2.3.2两点间的距离公式（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1点到直线的距离
1.已知圆C: 与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则弦长（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】分别令和，从而求出A，B两点的坐标，由两点的距离公式可求出弦长.
【详解】令，解得或0；令，解得或0.所以，，
所以，
故选:C
【点睛】本题考查了两点的距离公式，属于基础题.本题的关键是求出A，B两点的坐标.
2.曲线（为参数）上的点到原点的距离的最大值为
A．1 B．3
C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离求最值.
【详解】曲线（为参数）上的点到原点的距离为：
，
当且仅当时取得等号
故选C.
【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用.
3.在平面直角坐标系中，已知点，，那么（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【分析】利用利用两点间的距离公式求得.
【详解】
.
故选：A
4.直线l到直线的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是___________.
【答案】
【分析】根据点到直线距离公式和两条平行线间的距离公式即可得到答案.
【详解】由题意设所求直线l的方程为，
则，解得，故直线l的方程为.
故答案为：.
5.点到直线的距离的最大值是 .
【答案】
【分析】利用点到直线的距离公式、再由三角函数的辅助角公式及三角函数的性质求得最值．
【详解】由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离
.
当时，.
故答案为：
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、及三角辅助角公式及三角函数的性质的综合应用，属于基础题．
题型2两点间的距离公式求最值
6.三个顶点的坐标分别为，则三角形边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的中点的坐标，再利用两点间距离公式计算可得答案.
【详解】的中点的坐标为，
∴
故选：A．
7.直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】求出与的交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可．
【详解】由得，即，
由得，即，
则|AB|.
故选：D
8.已知与两点间的距离是17，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】直接用两点间得距离公式计算即可.
【详解】由两点间的距离公式得：，解得.
故选：D
9.过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出定点，的坐标，再分和两种情况讨论，可判断两直线垂直，由即可求解.
【详解】由可得：，
由可得，所以定点，
直线可化为，
由可得，所以定点，
当时，直线方程为，，此时两直线垂直，
当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，
所以，所以，
故选：C.
10.已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8 B．6 C．3 D．0
【答案】C
【分析】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答.
【详解】因点，，则，
所以A，B两点之间的距离等于3.
故选：C
题型3利用距离公式解决最值问题
11.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求出A关于直线的对称点，然后根据两点之间直线最短进行求解即可.
【详解】解：设A关于直线的对称点的坐标为，
则，
∴最小．
故选：B
【点睛】本题考查点关于直线对称以及根据两点间的距离公式求最值，属于基础题
12.在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点，使得，则正实数的最小值是
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】设，由结合两点间的距离公式，得到关于的一元二次方程，利用判别式可解出的范围，取其最小的正值即可．
【详解】解：设，由得
化简得，
，
解得或（舍，
易知时，．
故的最小值为．
故选：．
【点睛】本题考查了两点间距离公式以及判别式法求最小值的问题，同时考查了学生的逻辑推理能力、数学运算等数学核心素养，属于基础题．
13.已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】首先确定点A和点B的坐标，再判断两条动直线垂直，进而得到直角三角形ABP，利用三角函数求最值即可.
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线经过定点，
，
∵动直线和动直线满足，
∴两条直线始终垂直，又因为是两条直线的交点，所以.
所以.
所以是直角三角形，且，
设，则，
∴
所以的最大值是.
故选：B.
14.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离结合上述观点，可得的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简得，表示平面上点与点，的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．
【详解】
，
表示平面上点与点，的距离和，
连接NH，与x轴交于，
由题得，
所以，
的最小值为，
故选C．
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，合理转化是正确解题的关键．
15.设实数满足，则的最小值等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：用代入消元法化为二次函数，由二次函数性质得最小值；法二：利用距离的几何意义.
【详解】法一：，代入，
得，
当时，的最小值为.
法二：可看作是射线上的点与原点O距离平方的最小值，
显然
故选：D.
【能力提升】
单选题
1.的顶点分别是A(7，8)，B(10，4)，C(2，-4)，则的BC边上的中线AD的长为
A．9 B．8 C． D．6
【答案】C
【分析】根据中点坐标公式求得点的坐标，在根据两点间的距离公式计算出的长.
【详解】设点的坐标为，则，，即点的坐标为.∴.
故选C.
【点睛】本小题主要考查中点坐标公式，考查两点间的距离公式，属于基础题.
2.若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ）
A．3 B．
C．5 D．
【答案】D
【分析】先根据过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行求得a与b的关系，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】由题意得＝2，即b－a＝2.
所以|AB|＝.
故选：D
3.已知的三个顶点分别是，，，M是边BC上的一点，且的面积等于面积的，那么线段AM的长等于．
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面积比求得点的位置，根据向量坐标运算求得点坐标，再根据两点间的距离公式求得的长.
【详解】由于的面积等于面积的，故，设，由得，解得，即，所以.故选A.
【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查两点间的距离公式，属于基础题.
4.若直线交于一点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先联立方程求出的交点，再将该点代入即可求出a的值.
【详解】由，解得，
即直线与相交于点，代入，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查直线交点坐标的求法，属于基础题.
5.点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为 ( )
A．2 B．1 C． D．5
【答案】C
【详解】根据对称性知道点N(－1,2)，
由两点间距离公式得到|ON|＝
故选：C.
6.已知直角坐标平面上连接点和点M的线段的中点是，则点M到原点的距离为（ ）
A．41 B． C． D．39
【答案】B
【分析】根据中点坐标公式，结合两点间距离公式进行求解即可.
【详解】设，由题意得解得即.
则点到原点的距离为.
故选：B
7.三个顶点的坐标分别为，则三角形边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的中点的坐标，再利用两点间距离公式计算可得答案.
【详解】的中点的坐标为，
∴
故选：A．
8.在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】求点关于直线的对称点的坐标，由此可得，结合结论两点之间线段最短可求的最小值.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以，
所以，
当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，
所以的最小值是4，
故选：B.
多选题
9.直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是（ ）
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－1，2) D．(0，1)
【答案】BC
【分析】根据两点间的距离公式求得正确选项.
【详解】设所求点的坐标为，
则，解得或，
所以所求点的坐标为或.
故选：BC
10.已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（ ）
A．点的坐标是或
B．三角形的面积等于
C．斜边的中点坐标是
D．点关于直线的对称点是
【答案】ACD
【分析】取的中点，由，且在上，求得点坐标为，可判断C；由及，求得的坐标可判断A；求得，可判断B；求出点关于直线的对称点可判断D．
【详解】取的中点，
因为三角形为等腰三角形，所以，
即垂直于直线，则，且，解得，
则的中点坐标为，故C正确；
所以①，
而，且，
②，
联立①②，解得，或，所以的坐标是或，故A正确；
，，所以，故B错误；
设点的对称点为，则的中点为，即，所以，
，解得，即点关于直线的对称点是，故D正确．
故选：ACD．
.
11.下列说法中，正确的有（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于对称的直线方程是
D．点到直线的的最大距离为
【答案】BD
【分析】点斜式方程不能表示斜率不存在的直线判断A；直接令求解直线在轴上的截距判断B；结合关于直线对称的点的关系求解判断C；结合直线过定点求解即可判断D.
【详解】解：对于A选项，点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，故错误；
对于B选项，令得，所以直线在轴上的截距为，正确；
对于C选项，由于点关于直线对称的点为，所以直线关于对称的直线方程是，故错误；
对于D选项，由于直线，即直线过定点，所以点到直线的的最大距离为，故正确.
故选：BD
12.已知直线和点，过点A作直线与直线l相交于点B，且，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】运用两点间距离公式，结合直线两点式方程进行求解即可.
【详解】由于点B在l上，可设点B的坐标为．
由，化简得，解得或．
当时，直线的方程为；当时，点B的坐标为，
直线的方程为：．
综上，直线的方程为或．
故选：AB
填空题
13.已知，两点，当取最小值时，的值为 .
【答案】3
【分析】用空间两点间的距离公式计算可得，借助于二次函数可以求出取最小值时的值.
【详解】∵，
令，则对称轴为，且当时，，即
所以当时 两点间距离取最小值3.
故答案为：3.
14.已知，以及点，则的面积为 ．
【答案】3
【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可.
【详解】,,
,
,
，
故答案为：3
15.函数的最小值为____________．
【答案】
【分析】首先根据题意得到表示点到点和的距离之和，从而得到当点为线段与轴的交点时，取得最小值，再求即可.
【详解】，
表示点到点和的距离之和.
当点为线段与轴的交点时，取得最小值.
.
故答案为：
16.已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________．
【答案】(－5，0)或(11，0)
【分析】设点P的坐标为(x，0)，由两点之间的距离公式，列方程求解即可得出结果.
【详解】设点P的坐标为(x，0)，由d(P，A)＝10得，
解得x＝11或x＝－5.
∴点P的坐标为(－5，0)或(11，0).
故答案为： (－5，0)或(11，0)
【点睛】本题考查了两点之间的距离公式，考查了计算能力， 属于基础题目.
解答题
17.已知直线 ：，直线 过点 且与直线 平行.
（1）求直线 的方程；
（2）点在直线 上，若 ，求点的坐标.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据平行可设 的方程，再代入点坐标即可；
（2）先设点的坐标，再根据列方程解得结果.
【详解】（1）因为 与直线 平行，所以设
因为直线 过点 ，所以
因此 的方程为；
（2）因为点在直线 上，所以可设
因为，所以
即点的坐标为或
【点睛】本题考查根据直线平行求直线方程、两点间距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
18.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(1，5)，B(﹣3，7)，C(﹣8，2)．
（1）求AC边上的高所在直线方程；
（2）求ABC的面积．
【答案】（1）3x＋y＋2＝0；（2）15.
【分析】（1）根据斜率公式，结合两直线垂直时斜率之间的关系、直线的点斜式方程进行求解即可；
（2）利用点到直线距离公式和两点间距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意，，
因此AC边上的高所在直线的斜率为：，
所以AC边上的高所在直线方程为：y﹣7＝﹣3(x＋3)，即3x＋y＋2＝0；
（2） AC＝，
AC边所在直线方程为：y﹣5＝(x﹣1)， 即x﹣3y＋14＝0，
B到AC的距离，
所以ABC的面积.
【点睛】本题考查了两直线垂直时斜率关系的应用，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线的点斜式方程的应用，考查了数学运算能力.
19.已知的边长为4，若边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，设，用两点间距离公式表示边上的中线长，即得解
【详解】以边所在直线为x轴，边的中垂线为y轴建立平面直角坐标系（如图），
则，设的中点.
∴
∵，∴.②
将①代入②，整理得.
∵点C不能在x轴上，∴.
综上，点C的轨迹是以为圆心，6为半径的圆，去掉和两点，轨迹方程为.
20.已知的三个顶点是，，.
（1）求边的垂直平分线方程；
（2）若的面积为，求实数的值.
【答案】（1） （2）或-4
【解析】（1）求出线段的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式即可求出直线方程；
（2）求出线段的长度，再求出点到直线的距离，由三角形的面积公式即可求解.
【详解】解：（1）
线段的中点坐标为
记边的垂直平分线为，则
，得
线段的垂直平分线的方程为，
即.
（2）
直线，即
设点到直线的距离为，则，
，
或.
【点睛】本题主要考查点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础题.2.3.2两点间的距离公式（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1点到直线的距离
1.已知圆C: 与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则弦长（ ）
A． B．5 C． D．
2.曲线（为参数）上的点到原点的距离的最大值为
A．1 B．3
C．2 D．4
3.在平面直角坐标系中，已知点，，那么（ ）
A．2 B． C． D．4
4.直线l到直线的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是___________.
5.点到直线的距离的最大值是 .
题型2两点间的距离公式求最值
6.三个顶点的坐标分别为，则三角形边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
7.直线l：4x﹣y﹣4＝0与l1：x﹣2y﹣2＝0及l2：4x+3y﹣12＝0所得两交点的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
8.已知与两点间的距离是17，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．
9.过定点的直线与过定点的直线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10.已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8 B．6 C．3 D．0
题型3利用距离公式解决最值问题
11.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．
12.在直角坐标系中，已知，，若直线上存在点，使得，则正实数的最小值是
A． B．3 C． D．
13.已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
14.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离结合上述观点，可得的最小值为
A． B． C． D．
15.设实数满足，则的最小值等于( )
A． B． C． D．
【能力提升】
单选题
1.的顶点分别是A(7，8)，B(10，4)，C(2，-4)，则的BC边上的中线AD的长为
A．9 B．8 C． D．6
2.若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ）
A．3 B．
C．5 D．
3.已知的三个顶点分别是，，，M是边BC上的一点，且的面积等于面积的，那么线段AM的长等于．
A．5 B． C． D．
4.若直线交于一点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
5.点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为 ( )
A．2 B．1 C． D．5
6.已知直角坐标平面上连接点和点M的线段的中点是，则点M到原点的距离为（ ）
A．41 B． C． D．39
7.三个顶点的坐标分别为，则三角形边上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
8.在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．6
多选题
9.直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是（ ）
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－1，2) D．(0，1)
10.已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（ ）
A．点的坐标是或
B．三角形的面积等于
C．斜边的中点坐标是
D．点关于直线的对称点是
11.下列说法中，正确的有（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在轴上的截距为
C．直线关于对称的直线方程是
D．点到直线的的最大距离为
12.已知直线和点，过点A作直线与直线l相交于点B，且，则直线l的方程是（ ）
A． B．
C． D．
填空题
13.已知，两点，当取最小值时，的值为 .
14.已知，以及点，则的面积为 ．
15.函数的最小值为____________．
16.已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________．
解答题
17.已知直线 ：，直线 过点 且与直线 平行.
（1）求直线 的方程；
（2）点在直线 上，若 ，求点的坐标.
18.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(1，5)，B(﹣3，7)，C(﹣8，2)．
（1）求AC边上的高所在直线方程；
（2）求ABC的面积．
已知的边长为4，若边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程.
20.已知的三个顶点是，，.
（1）求边的垂直平分线方程；
（2）若的面积为，求实数的值.
