2.3.3 点到直线的距离公式 （分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1点到直线的距离
1.已知过定点A，则点A到直线的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】先求出直线经过的定点，再求点到直线的距离.
【详解】由题得，
所以，
解之得，
所以,
所以点A到直线的距离是.
故选：B
2.已知点，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】的最小值为点Q到直线l的距离，由此能求出的最小值．
【详解】解：点，点Q是直线上的动点，
的最小值为点Q到直线l的距离，
的最小值为．
故选：C．
3.若点在直线上，为坐标原点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】求出点O到直线的距离即得解.
【详解】∵点在直线上，O为坐标原点，
的最小值是点O到直线的距离．
故选：B．
4.已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.
【详解】解：由题意得．
解得或．，．
故选：C.
5.已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．7
【答案】B
【分析】把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解．
【详解】由直线方程变形为：，
由，解得，
所以直线恒经过定点，
故点到直线的距离是，
故选：B.
题型2点到直线的距离公式的应用
6.已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】的最小值就是点M到直线的距离，所以直接利用点到直线的距离公式求解即可
【详解】过点M作交l于点N，则有，因此的最小值就是点M到直线的距离，即．
故选：C
【点睛】此题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题
7.已知动直线恒过点且到动直线的最大距离为3，则的最小值为
A． B． C．1 D．9
【答案】B
【分析】由题意可得：可得．又到动直线的最大距离为3，可得，解得，从而得到．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】动直线恒过点，．
又到动直线的最大距离为3，
，解得．
．
则，当且仅当时取等号．
故选：B．
【点睛】本题考查直线方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
8.若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是 ( ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定的中点轨迹，再根据点到直线距离公式求最小值.
【详解】因为,所以的中点轨迹为直线：，，
因此到原点的距离的最小值是，选A.
【点睛】本题考查点到直线距离公式，考查基本求解能力.
9.设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用直线平行的条件求得m的值，得到直线l的方程，利用点到直线的距离公式得到A到l的距离关于a的函数表达式，进而求得最小值.
【详解】由已知两直线平行，∴,∴直线,
∴到l的距离的,当时取到最小值,
故选：
10.已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定直线过定点，故点到直线的距离的最大值为，计算得到答案.
【详解】直线，整理得，
由，解得，故直线过定点
故点到直线的距离的最大值为.
故选：C
题型3 直线的对称问题
11.已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先在已知直线上取两点关于对称，在利用对称点求直线的方程即可.
【详解】直线取两点，其关于对称的点为在直线上，故斜率为，即方程为，即.
故选：A.
12.一束光线从点出发，经直线:上一点反射后，恰好穿过点，则反射光线所在的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出关于直线的对称点为，点，，三点共线， 利用点，可求出反射光线所在的直线方程.
【详解】设关于直线的对称点为，
由反射的性质，可知点，，三点共线.
由对称轴为，得且，
解得，，即，
所以反射光线所在的直线方程为，
故反射光线所在的直线在轴上的截距为.
故选:D.
13.已知关于直线对称的点为，则满足的直线方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点，由线段中点在对称直线上，直线与对称直线垂直列方程组求得点坐标，然后判断．
【详解】设点，因为点关于直线对称的点为，所以解得此时点只满足方程，
故选：D．
14.两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出两直线的交点，在直线上任取一点，求出其关于的对称点，利用点斜式求出直线方程.
【详解】联立方程，解得，
在直线上任取一点，其关于的对称点为，
则直线关于直线对称的直线方程为，即
故选：D.
15.已知在中，其中，的平分线所在的直线方程为，则A点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可知点B关于直线的对称点在直线上，求出，可得出直线AC方程，联立直线AC和角平分线即可求出点A坐标.
【详解】由题可知点B关于直线的对称点在直线上，设为，
则，解得，即，
则直线AC方程为，，即，
联立，解得，即.
故选：B.
【点睛】方法点睛：关于轴对称问题：（1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
【能力提升】
单选题
1.已知斜率为的直线过直线与交点，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出两直线的交点，利用点斜式得到直线方程，进而利用点到直线距离公式得到答案.
【详解】联立，，解得，
又直线斜率为，
∴直线的方程为，即，
∴原点到直线的距离为.
故选：A
2.点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据点关于直线的对称点为，即可求出．
【详解】因为点关于直线的对称点为，所以点关于直线对称的点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查点关于直线对称的点的坐标求法的应用，属于容易题．
3.已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．
【答案】B
【分析】点关于轴的对称点为，则求出最小值即可得出答案.
【详解】点关于轴的对称点为，则，
所以，
的最小值为.
故选：B.
4.已知点A(2，1)，点B为两条直线与x+y－1=0的交点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】先求出直线的定点，根据题意可以判断当直线AB与直线x+y－1=0垂直时，|AB|最小，进而求得答案.
【详解】直线，则直线过定点，根据题意，当直线AB与直线x+y－1=0垂直时，|AB|最小，点到直线x+y－1=0的距离，即|AB|的最小值为.
故选：B.
5.过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】当直线斜率不存在时不合题意，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离相等求解即可.
【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等
得，解得或，即直线方程为或.
故选：C.
6.直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线与x轴的交点M坐标，直线与y轴的交点N坐标，及直线和的交点P坐标，则可求和由两点式可得直线MN的方程为，即可求P点到直线MN的距离，即可求
【详解】直线与x轴的交点为，直线与y轴的交点为，
则．
如图所示：
则由两点式可得直线MN的方程为，即，
由解得，
此为两直线的交点，
根据点到直线的距离公式可得P点到直线MN的距离为
，
故
．
故选：B
7.与直线3x＋2y－4＝0和3x＋2y＋8＝0距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线3x＋2y＋2＝0
B．直线3x＋2y－2＝0
C．直线3x＋2y±2＝0
D．以上都不对
【答案】A
【分析】设直线方程为，利用两平行线距离相等建立方程，解之可得选项.
【详解】直线平行于直线到两平行直线距离相等的点的轨迹是与两直线平行的直线，
可设该直线方程为，利用两平行线距离相等，即，解得直线方程为，
故选：A.
8.若点到直线：的距离为2，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】利用点到直线的距离公式求出和即可求解
【详解】由，化简得，所以或，所以，直线的方程为或．
故选：C
多选题
9.已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．原点到直线l距离等于2
B．若点在直线l上，则
C．点到直线l距离的最大值等于
D．点到直线l距离的最小值等于
【答案】ABCD
【分析】由点到直线的距离公式判断A；由辅助角公式判断B；由距离公式结合正弦函数的性质判断CD.
【详解】对于A：由点到直线的距离公式知，，故A正确；
对于B：由题意得，当时，则，
其中，因为，所以，即.
当时，，则，即，
综上，点在直线l上，则，故B正确；
对于CD：因为，
所以的最大值等于，最小值等于，故CD正确；
故选：ABCD
10.关于直线，以下说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．时，直线l过第一，二，三象限
C．时，直线l不过第三象限
D．原点到直线l的距离的最大值为1
【答案】ABD
【分析】由确定定点坐标，根据a的符号判断直线所过的象限，根据时原点到直线l的距离的最大求最大距离.
【详解】由过定点，A正确；
当，过一、二、三象限，B正确；
当，过二、三、四象限，C错误；
要使原点到直线l的距离的最大，只需，即距离等于，D正确.
故选：ABD
11.下列说法中，正确的有（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在y轴上的截距为
C．点到直线的的最大距离为
D．直线关于对称的直线方程是
【答案】BC
【分析】根据点斜式的应用范围即可判断A；，求出，即可判断B；求出直线所过的定点，再求出定点与点的距离，即可判断C；求出交点坐标，在求出直线直线上的点关于直线对称的点的坐标，即可判断D.
【详解】解：对于，点斜式不能表示斜率不存在得直线，故A错误；
对于B，令，则，
所以直线在y轴上的截距为，故B正确；
对于C，直线化为，
令，解得，
所以直线过定点，
则点到直线的的最大距离为，故C正确；
对于D，联立，解得，
即直线与直线的交点为，
设直线上的点关于直线对称的点，
则，解得，即，
所以所求直线方程为，即，故D错误.
故选：BC.
12.已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（ ）
A． B．d的最大值为
C．是等腰三角形 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，根据垂径定理以及弦长公式，可得答案；
对于B，根据题意作图，结合圆上点与直线的位置关系，可得答案；
对于C，求弦的中垂线的直线方程，根据中垂线的性质，可得答案；
对于D，由题意，作图，根据线段组合，求得答案.
【详解】对于A，由圆，可得，半径为，
点到直线的距离为，则，故A正确；
对于B，由题意，可作下图：
点为弦的中点，直线，则，故B错误；
对于C，由选项B与题意，如下图：
易知，，则直线的斜率，
由，则直线的斜率，由，
则直线的方程为，则，
即点在直线上，为的中垂线，是等腰三角形，
故C正确；
对于D，由题意，可作图：
则，显然，则，
故D正确；
故选：ACD.
填空题
13.点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为 ．
【答案】.
【分析】将直线方程变形为，得直线系恒过点，由此得到P到直线l的最远距离为，再利用两点间的距离公式计算可得．
【详解】∵直线，
∴可将直线方程变形为，
∴，解得，
由此可得直线系恒过点，
P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA，
∴．
故答案为：.
14.已知直线l过点（1，2），且原点到直线l的距离为1，则直线l方程为__________．
【答案】x=1或3x﹣4y+5=0
【分析】分两种情况，当斜率不存在时，验证是否满足题意；当斜率存在时，设出点斜式方程，再由点到直线的距离公式求出斜率即可求解.
【详解】直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为：x=1，满足题意；
直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣1），化为：kx﹣y+2﹣k=0．
由题意可得：，解得：k，
∴直线l的方程为：y﹣2（x﹣1），化为：3x﹣4y+5=0，
综上可得：直线l的方程为：x=1或3x﹣4y+5=0，
故答案为：x=1或3x﹣4y+5=0．
【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程、点到直线的距离公式，注意斜率不存在的情况，考查分类讨论的思想，属于基础题
15.点关于直线的对称点是_________.
【答案】
【分析】设出对称点，根据对称的性质列出方程即可求出.
【详解】设对称点为，由题意可知，解得，所以对称点为.
故答案为：.
16.已知直线，点为直线l上任意一点，则的最小值为________．
【答案】
【分析】表示直线上的点到点和的距离和，由于在直线的同侧，所以将其中一点关于直线对称，再利用两点之间线段最短可求得结果.
【详解】表示直线上的点到点和的距离和，
即,
设点关于直线的对称点为，则，
所以,
当三点共线时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
解答题
17.已知的三个顶点分别为.
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）求出边的中点D，再由直线的斜率，可得直线的垂直平分线的斜率，根据点斜式即可求解.
（2）根据两点间的距离公式求出，再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离即可求解.
【详解】解：（1）因为，，所以边的中点D的坐标为，
又因为直线的斜率，则直线的垂直平分线的斜率，
所求直线的方程为，即.
（2）因为，所以
又直线的方程为，
则到直线的距离为.
所以的面积为.
18.已知直线和直线的交点为.
(1)求过点且与直线平行的直线方程；
(2)若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）联立直线方程求得交点，根据直线平行及点在直线上求平行直线方程；
（2）设垂直直线为，由已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）联立，解得，交点，
设与直线平行的直线方程为
把代入可得，可得，
∴所求的直线方程为：.
（2）设与直线垂直的直线方程为，
∵到的距离为，解得或，
∴直线的方程为：或
19.设直线的方程为，．
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）分直线过原点时和直线不过原点时两种情况讨论即可；（2）分别求出在轴，轴上的截距，从而表示出围成的三角形的面积即可.
【详解】（1）由题可知：，即．
①当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时，
则直线的方程为．
②当直线不过原点时，即时，由截距相等，得，即，
则直线的方程为．
综上：所求直线的方程为：或．
（2）由题可知：，，且在轴，轴上的截距分别为，．
所以有，即．
又因为，所以，解得．
20.已知直线经过直线：，：的交点.
（1）若，求直线的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为1.
【分析】（1）先将直线的方程联立成方程组求出点的坐标，再由设出直线的方程，然后将点的坐标代入可求出直线的方程；
（2）当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用点到直的距离公式求解，当直线的斜率不存在时，直线为，得距离为1，比较两距离可得结果
【详解】解：（1）由，得
所以两条直线的交点的坐标为，
设与：垂直的直线方程为，
又过点，代入得，故，直线方程为
（2）因为直线过定点，
当直线斜率不存在时，点到：距离为，
当直线斜率存在时，设其方程为：即；
点到直线的距离
所以当：时，点到直线的距离的最大值为1.2.3.3 点到直线的距离公式 （分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1点到直线的距离
1.已知过定点A，则点A到直线的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．
2.已知点，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
3.若点在直线上，为坐标原点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
4.已知点到直线的距离为，则等于（ ）
A． B． C． D．
5.已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．7
题型2点到直线的距离公式的应用
6.已知，若点P是直线上的任意一点，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
7.已知动直线恒过点且到动直线的最大距离为3，则的最小值为
A． B． C．1 D．9
8.若动点分别在直线上移动，则的中点到原点的距离的最小值是 ( ）
A． B． C． D．
9.设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
10.已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型3 直线的对称问题
11.已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12.一束光线从点出发，经直线:上一点反射后，恰好穿过点，则反射光线所在的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
13.已知关于直线对称的点为，则满足的直线方程为
A． B． C． D．
14.两直线，则直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
15.已知在中，其中，的平分线所在的直线方程为，则A点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【能力提升】
单选题
1.已知斜率为的直线过直线与交点，则原点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2.点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.已知两点A（2，3），B（3，2），点C在x轴上，则的最小值为（ ）
A． B．5 C．2 D．
4.已知点A(2，1)，点B为两条直线与x+y－1=0的交点，则|AB|的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
5.过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6.直线和与两坐标轴围成的四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7.与直线3x＋2y－4＝0和3x＋2y＋8＝0距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线3x＋2y＋2＝0
B．直线3x＋2y－2＝0
C．直线3x＋2y±2＝0
D．以上都不对
8.若点到直线：的距离为2，则直线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
多选题
9.已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．原点到直线l距离等于2
B．若点在直线l上，则
C．点到直线l距离的最大值等于
D．点到直线l距离的最小值等于
10.关于直线，以下说法正确的是（ ）
A．直线l过定点
B．时，直线l过第一，二，三象限
C．时，直线l不过第三象限
D．原点到直线l的距离的最大值为1
11.下列说法中，正确的有（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．直线在y轴上的截距为
C．点到直线的的最大距离为
D．直线关于对称的直线方程是
12.已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（ ）
A． B．d的最大值为
C．是等腰三角形 D．的最小值为
填空题
13.点到直线l：（为任意实数）的距离的最大值为 ．
14.已知直线l过点（1，2），且原点到直线l的距离为1，则直线l方程为__________．
15.点关于直线的对称点是_________.
16.已知直线，点为直线l上任意一点，则的最小值为________．
解答题
17.已知的三个顶点分别为.
（1）求边的垂直平分线的方程；
（2）求的面积.
18.已知直线和直线的交点为.
(1)求过点且与直线平行的直线方程；
(2)若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程.
19.设直线的方程为，．
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）当时，直线与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求的值.
20.已知直线经过直线：，：的交点.
（1）若，求直线的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值.
