1.3.2空间向量运算的坐标表示 （分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1利用空间向量的坐标运算
1.若向量，，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据向量平行列方程，求得，进而求得.
【详解】依题意，向量，，且，
通过观察横坐标可知，
所以，
所以.
故选：D
2.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解.
【详解】因为，，，
所以，
所以，，
，
所以向量在上的投影向量是，
所以向量在上的投影向量的坐标是，
故选：D.
3.向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用空间向量垂直或平行的坐标表示，即可判断选项.
【详解】因为，所以，
，所以.
故选：B
4.(多选题）已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.
【详解】对于A,，
，故A错误；
对于B，，
则，故B错误；
对于C,，
则，
则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选:CD.
题型2坐标形式下向量的平行与垂直问题
5.已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】依题意可得，根据空间向量基本定理计算可得.
【详解】因为，，且，
所以，即，即，解得.
故答案为：
6.，若，则_____________．
【答案】-4
【分析】由空间向量共线定理求解.
【详解】解：因为，且，
所以，解得，
故答案为：-4
7.已知向量，若与垂直，则___________.
【答案】
【分析】由与垂直，解得，从而，由此能求出.
【详解】∵与垂直，∴，则，解得，
∴，
则，
∴，
故答案为：.
8.已知空间向量，，，若，则______．
【答案】
【详解】，
，，，
解得，
故答案为：.
题型3利用空间向量求夹角和距离(长度)
9.已知向量，，且，的夹角为，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的夹角公式求得向量夹角的余弦值，即可求得夹角的正弦值，可得答案.
【详解】由题意向量，，且，的夹角为，，
可得，故，
故选：A
10.已知，，则与夹角的余弦值等于_____.
【答案】
【分析】利用向量夹角公式直接求解即可.
【详解】.
故答案为：.
11.已知，，，则________.
【答案】2
【分析】根据即可求解.
【详解】因为，所以,
因为，所以,
即，解得.
故答案为:2.
12.已知，单位向量满足，则_________．
【答案】或
【分析】设向量，其中，由，得到方程组 ，进而求得的值，即可求解.
【详解】设向量，其中，
因为且，可得，即，
将代入，
可得或，
所以向量的坐标为或.
故答案为：或.
【能力提升】
单选题
1.已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量垂直坐标表示直接构造方程求解即可.
【详解】，，解得：.
故选：B.
2.与向量共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量.
【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.
故选：D
3.已知向量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
又，所以，解得.
故选：D.
4.已知，，且，则x的值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
【答案】D
【分析】空间中两向量平行，其对应坐标成比例，故可求之.
【详解】因为，所以，解得.
故选：D.
5.已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，先得到的坐标，然后根据空间向量数量积的坐标运算即可得到结果.
【详解】根据题意可得，，即
则，
且，所以与的夹角为
故选:D
6.已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
【答案】A
【分析】类比平面向量的计算办法，判断两向量是否平行可得，，故A错；
以及，故B正确；向量乘积为0即垂直，故C对；
用可判断D对.
【详解】因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，故C正确；
又，故D正确.
故选：A
7.已知向量，若，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】求得，可得向量与为相反向量，再根据求出向量与的夹角，即可得解.
【详解】由，
得，则，
设向量与的夹角为，
则，
又，所以，
因为，所以向量与为相反向量，
所以与的夹角为.
故选：C.
8.已知平面向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，设与的夹角为，由求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，
设与的夹角为，
则，
又因为，
所以.
故选：A
多选题
9.已知空间向量，则（ ）
A． B．是共面向量
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据向量的坐标进行运算，求向量的模长，判断关系.
【详解】，A项正确；
设，即，解得，，
即，所以，，共面，B项正确；
，所以，C项正确；
，D项错误.
故选：ABC.
10.已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．） D．与夹角的余弦值为
【答案】BCD
【分析】对于A，结合向量平行的性质，即可求解，对于B，结合向量模公式，即可求解，对于C，结合向量垂直的性质，即可求解，对于D，结合向量的夹角公式，即可求解．
【详解】因为，且，故A不正确；
因为，，则，故B正确；
因为，，故C正确；
由于，，所以，所以D正确.
故选:BCD.
11.如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E是的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为
C．三棱锥的外接球的表面积为8π D．平面平面
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项D；求得三棱锥的体积判断选项B；求得三棱锥的外接球的表面积判断选项D.
【详解】以A为原点分别以AB、AD、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系：
则,,,,,,,
选项A：由.
可得，
则两向量、不互相垂直，则与不互相垂直.判断错误；
选项B：三棱锥的体积
.判断正确；
选项C：三棱锥的外接球即长方体的外接球，
长方体的外接球直径为
则三棱锥的外接球的表面积为.判断错误；
选项D：
设为平面的一个法向量，
则，令，则，，则
设为平面的一个法向量，
则，令，则，，则
由，可得向量与向量不互相平行，
则平面与平面不互相平行.判断错误.
故选：ACD
12.如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A．
B．存在一点，使得
C．三棱锥的体积为
D．若，则面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，利用空间向量数量积可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用锥体体积公式可判断C选项；求出点的坐标满足的关系式，利用二次函数的基本性质可求得面积的最小值，可判断D选项的正误.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
设点，其中，.
对于A选项，，，则，
所以，，A对；
对于B选项，，若，则，解得，不合乎题意，
所以，不存在点，使得，B错；
对于C选项，，点到平面的距离为，
所以，，C对；
对于D选项，，
若，则，可得，
由可得，
，
当且仅当时，等号成立，
因为平面，平面，，
，D对.
故选：ACD.
填空题
13.在空间直角坐标系中，，，若，则实数__________.
【答案】4
【分析】由题意可得，即可得到方程组，进而解出方程组即可.
【详解】由题意得，，即，所以，解得.
故答案为：4
14.已知空间向量，，若，则______.
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答.
【详解】空间向量，，
由，得，解得，
所以.
故答案为：
15.已知、、，则向量与的夹角大小为______．
【答案】
【分析】求出，的坐标，利用向量夹角公式即可求出.
【详解】由题意得，，
，
，
与的夹角为．
故答案为：.
16.已知O为坐标原点，，，若与的夹角为120°，则实数______．
【答案】
【分析】求出，，，，，，再由与的夹角为，能求出的值．
【详解】，，，，，，，，，
，，，，，，
与的夹角为，
，
解得．
故答案为：
解答题
17.已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量坐标夹角公式计算可得答案；
（2）利用向量垂直的坐标运算可得答案.
【详解】（1）因为，，
所以，
，，
所以；
（2），
因为，所以，
解得.
18.已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据空间向量的模长公式求解即可.
（2）根据空间向量的加法和数乘运算，可得坐标表示，根据空间向量垂直的坐标计算公式，求解即可.
（3）根据向量共面定理，建立向量与向量之间的表示，可得方程组，求解即可.
【详解】（1），，
，
．
（2）因为，
所以，解得，
因为，且向量与垂直，
所以，
即，
．
所以实数和的值分别为和；
（3）解：设，
则
解得，
即，
所以向量与向量，共面．
19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）构建空间直角坐标系并确定相关点的坐标，求得的坐标，应用向量模长的坐标运算求；
（2）由（1）得、的坐标，利用向量夹角的坐标表示求；
【详解】（1）以为原点，分别以射线 为轴 轴 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
所以，则.
（2）由（1）知，，
所以；
20.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；
（2）利用向量夹角运算公式计算的值；
【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．
，∴
∴．
所以的距离为.
（2）依题意得，，，，
∴，，
，，，
∴．1.3.2空间向量运算的坐标表示 （分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1利用空间向量的坐标运算
1.若向量，，且，则的值为（ ）
A． B．0 C．6 D．8
2.已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
3.向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.(多选题）已知向量，则（ ）
A． B．
C． D．
题型2坐标形式下向量的平行与垂直问题
5.已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
6.，若，则_____________．
7.已知向量，若与垂直，则___________.
8.已知空间向量，，，若，则______．
题型3利用空间向量求夹角和距离(长度)
9.已知向量，，且，的夹角为，则=（ ）
A． B． C． D．
10.已知，，则与夹角的余弦值等于_____.
11.已知，，，则________.
12.已知，单位向量满足，则_________．
【能力提升】
单选题
1.已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2.与向量共线的单位向量可以为（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.已知，，且，则x的值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
5.已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6.已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
7.已知向量，若，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
8.已知平面向量，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
多选题
9.已知空间向量，则（ ）
A． B．是共面向量
C． D．
10.已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．） D．与夹角的余弦值为
11.如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E是的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为
C．三棱锥的外接球的表面积为8π D．平面平面
12.如图，正方体的棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A．
B．存在一点，使得
C．三棱锥的体积为
D．若，则面积的最小值为
填空题
13.在空间直角坐标系中，，，若，则实数__________.
14.已知空间向量，，若，则______.
15.已知、、，则向量与的夹角大小为______．
16.已知O为坐标原点，，，若与的夹角为120°，则实数______．
解答题
17.已知向量，.
(1)求与的夹角余弦值；
(2)若，求的值.
18.已知向量．
(1)求；
(2)当时，若向量与垂直，求实数和的值；
(3)若向量与向量共面向量，求的值．
19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．
(1)求；
(2)求．
20.如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．
(1)求的距离；
(2)求的值．
