1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）
【夯实基础】
题型1空间向量的有关概念
1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；
单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；
向量不能比较大小，故C错误；
相等向量其方向必相同，故D正确；
故选：D.
2. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】C
【详解】由已知，
选项A，零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；
选项B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该选项正确；
选项C，在直线上取非零向量，把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量，该选项错误；
选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.
故选：C.
题型2空间向量的加减运算
3.如图，在三棱锥中，设，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.
【详解】解：
，
故选：A
4.如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以.
故选：C.
题型3空间向量加减运算的几何表示
5.在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量加法、减法的几何意义，结合三角形中位线的性质、平行四边形的性质进行逐一判断即可.
【详解】因为E，F分别是OA，AB的中点，所以，故A正确；
因为F，G分别是AB，BC的中点，所以，故B正确；
因为四边形EFGH为平行四边形，所以，故C正确；
因为，所以D不正确．
故选：D
题型4空间向量共线的判定
6.向量，，若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据向量平行，得到方程组，求出的值，得到答案.
【详解】由题意得：，
即，解得：，
故.
故选：C
题型5由空间向量共线求参数或值
7.已知向量，．若与向量平行，则实数（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先算出，在利用空间向量平行的性质求解
【详解】因为向量，，所以
又与向量平行，所以
所以 ，故选：D.
题型6空间共线向量定理的推理及其应用
8.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____．
【答案】
【解析】根据底面ABCD是正方形，E为PD中点，向量加法的平行四边形法则得到，而，即可求得的结果.
【详解】解：=(+)= +)= +=．故答案为：.
【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及向量共线定理和空间向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把要求向量放在封闭图形中求解，体现了数形结合的思想，是基础题型.
题型7判定空间向量共面
9.下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
【答案】A
【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断．
【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；
空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；
若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；
若，当时，不存在唯一的实数，使，D错．
故选：A．
10.在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论．
【详解】解：空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；
对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；
对于C，，则，，为共面向量，所以与，，一定共面；
对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：C．
题型8空间向量共面求参数
11.已知空间中三点，，.
(1)求的面积；
(2)若点在A，B，C三点确定的平面内，求x的值.
【分析】（1）根据题意，得到，求得，得到为直角三角形，结合，即可求解；
（2）由点在三点确定的平面内，所以存在实数使得，列出方程组，即可求解.
（(1)由题意三点，，.
可得，可得，所以，
即，所以为直角三角形，
又由，
所以的面积.
（2）由，可得，
因为点在三点确定的平面内，所以存在实数使得，
即,解得
12.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共面定理求解．
【详解】由题意， ，，
∵，，共面，
∴存在实数唯一实数对，使得，
，
∴，解得．
故选：B．
【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．是不共面的向量，，则共面．
题型9空间共面向量定理的推理及其应用
13.已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面：
(1)；
(2)．
【分析】（1）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断；
（2）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
可得，所以，
所以点与点，，共面.
（2）由可得，
所以，
所以，所以，
所以点与点，，共面.
题型10空间向量的数乘运算
14．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可.
【详解】
故选：A
题型11空间向量数乘运算的几何表示
15.如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的加减法、数乘运算推导即可.
【详解】.
故选：B.
【能力提升】
单选题
1．下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果，则，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.
故选：A.
2．已知向量，向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，设，有，求出、的值，计算可得答案．
【详解】解：向量，，，向量，1，，
若，设
则有，则，则有，，
则，
故选：．
3．已知，，与共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】利用空间向量共线性质求参数的值.
【详解】因为，共线，
则，∴，∴，故选：A．
4．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可得：
.
故选：A.
5．下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，是空间任意四点，则有
B．是，共线的充要条件
C．若，共线，则
D．对空间任意一点不共线的三点，，，若（其中，，），则，，，四点共面
【答案】A
【分析】根据向量加法三角形法则可判断；根据向量模的定义可判断；根据向量共线可判断；通过政教
与1的关系可判断．
【详解】根据向量加法三角形法则可知对；
若、同向共线则不满足，可知错；
若，共线，则或重合，可知错；
对空间任意一点与不共线的三点、、，若，当时、、、四点共面，可知错．
6．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，得出，结合条件即可得出答案.
【详解】为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
.
，
，，
，故选：B.
7．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的加减法，将分解用表示即可.
【详解】由图可知：，
即，
故选：B
8．给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，由，则；
④在向量的数量积运算中.
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】对于①，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故①错误；
对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；
对于③，取，，，满足，且，但是，故③错误；
对于④，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同，则和不相等，故④错误.
故选：D.
【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
多选题
9．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．是共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
【答案】CD
【分析】根据共线向量的定义、共面和共线的性质进行逐一判断即可.
【详解】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确；
若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，因为，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；
若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得，即，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确.
故选：CD
10.在长方体中，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据空间向量的加减运算即可得到答案.
【详解】如图：
对A，，正确；
对B，，正确；
对C，，错误；
对D，，错误.
故选：AB.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
B．已知空间任意两向量，，则向量，共面；
C．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得；
D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有.
【答案】BD
【分析】由共线向量的定义可知，向量，所在的直线可以重合，可判断A；空间中任意两个向量都是共面的，可判断B；若空间中的三个向量，，共面，并不存在实数，，，使得，所以C并不成立；根据向量运算法则可判断D.
【详解】对于A，若向量，共线，则向量，所在的直线可以重合，并不一定平行，所以A错误；
对于B，根据共面向量的定义可知，空间中的任意两个向量都是共面的，所以B正确；
对于C，只有当空间的三个向量，，不共面时，对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得成立；若空间中的三个向量共面，此说法并不成立，所以C错误；
对于D，根据向量的加法法则即可判断D正确.
填空题
12．已知，，三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：，其中，是实数，若点与，，四点共面，则___________.
【答案】
【分析】根据空间共面向量定理的推论计算．
【详解】解：，，
点，，，四点共面，，.
故答案为：.
13．下列向量中，真命题是______．（填序号）
①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量；
③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．
【答案】①
【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.
【详解】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量，故①正确；
对于②，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故②不正确；
对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故③不正确；
对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在一条直线上，但是与是共线向量，故④不正确；
故答案为：①
四、解答题
14. 已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：
(1)四点共面；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解；
（2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解；
（3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
由共面向量的基本定理，可得是共面向量
又因为有公共点，所以四点共面.
（2）解：因为，
则
，
所以.
（3）解：由（1）及，
可得，
所以，即.
15．如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值．
(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果；
（2）由向量加法的三角形法则和四边形法则得和，由此即可求出结果；
（3）因为，由（1），（2）可知，，由此即可求出结果.
【详解】（1）解：由向量加法的三角形法则得，，
由平行四边形法则和向量相等得，；
所以，
所以；
（2）解：由向量加法的三角形法则得，，
由四边形法则和向量相等得，；
所以，
所以．
（3）解： 由（1），（2）可知，
，
所以.1.1.1空间向量及其线性运算（分层作业）
【夯实基础】
题型1空间向量的有关概念
1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．空间中任意两个单位向量必相等
C．若向量满足，则
D．相等向量其方向必相同
2. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ）
A．零向量与任意向量平行
B．任意两个空间向量一定共面
C．零向量是任意向量的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
题型2空间向量的加减运算
3.如图，在三棱锥中，设，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4.如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
题型3空间向量加减运算的几何表示
5.在如图所示的正四面体OABC中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点．设，，，则下列说法不正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
题型4空间向量共线的判定
6.向量，，若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型5由空间向量共线求参数或值
7.已知向量，．若与向量平行，则实数（ ）
A．2 B． C． D．
题型6空间共线向量定理的推理及其应用
8.在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=，=，=，则=_____．
题型7判定空间向量共面
9.下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
10.在下列条件中，能使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
题型8空间向量共面求参数
11.已知空间中三点，，.
(1)求的面积；
(2)若点在A，B，C三点确定的平面内，求x的值.
12.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（ ）
A． B． C． D．
题型9空间共面向量定理的推理及其应用
13.已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面：
(1)；
(2)．
题型10空间向量的数乘运算
14．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则（ ）．
A． B． C． D．
题型11空间向量数乘运算的几何表示
15.如图，在正方体中，，，，若为的中点，在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【能力提升】
单选题
1．下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
2．已知向量，向量，满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，与共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
5．下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，是空间任意四点，则有
B．是，共线的充要条件
C．若，共线，则
D．对空间任意一点不共线的三点，，，若（其中，，），则，，，四点共面
6．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点，若，则的值是（ ）
A． B．0 C． D．
7．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，由，则；
④在向量的数量积运算中.
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
多选题
9．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．是共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有 (，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
10.在长方体中，则（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行；
B．已知空间任意两向量，，则向量，共面；
C．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得；
D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有.填空题
12．已知，，三点不共线，对平面外一点，给出下列表达式：，其中，是实数，若点与，，四点共面，则___________.
13．下列向量中，真命题是______．（填序号）
①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量；
②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量；
③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上．
四、解答题
14. 已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证：
(1)四点共面；
(2)；
(3)．
15．如图，正方体中，点E，F分别是上底面和侧面的中心，分别求满足下列各式的x，y，z的值．
(1)；
(2)；
(3)．
