1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1异面直线所成的角
1.直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线和的方向向量，从而可求解.
【详解】因为在直三棱柱中，所以球心到底面的距离，
又因为，所以，所以，所以底面外接圆半径，
又因为球的表面积为，所以，
而，所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则
，，，，
，
，
设直线和所成的角为，则
.
故选：A.
2．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接与交于点，连接，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.
【详解】连接与交于点，连接，
由题意得，，且平面，
以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设四棱锥各棱长均为2，则，，
可得，
则，
设异面直线与所成角为，
则．
故选：A．
3.在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．2
【答案】D
【分析】由已知以为原点建立空间直角坐标系，设，求得的坐标，由数量积公式可得答案.
【详解】由已知两两垂直，所以以为原点，建立如图所示的坐标系，
设，则，，
连接取中点，连接，所以，平面，
所以，所以，，
由，得，
解得.
故选：D.
【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得，考查了学生的空间想象力.
4.如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，的中点，连接、，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】取的中点，的中点，连接、，
因为是正三角形，所以，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，所以与所成角的余弦值为.
故选：A
题型2求直线与平面所成的角
5.如图，在直三棱柱中，棱长均为．，，分别为，，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取中点，连接、，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】取中点，连接、，在直三棱柱中，棱长均为，
所以三棱柱为正三棱柱，则，，平面，
所以平面，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，则，，
所以，
所以直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
故选：C
6.如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，作图构建正方体，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面，的一个法向量，结合空间向量的夹角公式求直线与平面所成角的正弦值
【详解】由题知，多面体是从正方体中截去三棱锥
后所得的几何体.
如图，以为坐标原点，分别以为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，
则，，
所以，，
设平面的法向量为，，
则，故
取，则，，
是平面的一个法向量，
又，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B.
7.（多选题）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为 B．平面
C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为
【答案】BD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到，即可判断选项A；利用向量法证明，即可判断选项B；利用向量法求出点到平面的距离即可判断选项C；利用向量法求出直线B1C与平面所成角的余弦值即可判断选项D.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：
.
A：，
因为，所以，因此该选项不正确；
B：，
因为，
所以，而平面ACD1，
因此平面ACD1，所以该选项正确；
C：因为平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，，
所以点B1到平面ACD1的距离为，因此该选项不正确；
D：设直线B1C与平面所成角为，
则，
所以直线B1C与平面所成角的余弦值，
因此该选项正确.
故选：BD
.
8.（多选题）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】在选项A中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；
在选项B中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；
在选项C中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；
在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.
【详解】在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
题型3两平面的夹角
9.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则面与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面与直线所成角的余弦值.
【详解】因为平面，四边形为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，，
所以，，
因此，面与直线所成角的余弦值为.
故选：D.
10.如图，过边长为的正方形的顶点A作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面与平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.
【详解】以A为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
∵平面的法向量为，
则，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，即二面角的大小是．
故选：B．
11.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（ ）
A．120° B．45° C．150° D．60°
【答案】B
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后求出平面与平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
【详解】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，所以，
设平面BCE的法向量为，
则，即，令，则，故取，
又平面的一个法向量为，
所以，
又平面与平面所成的二面角的大小为锐角，
所以平面与平面所成的二面角的大小是45°．
故选：B．
12.在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值即可算出.
【详解】如图，
以D原点，DA，DB，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由得，，即，
所以，，
设面的法向量为：，则
取，
取面的法向量为：，
设二面角为，
由得，，则，
所以，
故选：C.
【能力提升】
单选题
1.已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】如图建立空间直角坐标系，设，由可得的坐标，求出的坐标，利用向量的夹角公式列方程求得的值，进而可得的长.
【详解】建立空间直角坐标系如图所示，因为点在线段上，
不妨设，
易得，，，，
则，．
由题意得，
整理可得：，解得：或（舍去），
所以，，
故选：A.
2.在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不妨设正四棱锥底面边长为2，则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为，易得其高为.取底面正方形的中心为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量进行求解即可
【详解】如图所示.
不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为，
连，则平面，
取中点，连，则，
所以为侧面与底面所成的角，
即，所以
取底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
所以，.
设与所成的角为，则.
故选：B.
【点睛】此题考查求异面直线所成的角，考查空间向量的用法，属于基础题
3.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】C
【分析】以D为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求解.
【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设，则，，，，所以，所以，.因为直线EC与BF所成角的余弦值为，所以，解得，也即.
故选：C.
4.如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
①∥平面； ②平面平面；
③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，
，
由正方体的性质可知：平面，则平面的法向量为，
，因为，所以，而平面，
因此∥平面，故①对；
设平面的法向量为，，，
所以有，
同理可求出平面的法向量，
因为，所以，因此平面平面，故②正确；
因为，，
所以，
因为异面直线所成的角范围为，所以直线与所成的角为，故③正确；
设直线与平面所成的角为，
因为，平面的法向量为，
所以，
所以直线与平面所成的角不是，因此④错误，
一共有个结论正确，
故选：C
5.如图，在正方体中，E为棱上一点且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】以点D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则即令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
所以．
故选：D．
6.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，根据列出方程求得的值，得到向量，，且是平面的一个法向量，设与平面ABD所成角为，再利用线面角的向量求法可得答案.
【详解】
由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则， ， ， ，
可得，，，，
因为点在平面上的射影是的重心，所以平面，
所以，即，解得，
可得，，所以，，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设与平面ABD所成角为，
，
所以.
故选：B.
7.已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD.
【详解】，，，
由余弦定理得，即，
则有，所以，
又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由，，
得，，，，，
， ， ，
设平面PAC的法向量为 ， 则 ，
令，则，，所以 ，
直线PD与平面PAC所成角为，所以 ，
则有，解得， 则.
故选：C.
8.如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建系，求两平面的法向量，利用空间向量解决面面夹角问题.
【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量，
∵，则，
令，则，
∴，
同理可得：平面的法向量，
故，
设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值.
故选：B.
多选题
9.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面，则（ ）
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的余弦值为
【答案】AD
【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】连接，因为，设，
由余弦定理得，所以，则，
则，即，又底面，底面，
所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
对于A，所以，，则，所以，故A正确；
对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以，
则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B错误；
对于C，，则，则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，设平面的法向量为，则，令，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以，则平面与平面的夹角的余弦值为，故D正确.
故选：AD.
10.如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点M，使得平面
B．存在点M，使得∥平面
C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为
D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为
【答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
，
设，
设平面的法向量为，
，
则有，
假设存在点M，使得平面，所以有，
所以有，因此假设不成立，因此选项A不正确；
假设存在点M，使得∥平面，
所以有，所以假设成立，因此选项B正确；
假设存在点M，使得直线与平面所成的角为，，
所以有，
解得，，所以假设不成立，故选项C正确；
假设存在点M，使得平面与平面所成的锐角为，
设平面、平面的法向量分别为、，
显然，
则有，
当时，有
，
所以有（舍去），或，假设成立，选项D正确，
故选：BCD
11.如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧的中点，H是圆弧上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点H，使得
B．存在点H，使得
C．存在点H，使得EH∥平面BDG
D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°
【答案】ACD
【分析】先将图形补全为一个正方体，对于A、B：利用正方体的性质直接判断；对于C、D：以A为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图示：
对于A：因为正方体中，面，
所以.所以当重合时，有.故A正确；
对于B：因为面，而是圆弧上的动点，所以不成立.故B错误；
对于C：以A为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.设，
则，
所以.
设为平面的一个法向量，则，
不妨设，则.
假设平面，则，所以.
因为，所以，即是圆弧的中点，符合题意.故C正确；
对于D：当点与点重合时,直线EH与平面BDG所成角最大，
因为，所以,
此时直线EH与平面BDG的所成角的正弦值为，
由,得直线EH与平面BDG的所成角的最大角大于30°，
所以存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°，选项D正确.
故选：ACD
12.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为
【答案】ABD
【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可.
【详解】连接，因为，设，
由余弦定理得，
所以，则，
则，即，又底面，底面，
所以，
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
对于A，所以，，则，
所以，故A正确；
对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以，
则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B正确；
对于C，，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，设平面的法向量为，则，令，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以，
令二面角所成角为，则
则平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，故D正确.
故选：ABD.
填空题
13.若向量，，，则：
（1）向量与的夹角为______；
（2）直线AD与BE所成角的大小为______.
【答案】 / /
【分析】利用空间向量夹角公式计算可得；
【详解】解：因为，，，所以，，，
所以，因为，
所以，即向量与的夹角为；
又，，设直线与所成的角为，
则，因为，所以；
故答案为：；；
14.已知，，则的最大值为
【答案】
【分析】构造正方体，设正方体的棱长为1，,点在线段上移动.当在位置时，最大，利用向量的夹角公式即得解.
【详解】利用作图法，构造正方体，设正方体的棱长为1，如图所示.
则，，且点在线段上移动.
当在位置时，最小，即最大，
则为最大值.
15.如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得.
【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.
设，.
因为，所以，解得，即.
16.如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则的坐标为______，______.
【答案】 / /
【分析】设，算出两个平面的法向量，然后建立方程求解即可.
【详解】设，平面的法向量为.
由题可知，，，则，.
易知平面的一个法向量为.
∵为平面的法向量，∴，令，则，
又二面角的大小为，∴，即，
解得或（舍去），∴，.
故答案为：；
解答题
17.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，在中，由余弦定理求得，得到，证得，再由，证得平面，即可证得平面平面；
（2）若O为中点，证得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，设，由平面的一个法向量为，列出方程求得，进而得到，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：由题知且，所以为等边三角形，
则，
又由四边形为梯形，，则，
在中，，
所以，即，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：若O为中点，，则，
由（1）得平面平面，平面平面，平面，
则平面，
连接，则，且平面，所以，，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，分别为为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
设且，则，由平面的一个法向量为，
可得，解得，
因为，所以，可得，
所以，，，
设是平面的一个法向量，则，
取，可得，所以
则，
由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
18.如图1，在梯形ABCD中，，O是边AB的中点．将绕边OD所在直线旋转到位置，使得，如图2．设为平面与平面的交线．
(1)判断直线与直线的位置关系并证明；
(2)若直线上的点满足，求出的长；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)，证明见解析(2)(3)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理说明即可；
（2）根据两条平行线确定一个平面的性质，先找出交线的位置后，利用进行求解；
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角.
【详解】（1）由题意，平面平面，由//，平面，平面，则//平面，又平面
根据线面平行的性质定理可知，
（2）
过作//，且满足，连接.
于是由//，//，则//，故四点共面，四点共面，
则平面与平面的交线即为.
由题知，，平面，故平面，
由平面，故，即.
由知，，则，故，于是，
又，//，则，
（3）
过作，垂足为，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，.
，，设平面的法向量为.
由，则是平面的法向量.
又，设直线与平面所成角为，则
19.如图所示，在正四棱锥中，底面的中心为，于，与交点为，.
(1)求证：平面.
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）延长至点，使，连接，进而可证，可得，进而可证结论；
（2）可证，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，为坐标轴建立空间直角标系，求得平面与平面的一个法向量，进而可求二面角的余弦值．
【详解】（1）如图，延长至点，使，连接，
底面的中心为，平面，平面,，
，，
，
，，，
，
而，，，
平面，平面，平面；
（2）由（1）知是的中点，又，，
不妨设，则，，
是正四棱锥，底面的中心为，，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，
则，，，，，，
，，，，；
设平面的一个法向量为，
，令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，所以；
，
二面角所成角的正弦值为．
20.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，，再根据线面垂直的判定定理即可得证；
（2）以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）如图，连接，由题意知为的直径，所以，
因为是圆柱的母线，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以，
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面；
（2）由（1）知两两相互垂直，
如图，以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
由（1）知平面，故平面的法向量可取为.
设平面的法向量为，由，，
则有，可取
设二面角的平面角为，
则，
由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为.
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1异面直线所成的角
1.直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3.在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（ ）
A．1 B． C．3 D．2
4.如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型2求直线与平面所成的角
5.如图，在直三棱柱中，棱长均为．，，分别为，，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7.（多选题）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为 B．平面
C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为
8.（多选题）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
题型3两平面的夹角
9.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则面与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，过边长为的正方形的顶点A作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
11.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（ ）
A．120° B．45° C．150° D．60°
12.在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【能力提升】
单选题
1.已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A． B． C．3 D．
2.在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A． B． C． D．
3.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（ ）
A．2 B． C．4 D．1
4.如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
①∥平面； ②平面平面；
③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．
A．1 B．2 C．3 D．4
5.如图，在正方体中，E为棱上一点且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（ ）
A． B． C． D．
7.已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
8.如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
多选题
9.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面，则（ ）
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的余弦值为
10.如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点M，使得平面
B．存在点M，使得∥平面
C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为
D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为
11.如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧的中点，H是圆弧上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点H，使得
B．存在点H，使得
C．存在点H，使得EH∥平面BDG
D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°
12.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A． B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为
填空题
13.若向量，，，则：
（1）向量与的夹角为______；
（2）直线AD与BE所成角的大小为______.
14.已知，，则的最大值为
15.如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则
16.如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则的坐标为______，______.
解答题
17.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.
18.如图1，在梯形ABCD中，，O是边AB的中点．将绕边OD所在直线旋转到位置，使得，如图2．设为平面与平面的交线．
(1)判断直线与直线的位置关系并证明；
(2)若直线上的点满足，求出的长；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
19.如图所示，在正四棱锥中，底面的中心为，于，与交点为，.
(1)求证：平面.
(2)求二面角的正弦值.
20.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值.
