1.1.2空间向量的数量积运算（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1空间向量数量积的概念
1. 在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
【答案】D
【分析】根据正三角内角为求解.
【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知，
故选：D
2．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案.
【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为，
，
，
，
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】根据空间向量的坐标运算与数量积的运算法则，求解即可.
【详解】因为，
所以，
，
则.
故选：A.
4．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
【详解】由题意可得，
.
故选：C
5．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
【答案】B
【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD．
【详解】若，则由且，不能得出，A错；
由数量积对向量加法的分配律知B正确；
若，则，当时就成立，不一定有，C错；
是与平行的向量，是与平行的向量，它们一般不相等，D错．
故选：B．
6．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2)
【分析】根据向量加法法则求解即可；
【详解】（1）
（2）
题型2求空间向量的数量积
7.给出下列四个命题，其中正确的有
（1）若空间向量，满足，则；
（2）空间任意两个单位向量必相等；
（3）对于非零向量，由，则；
（4）在向量的数量积运算中．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
【答案】A
【分析】根据向量相等的定义，单位向量的定义，以及向量的模的定义，逐个选项进行判断即可.
【详解】对于（1），取，，此时，，
但是，故（1）为假命题；
对于（2），取单位向量和，
此时，故（2）为假命题；
对于（3），若空间向量 取，，
取为零向量，此时，满足，但是 ，故（3）为假命题；
对于（4），取，，，
则，，所以，
故（4）为假命题.
故选：A.
8.如图，已知四面体的所有棱长都等于，分别是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用空间数量积运算法则计算出ABC三个选项中的结果；作出辅助线，证明出⊥，得到.
【详解】由题意得：四面体为正四面体，
故，
故，A正确；
因为分别是的中点，
所以，，且，，
故，B错误；
，C正确；
取的中点，连接，
因为均为等边三角形，
所以⊥，且⊥，
因为，且平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，⊥，
故，D正确.
故选：ACD
9.设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可；
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：AD
10.判断下列结论正确的是（ ）
A．空间中任意两个非零向量，共面．
B．在三个向量的数量积运算中．
C．对于非零向量，由数量积，则．
D．若，，，是空间任意四点，则有．
【答案】AD
【分析】由向量共面的条件判断A，由数量积的性质判断B，由向量垂直判断C，由向量的加法法则判断D
【详解】对于A：空间中任意两个非零向量，可以构成一个平面，故A正确；
对于B：向量的数量积不满足结合律，故B错误；
对于C：当互相垂直时，C错误；
对于D：根据向量的加法法则可知：，
故,故D正确；
故选：AD
题型3空间向量数量积的应用
11．已知，且，则m =（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】由向量坐标的乘法运算即可求得.
【详解】因为且
所以解得.
故选：A
12．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）
A． B．133 C． D．61
【答案】A
【分析】利用空间向量的数量积运算、把空间向量的模转化为向量的数量积运算求解问题即可．
【详解】因为，，，
所以
故选：A．
13.在长方体中，，，则（ ）
A．3 B．13 C．4 D．9
【答案】D
【分析】根据向量加法运算，向量的数量积运算性质求解即可.
【详解】如图，
因为，
所以．
故选：D
14.已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果.
【详解】因为与垂直，所以，
即，
所以.
又，所以.
故选：D.
15.已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则______．
【答案】
【分析】根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求解.
【详解】因为，，
所以，，
故答案为：
16.已知，，则___________.
【答案】24
【分析】利用向量的数量积直接求解.
【详解】因为，，
所以.
所以.
故答案为：24
17.如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【答案】(1)在平面上的投影向量为，；
(2)在上的投影向量为，.
【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.
【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.
18.棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
(1)求．
(2)求FH的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将分别用表示，再根据数量积的运算律分别求出，再根据即可得解；
（2）将用表示，再根据数量积的运算律即可得解.
【详解】（1）由题意，
，
，
则
，
，
，
所以；
（2）
，
所以
，
所以FH的长为.
19.如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
【答案】(1)；.
(2).
【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示，，，，再转化为，，表示即可；
（2）先把用，，表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得.
【详解】（1）连结.在直三棱柱中，，，，
则.
.
（2）如图，在直三棱柱中，，，，所以，，又，
所以，，.
，
所以.
【能力提升】
单选题
1. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算求解.
【详解】
故选：B
2．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.
【详解】在三棱锥中，点，分别是，的中点，
点满足，若，
则
，
故选：B
3．已知四面体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【分析】在四面体中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又，再根据数量积的定义求解．
【详解】由题意可得，
所以．
故选B．
【点睛】在利用定义求向量的数量积时，要注意两向量夹角的确定，如在本题中的夹角为120°而不是60°，这是在解题中容易出现的错误，考虑问题时一定要抓住夹角的定义．
4．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有
故选：C
5．空间有一四面体A-BCD，满足，，则所有正确的选项为（ ）
①；
②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；
③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；
④若且，则∠BDC是锐角
A．② B．①③ C．②④ D．②③④
【答案】C
【分析】由题意知，，可判断①；若∠BAC是直角，则，可判断②；设，，由余弦定理可判断③；若且，则，可得可判断④.
【详解】对于①，因为，，所以，，
则，故①不正确；
对于②，若∠BAC是直角，则，
所以∠BDC是锐角，故②正确；
对于③，若∠BAC是钝角，设，，
在中，由余弦定理可得：，
而，所以在中，，
所以∠BDC为锐角，所以③不正确；
对于④，，
若且，则，
因为，
，所以∠BDC是锐角，故④正确；
故选：C.
6．如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，
即，
因为是棱长为6的正四面体，
所以，
故选：A
7．四面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得
，由数量积公式计算即可.
【详解】由题知，，
所以
，
所以，解得，
故选：C
8．已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
【答案】A
【分析】利用向量的数量积公式即可求解.
【详解】如图，平行六面体中，
向量、、两两的夹角均为，
且，，，
.
，
故选：A.
多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角的同一三角函数值一定相同
B．，则的最小值为
C．已知，，，则在上的投影数量为
D．非零向量，，，若，则
【答案】AC
【分析】对于A，写出所有终边相同角，再利用诱导公式即可判断；
对于B，利用基本不等式可判断；
对于C，根据投影数量的定义代入公式求解判断；
对于D，举一个反例说明与不相等的即可.
【详解】对于A，与角终边相同的角：，根据诱导公式一即可得出三角函数值一定相同，A正确；
对于B，，
当且仅当即时，等号成立，此时最小值为，B错误；
对于C，在上的投影数量为，C正确；
对于D，因为，所以D错误.
故选：AC.
10．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.
【详解】方法一：，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
方法二：
，故A正确；
由正方体的性质可知，，，
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC．
填空题
11．化简：________.
【答案】
【分析】利用向量的数量积运算律可得解.
【详解】
故答案为：
12．如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
【答案】
【分析】分析可知，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为平面，平面，则，同理可知，
所以，
.
故答案为：.
解答题
13．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由点为的中点，可得，而，代入前面的式子化简可得结果；
（2）由（1）可知，由于，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果.
【详解】（1）因为点为的中点，所以，
因为，所以，
所以，
所以；
（2）由（1）得，
因为，，
所以
.
14．已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：．
(1)试用表示，并求线段CD的长；
(2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值．
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）由已知结合空间向量加法可得，再根据向量模长和数量积的关系可求得CD的长；
（2）利用空间向量加法表示，再利用数量积公式求得向量夹角.
【详解】（1），
利用空间向量加法可得；
由已知二面角为，A，B是棱l上的两点，，
所以，，，
，
所以线段CD的长为.
（2），，
，
又异面直线夹角范围是，所以异面直线CD与BA所夹角的余弦值.
15．已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点.
(1)用，，表示，并求出；
(2)求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先根据空间向量的线性运算得到，再求其模长即可.
（2）根据展开求解即可.
【详解】（1）因为点M是线段的中点，点G是的重心，
所以，
因为，
所以
，
∴.
（2）
.1.1.2空间向量的数量积运算（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1空间向量数量积的概念
1. 在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ）
A．30° B．60° C．150° D．120°
2．如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（ ）
A． B． C． D．
3. 已知，则（ ）
A． B．1 C．0 D．2
4．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
5．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．
6．已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式：
(1)；
(2).
题型2求空间向量的数量积
7.给出下列四个命题，其中正确的有
（1）若空间向量，满足，则；
（2）空间任意两个单位向量必相等；
（3）对于非零向量，由，则；
（4）在向量的数量积运算中．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
8.如图，已知四面体的所有棱长都等于，分别是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
9.设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10.判断下列结论正确的是（ ）
A．空间中任意两个非零向量，共面．
B．在三个向量的数量积运算中．
C．对于非零向量，由数量积，则．
D．若，，，是空间任意四点，则有．
题型3空间向量数量积的应用
11．已知，且，则m =（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
12．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）
A． B．133 C． D．61
13.在长方体中，，，则（ ）
A．3 B．13 C．4 D．9
14.已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
15.已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则______．
16.已知，，则___________.
17.如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
18.棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．
(1)求．
(2)求FH的长．
19.如图，在直三棱柱中，，分别为，，的中点，分别记，，为，，.
(1)用，，表示，；
(2)若，，求.
【能力提升】
单选题
1. 如图，在四面体中，是的中点，，设，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知四面体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则
A．1 B．-1 C． D．
4．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．空间有一四面体A-BCD，满足，，则所有正确的选项为（ ）
①；
②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；
③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；
④若且，则∠BDC是锐角
A．② B．①③ C．②④ D．②③④
6．如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．四面体中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ）
A．5 B．6 C．4 D．8
多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角的同一三角函数值一定相同
B．，则的最小值为
C．已知，，，则在上的投影数量为
D．非零向量，，，若，则
10．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．化简：________.
12．如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则______.
解答题
13．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值.
14．已知二面角为，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面内，，且，设：．
(1)试用表示，并求线段CD的长；
(2)求：异面直线CD与BA所夹角的余弦值．
15．已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点.
(1)用，，表示，并求出；
