高中数学人教A版2019必修第一册 2.2 基本不等式（第2课时） 教案（表格式）（含答案）

教学单元 第二章 一元二次函数、方程和不等式 教学内容 2.2 基本不等式（第2课时）
教学目标
学习目标 1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本不等式解决简单问题。 2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。 3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。 核心素养 1. 通过实例，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养； 2. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养； 3. 会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养。
教学重难点
重点：利用基本不等式求最值；利用基本不等式解决实际应用问题． 难点：基本不等式的应用；基本不等式求最值．
学情分析
学生在上一节学习了基本不等式的定义及简单应用，本节课是上一节内容的延伸，解决求最值过程中的易犯错误的处理方法，并求解了实际应用问题中的最值，所以学生学习本节内容还是比较有兴趣的，本节知识渗透了数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，有利于培养学生良好的思维品质。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
情境导入 根据上一节课的知识，我们了解了基本不等式与最值的关系，如下：已知x，y都是正数，则 1.若积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值_____． 2.若和 x＋y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值_____． 【想一想】下面这些结论是否正确？ (1)若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64.(　　) (2)若ab＝2，则a＋b的最小值为2.(　　) (3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.(　　) (4)若x∈R，则x2＋2＋≥2.(　　) （1）正确； （2）错误； （3）错误； （4）错误. 通过探究，引导学生发现利用基本不等式求最值时的常见错误，在此基础上引导学生总结利用基本不等式求最值需要注意的问题，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
新知讲授 【知识一：利用基本不等式求实际问题的最值】
例1.（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为. （1）由已知得. 由，可得， 所以，当且仅当时，上式等号成立. 故当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m. （2）由已知得，矩形菜园的面积为. 由，可得，当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是. 通过基本不等式求最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。
例2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3 m. 如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？ 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元. 根据题意，有. 由容积为，可得， 因此. 所以，当时，上式等号成立， 此时. 所以将贮水池的池底设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 通过基本不等式求最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养
【知识二：基本不等式求最值的几种方法】
1.配凑法 若x＜0，求＋3x的最大值； 2.常值代换 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值 因为x＜0，所以＋3x＝－ ≤－2＝－12， 当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立， 所以＋3x的最大值为－12. 　∵x＞0，y＞0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(＋＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16， 当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值是16. 通过基本不等式求最值，使学生熟练掌握基本不等式求最值的方法，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。
课堂练习 1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 2.做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？ 3.已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？ 解：设矩形的长为a，宽为b， 则由题意得a＋2b＝30，所以 当且仅当a＝2b＝15时取等号． 故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时， 菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2． 解：设底面的长为a，宽为b， 则由题意得2ab＝32，即ab＝16． 所以用纸面积为S＝2ab＋4a＋4b＝32＋4（a＋b）≥ 当且仅当a＝b＝4时取等号． 即当底面的长和宽均为4时，用纸最少． 解：设矩形的长为a，宽为b， 则由题意得2（a＋b）＝36，即a＋b＝18． 因为旋转形成的圆柱的侧面积为： ， 所以要求侧面积最大，即求ab的最大值， 由基本不等式得 当且仅当a＝b＝9时取等号． 故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大． 通过练习巩固本 节所学知识，通 过学生解决问题 的能力，感悟其 中蕴含的数学思 想，增强学生的 应用意识。
课堂小结 1、已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. ①如果积xy等于定值P(积为定值)，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. ②如果和x＋y等于定值S(和为定值)，那么当x＝y时，积xy有最大值. 2、利用基本不等式求最值时，要注意 一正二定三相等 3、数学建模需注意的问题 实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果 通过总结，让学生进一步巩固基本不等式，辨析基本不等式求最值时需要注意的问题,树立用基本不等式解决相关问题的意识。
板书设计 一正二定三相等 例1 例2 练习
课后作业 对应分层作业 完成作业。 完成课后作用，巩固回忆知识。