2.2.2 直线的两点式方程 （分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1直线的两点式方程
1.过点，的直线方程是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由直线方程的两点式列方程．
【详解】由直线方程的两点式得：，整理得：，故选B．
【点睛】本题考查了直线方程的两点式：（且），利用两点式列方程，整理．
2.已知点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入直线的两点式方程:,即可的到直线的方程.
【详解】 直线的两点式方程为:
代入得:
整理得直线的方程是: .
故选A.
【点睛】本题考查了直线的两点式方程,掌握直线的两点式方程是解题关键.
3.经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两点式直线方程即可求解.
【详解】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，
由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.
故选:C
4.△ABC的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出线段中点坐标，由两点式写出直线方程，再化简即得．
【详解】，，∴边中点为，
∴中线方程为，即．
故选D．
【点睛】本题考查直线方程，考查中点坐标公式，属于基础题．本题还可在求出中点的坐标后，代入坐标验证从而得出结论．
5.一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
【点睛】本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
题型2直线的截距式方程
6.在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线方程的截距式判断．
【详解】由截距式方程可得，所求直线方程为．
故选：A．
7.直线在x轴，y轴上的截距分别为( )
A．2,3 B．－2,3 C．－2，－3 D．2，－3
【答案】D
【分析】分别令等于0，即可求出结果.
【详解】因为，
当时，，即在轴上的截距为；
当时，，即在轴上的截距为；
故选D
【点睛】本题主要考查直线的截距，熟记截距式即可，属于基础题型.
8.过点和的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用直线的截距式方程，直接写出经过和两点的直线方程，化简求得结果.
【详解】∵直线经过两点和，而这两个点恰是直线和坐标轴的交点，
∴由直线的截距式方程可得，即，
故选：C.
9.若直线过第一 三 四象限，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线截距式，结合直线所过的象限，判断坐标轴截距的符号即可.
【详解】∵直线过点第一 三 四象限，
∴它在轴上的截距为正，在轴上的截距为负，即.
故选：B
10.过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程
【详解】当截距时，设直线方程为，
将，代入得，∴方程为
当截距时，过原点和点的直线方程为
又且在两坐标轴上的截距相等，
∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和
故选：D.
题型3直线方程的综合应用
11.经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（ ）
A．－1 B．1
C．－ D．
【答案】C
【分析】先由两点式方程求出直线方程，即可求得在x轴上的截距.
【详解】解析：由直线的两点式可得直线的方程为，即6x－y＋1＝0，
将代入可得在x轴上的截距为.
故选：C.
12.直线和直线在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由四个选项中的可知，分别由四个选项中的的符号推导的斜率和纵截距的符号可得解.
【详解】根据题意可知，，
对于、、，由可知，，所以：的斜率为正数，故、、不正确；
对于，由可知，，此时：符合，故正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了根据直线方程识别图象，属于基础题.
13.下列命题中，真命题的序号是（ ）
A．经过定点直线都可以用方程
B．不经过原点的直线都可以用方程表示；
C．过任意不同两点、的直线都可以用方程
D．经过的直线都可以用方程表示
【答案】C
【分析】根据直线方程的知识点逐个判断即可.
【详解】对A,当经过定点直线垂直于轴时不成立.故A错误.
对B, 直线垂直于轴时不可以用方程表示.故B错误.
对C,当直线斜率存在时,方程为成立.
当直线斜率不存在时,方程为成立.故C正确.
对D, 直线垂直于轴时不可以用方程表示.
故选：C
【点睛】本题主要考查了直线方程的辨析,重点注意斜率不存在的时候,属于基础题型.
14.在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（ ）
A．两条平行线 B．一个矩形 C．一个菱形 D．一个圆
【答案】C
【分析】去掉绝对值，即可判断图象形状.
【详解】当时，方程为；
当时，方程为；
当时，方程为；
当时，方程为，
因此原方程所表示的曲线是一个以，，，为顶点的菱形．
故选：C.
【点睛】本题考查直线方程截距式的理解，属于基础题.
15.已知点，，，则底边AB的中线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求得底边的中点坐标为，进而求得中线的方程，得到答案.
【详解】由题意，点，，，可得底边的中点坐标为，
可得底边AB的中线的方程是.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角形的性质，以及直线方程的求解，其中解答中熟记直线方程的求解方法，同时注意三角形底边的中线是一条线段是解答的易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
【能力提升】
单选题
1.过（1，2），（5，3）的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线的两点式方程求解即可.
【详解】因为所求直线过点（1．2），（5，3），所以直线方程为，即．
故选：B
2.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为（ ）
A．y＝－x＋3 B．y＝x－3
C．y＝x＋3 D．y＝－x－3
【答案】C
【分析】直接代入两点式方程，可求.
【详解】代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3，
故选：C．
3.直线过点（1，1）且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，则这样的直线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】分截距为0，截距不为0两种情况讨论，结合条件即得.
【详解】当在x轴和y轴上的截距为0时，直线为，适合题意，
当在x轴和y轴上的截距不为0时，可设直线方程为，
则，解得，即直线为，
综上，这样的直线有且仅有两条.
故选：B
4.过点，且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线方程是
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【详解】试题分析：当此直线经过原点时,又过点,所以直线方程为；当此直线不过原点时,设此直线方程为,点在此直线上,所以,此时直线方程为.综上,满足题意得直线方程为或,故选B.
5.如果直线被两个坐标轴截得的线段长为5,则c的值为 .
A．1 B．－1 C． D．±1
【答案】D
【分析】求出直线与两坐标交点坐标，由两点间距离公式计算．
【详解】令，得，令得，即直线与两坐标轴交点分别为，
∴，解得．
故选D．
【点睛】本题考查两点间距离公式，考查直线与坐标轴交点问题．直线与坐标交点坐标，只要分别令即可求得，也可把直线方程化为截距式，得交点坐标．
6.两条直线=1与=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将两条直线化简成为斜截式方程，观察斜率的关系，得出选项．
【详解】两直线的方程分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率符号相同，结合选项可知，B符合，
故选：B
7.直线l过点(-1，-1)和(2，5)，点(1 010，b)在直线l上，则b的值为（ ）
A．2 019 B．2 020 C．2 021 D．2 022
【答案】C
【分析】根据直线l过点(-1，-1)和(2，5)，得到直线l的两点式方程，然后将x=1 010代入求解.
【详解】因为直线l过点(-1，-1)和(2，5)，
所以直线l的两点式方程为，
化简得y=2x+1，
将x=1 010代入，得b=2 021.
故选：C
【点睛】本题主要考查直线方程的求法及应用，属于基础题.
8.下列说法正确的是（ ）
A．当直线与的斜率，满足时，两直线一定垂直
B．直线的斜率为
C．过（，），（，）两点的所有直线的方程
D．经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】A
【解析】A. 当直线与的斜率，满足时，可得两直线一定垂直；
B.分类讨论和两种情况；
C.分类讨论：过两点的所有直线的方程为或或；
D. 过点且在轴和轴上截距都相等，分类讨论：截距为0和不为0两种情况.
【详解】A.当直线与的斜率，满足时，两直线一定垂直，A项正确；
B.直线，当时，其斜率为，所以不正确；
C.过两点的所有直线的方程为或或，因此不正确；
D.过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以不正确；
综上，只有A正确，
故选：A.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线的问题，解题思路如下：
（1）把握中斜率存在两直线垂直的条件可以判断A正确；
（2）注意斜率存在的条件；
（3）注意直线两点式方程的试用条件；
（4）直线在两轴上的截距相等需要分截距等于零和不等于零两种情况.
多选题
9.若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】设直线的方程，分别求出直线在轴与轴上的截距，由三角形面积为2列方程求出即可得直线的方程.
【详解】易知直线的斜率存在，故设直线的方程，
令，得；令，得.
故围成的三角形面积为,
化简可得或.
对于方程，，故方程无解.
对于方程，可得或.
故直线的方程或，
即或.
故选:CD.
10.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.
【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为；
当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得，
即.
故选：AC.
【点睛】直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为.
11.下面说法中错误的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示
【答案】ABC
【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对即得答案.
【详解】对A，过点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故A错误；
对B，经过定点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故B错误；
对C，不仅过原点的直线不可以用方程表示，
而且垂直于两坐标轴的直线也不能用方程表示，故C错误；
对D，当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时，
直线方程为，即，
当直线斜率为0或者斜率不存在时，也适合方程，
所以经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故D正确.
故选：ABC.
12.下列说法正确的是（ ）
A．不经过原点的直线都可以表示为
B．若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为
C．过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D．直线3x－2y＝4的截距式方程为
【答案】BCD
【分析】A中，截距式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，即可判断；
B中，直接利用截距式方程判断；
C中，直接求出过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程，即可判断；
D中，直接化为截距式方程判断．
【详解】A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；
B中，AB的中点为(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为.
故B对；
C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；
D中，方程3x－2y＝4可化为，故D对．
故选：BCD
填空题
13.已知，，则直线的两点式方程为__．
【答案】
【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案.
【详解】当直线过两点，时，其两点式方程为，
则直线的两点式方程为，
故答案为：.
14.过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____.
【答案】
【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可.
【详解】设直线的方程为，则解得
则直线的方程为+=1，即.
故答案为：
15.下列说法不正确的是______（填序号）．
①点斜式适用于不垂直于轴的任何直线；
②斜截式适用于不垂直于轴的任何直线；
③两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线；
④截距式适用于不过原点的任何直线
【答案】④
【分析】根据垂直于坐标轴的直线、过原点的直线的性质，判断各直线表达式能否适用.
【详解】①②垂直于轴的直线不存在斜率，故不适用点斜式、斜截式，正确；
③垂直于轴和轴的直线或，故不适用两点式，正确；
④过原点的直线、垂直于坐标轴的直线，其截距或中的一个 不存在，故不适用截距式，错误.
故答案为：④
16.一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为______
【答案】
【详解】由光学知识可得反射光线所在的直线过点和关于轴的对称点，其直线方程为，即.
解答题
17.求经过下列两点的直线的两点式方程.
（1），；
（2），．
【答案】（1）；（2）；
【分析】根据直线的两点式方程求解即可.
【详解】因为直线的两点式方程为：，
因为，，
所以直线的两点式方程：；
因为，，
所以直线的两点式方程：；
18.求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程．
【答案】或．
【分析】当纵截距为0时，设直线方程为y=kx，代入点(5,2)求得k的值，.当纵截距不为0时，设直线的截距式方程，代入点(5,2)求解.
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为0时，因为直线过点，
所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，则直线的方程为，
又直线过点，∴，
解得，∴直线的方程为．
综上;直线的方程为或．
【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程和截距式方程，属于基础题.
19.（1）求在轴上的截距分别是的直线方程；
（2）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
【答案】（1）.；（2）或.
【分析】（1）利用直线方程的截距式即得；
（2）分截距为0，不为0讨论即求.
【详解】（1）根据直线方程的截距式，得直线方程为，化简得.
（2）当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线的方程为.
又因为过点，所以，解得.
所以直线的方程为，即.
当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
20.已知直线：.
(1)求证：直线恒过一个定点；
(2)若直线在两坐标轴上截距相等，求的方程；
(3)当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)或；(3)
【分析】（1）变形可得，观察可得定点；
（2）当时，符合题意，当时，变形得方程的截距式，然后根据截距式，列方程求解即可；
（3）由已知得不等式，解不等式即可.
(1)由得，
直线恒过定点
(2)明显，
当，即时，符合题意，
当时，由可得
则，
直线的方程为或；
(3)当时，直线上的点都在轴上方，
，
解得.2.2.2 直线的两点式方程 （分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1直线的两点式方程
1.过点，的直线方程是
A． B． C． D．
2.已知点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
3.经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
4.△ABC的三个顶点为，则AC边上的中线所在直线的方程为.
A． B． C． D．
5.一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
题型2直线的截距式方程
6.在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7.直线在x轴，y轴上的截距分别为( )
A．2,3 B．－2,3 C．－2，－3 D．2，－3
8.过点和的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9.若直线过第一 三 四象限，则（ ）
A． B． C． D．
10.过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
题型3直线方程的综合应用
11.经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（ ）
A．－1 B．1
C．－ D．
12.直线和直线在同一坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
13.下列命题中，真命题的序号是（ ）
A．经过定点直线都可以用方程
B．不经过原点的直线都可以用方程表示；
C．过任意不同两点、的直线都可以用方程
D．经过的直线都可以用方程表示
14.在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线是（ ）
A．两条平行线 B．一个矩形 C．一个菱形 D．一个圆
15.已知点，，，则底边AB的中线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【能力提升】
单选题
1.过（1，2），（5，3）的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为（ ）
A．y＝－x＋3 B．y＝x－3
C．y＝x＋3 D．y＝－x－3
3.直线过点（1，1）且在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，则这样的直线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4.过点，且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线方程是
A． B．或
C． D．或
5.如果直线被两个坐标轴截得的线段长为5,则c的值为 .
A．1 B．－1 C． D．±1
6.两条直线=1与=1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的（ ）
A． B．
C． D．
7.直线l过点(-1，-1)和(2，5)，点(1 010，b)在直线l上，则b的值为（ ）
A．2 019 B．2 020 C．2 021 D．2 022
8.下列说法正确的是（ ）
A．当直线与的斜率，满足时，两直线一定垂直
B．直线的斜率为
C．过（，），（，）两点的所有直线的方程
D．经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
多选题
9.若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
10.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
11.下面说法中错误的是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示
12.下列说法正确的是（ ）
A．不经过原点的直线都可以表示为
B．若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为
C．过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D．直线3x－2y＝4的截距式方程为
填空题
13.已知，，则直线的两点式方程为
14.过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是
15.下列说法不正确的是______（填序号）．
①点斜式适用于不垂直于轴的任何直线；
②斜截式适用于不垂直于轴的任何直线；
③两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线；
④截距式适用于不过原点的任何直线
16.一条光线从点射出，与x轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在的直线方程为______
解答题
17.求经过下列两点的直线的两点式方程.
（1），；
（2），．
18.求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程．
19.（1）求在轴上的截距分别是的直线方程；
（2）求过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
20.已知直线：.
(1)求证：直线恒过一个定点；
(2)若直线在两坐标轴上截距相等，求的方程；
(3)当时，直线上的点都在轴上方，求实数的取值范围.
