题意得到函数的解析式，从而得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程；
（2）对函数求导，对参数的取值范围分类讨论，根据导函数的符号确定函数的单调区间和极值.
【详解】（1）当时，，，
又，．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）．
由于，以下分两种情况讨论．
①当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递减区间为，，单调递增区间为．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
②当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
21．（1）；（2）.
【分析】（1）设出直线的方程，代入抛物线方程，化简后利用弦长公式求得的表达式，利用题目所给的范围求得的范围.（2）根据中点坐标公式求得中点的坐标.求得的值，写出三角形面积的表达式，结合（1）的结论可求得面积的最大值.
【详解】解：(1) 设直线与抛物线两交点的坐标分别为
直线的方程为,将代入抛物线方程,得 ,
(2)设的垂直平分线交于点Q，令其坐标为则
,

所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，
所以
即△NAB面积的最大值为．
【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得的弦长公式，考查垂直平分线的性质以及三角形面积最大值的计算，属于中档题.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，求得函数的单调区间，结合，即可求解；
（2）根据题意，转化为，设，利用导数求得函数的单调区间和值域，再令，利用导数求得函数的单调性与最大值，进而求得实数的取值范围.
【详解】（1）由，当时，，函数单调递减，
此时函数无最大值，不符合题意（舍去）；
当时，可得，
令，解得
要使得的最大值为，则单调递增，上单递减，
所以，可得，又，所以，
所以，解得，
经检验，满足题意，
所以.
（2）由（1）得，
则，即为，
即，即
因为，所以，
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，且，当时，，
当时，可得，
设，可得，
当时，可得，单调递增；
当时，可得，单调递减，
所以，所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.