课件21张PPT。圆周角和圆心角的关系(1)一、旧知回放:1.圆心角的定义?答：相等.答:顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系? 23、(05年茂名)下列命题是真命题的是( )
1)垂直弦的直径平分这条弦
2)相等的圆心角所对的弧相等
3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形
A 1) 2) B 1) 3)
C 2) 3) D 1) 2) 3)课堂测验1、如图，⊙O中，∠AOB=100o，则AB弧的度数为______，AnB弧的度数为______。
2、圆的一条弦把圆分为度数的比为1∶5的两条弧，如果圆的半径为6，那么这弦的弦心距等于______，弦长等于_________。
3、判断题：
（1）相等的圆心角所对的弧相等 （ ）
（2）等弦对等弧（ ）
（3）等弧对等弦（ ）
（4）长度相等的两条弧是等弧（ ）
（5）平分弦的直径垂直于弦（ ）100o260o6√××××圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?A.OBCAA探索1:二、探索新知： 3...思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？
角的两边和圆是什么关系？圆周角在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.思考：图中的∠ABC的顶点A各在圆的什么位置？∠ABC的两边和圆是什么关系？圆周角探索2:你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交.圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
叫圆周角.练习：1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是是不是不是图１图２图３图４图５2、指出图中的圆周角。圆周角: 顶点在圆上,它的两边分别 与圆还各有一个交点,像这样的角,叫做圆周角.圆周角当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?. 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆
周角和圆心角之间有的关系.类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？圆周角和圆心角的关系如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同伴交流.教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.圆周角和圆心角的关系1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即 ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.老师期望:你可要理解并掌握这个模型.圆周角和圆心角的关系如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?老师提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得: ∴ ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,圆周角和圆心角的关系如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?老师提示:能否也转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:∴ ∠ABC = ∠AOC.你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,圆周角定理综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.即 ∠ABC = ∠AOC.练习：2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。1.求圆中角X的度数130° C C D B3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________做做看，收获知多少？一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。
二、计算
1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两
部分，则弦所对的圆周角的度数是 。×√O60°或120°2、如图,在⊙O中,∠BOC=50°,
求∠A的大小.解: ∠A= ∠BOC = 25°.习题1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∠ACB= ∠AOB12∠BAC= ∠BOC2∠AOB=2∠BOC∠ACB=2∠BAC四、新知应用：1 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义。
2、圆周角定理及其定理应用。
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法。五、总结扩展：三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用 2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?
为什么?
3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?拓展 化心动为行动1.如图(1),在⊙O中,∠BAC=50°,求∠C的大小. 练习： 4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=350，求∠BOC的度数。 5、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠ BOC=84°，求∠ A的度数。⌒⌒课件15张PPT。第三节 圆周角和圆心角的关系(二)耐心填一填，一锤定音！1.如图，∠BOC是 角， ∠BAC是 角。
若∠BOC=80° ， ∠BAC= 。圆心圆周40° A用心想一想，马到功成观察图①，∠ABC， ∠ADC和∠AEC各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？答： ∠ABC， ∠ADC和∠AEC都是圆周角。根据圆周角定理，∠ABC，∠ADC，∠AEC都等于 圆心角∠AOC的一半。 所以这三个角是相等的。由此你得到什么结论？这三个角是相等的。理由是：图①用心想一想，马到功成结论是：
在同圆中，同弧所对的圆周角相等。如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？答：成立。因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，所以这些圆周角也相等。对于等圆,情况也一样.因此,我们可以得到：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，
结论成立吗？请同学们互相议一议。用心想一想，马到功成如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？用心想一想，马到功成观察图②，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是
锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？答：直径BC所对的圆周角是直角。因为一条直径
将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180° ，所以 ∠BAC=90° 。图②观察图③，圆周角∠BAC=90° ，弦BC经过圆心吗？为什么？图③答：弦BC经过圆心O。因为连接OC、OB，由∠BAC=90° 可得圆心角∠BOC=180° 。即B、O、C三点在同一直线，也就是BC是⊙O的一条直径。由以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。放开手脚 做一做小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？答：图（2）是半圆形。理由是：90° 的圆周角所对的弦是直径。 放开手脚 做一做如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，
使AC=AB。BD与CD的大小有什么关系？为什么？分析：由于AB是⊙O的直径，故连接AD。由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC.又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD。 解：BD=CD。
理由是：连接AD。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90° ，
即AD ⊥BC。
又∵AC=AB。
∴BD=CD教材题变形，拓展延伸船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。
如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个
灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。（1）当船与两个灯塔的夹角
∠α大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角
∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠ACB”实际上就是圆周角。
船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内.当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外。因此,我们可以分情况讨论.解：（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域内（即⊙O内）。理由是：连接BE. 假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O内。（1）当船与两个灯塔的夹角
∠α大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角
∠α小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？解：（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” ∠C时，船位于暗礁区域外（即⊙O外）。理由是：
假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内。因此，船只能位于⊙O外。大胆尝试，练一练1.为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。答：∠BDC= ∠BAC 。3.如图,⊙O的直径AB=10 cm，C为⊙O 上的一点，∠ABC=30° ，求AC的长。课时小结1.要理解圆周角定理的推论。2.构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。3.要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的
圆周角也是常用方法之一。4.圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等。
