第一章 空间向量与立体几何（单元测试卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.在空间直角坐标系中，为坐标原点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间直角坐标系中两点距离公式求解即可.
【详解】为坐标原点，，所以.
故选：A.
2.已知向量，且与互相垂直，则k=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用垂直的坐标表示列方程求解即可.
【详解】由与互相垂直得，
解得
故选：C.
3.空间四边形 OABC中，=
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，根据向量的加法、减法法则，把进行化简即可得到答案.
【详解】解：根据向量的加法、减法法则，得
．
故选A.
【点睛】本题考点是空间向量的加减法，解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简，属于基础题．
4.若空间中有三点，，．则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出平面的法向量，后用点面距离相关公式可得答案.
【详解】由题，，．
设平面的法向量为，所以
令，得．因为，
所以点到平面的距离为.
故选：A
5.已知三棱锥中，，，则异面直线，所成角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意将图形补全成一个长、宽、高分别为1，1，的长方体，再利用向量法即可得出答案.
【详解】解：如图所示，在一个长、宽、高分别为1，1，的长方体中可以找到满足题意的三棱锥，以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
，，
，，
，
所以异面直线，所成角为.
故选：B.
6.在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，由正四面体的性质可得：，可得，由E是棱中点，可得，代入，利用数量积运算性质即可得出.
【详解】如图所示
由正四面体的性质可得：
可得：
是棱中点
故选：
【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.
7.给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体中，必有；
③是向量的必要不充分条件；
④若空间向量满足，则．
其中正确的命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．0
【答案】B
【分析】①有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的；②，大小一样方向相同，二者相等；③不能推出；④为零向量时，这一特殊情况要注意，就不成立．
【详解】有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体中，向量与的方向相同，模也相等，则，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行．故选B．
【点睛】向量是既有大小又有方向的量；零向量与任何向量都是平行向量．
8.如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解
【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点,，，，
所以
,
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】ACD
【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解得到答案.
【详解】选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，因为，根据空间基底的概念，可得不正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，
又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；
选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了空间基底的概念及其判定，其中解答中熟记空间基底的概念，合理利用共面向量定量进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
10.如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】CD
【分析】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特征依次判断选项即可.
【详解】由正四棱柱可知，
A：，但与方向相反，故A不符题意；
B：，但与方向不同，故B不符题意；
C：，且与方向相同，故C符题意；
D：，且与方向相同，故D符题意.
故选：CD.
11.已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离可能为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】ABC
【分析】利用空间向量求出点P到直线l的距离，即可判断作答
【详解】依题意，，，而直线l的方向向量为，
，，
因此点P到直线l的距离为，即PQ的最小值为，
所以选项A，B，C可能，选项D不可能.
故选：ABC
12.已知正方体， 分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行
C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等
【答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，求出平面平面与平面的法向量，根据空间位置关系的向量方法，可判断,利用空间距离的向量求法可判断D.
【详解】如图，以A为原点，以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系：
设正方体棱长为2，则，
故 ,
由于，故不垂直，
即直线与直线不垂直，A错误；
又 ,
所以,, ，
设平面的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，即 ，
故 ，而平面，∴直线与平面平行，故B正确；
,
设平面的法向量为 ，则 ，
取 ，则 ，即 ，
因为，故平面与平面垂直，C正确；
,则点C到平面的距离为 ，
,则点到平面的距离为,
即点C和点到平面的距离不相等，D错误，
故选：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知空间向量，则 .
【答案】
【分析】由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．
【详解】因为，所以.
故答案为：．
14.设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为 ．
【答案】/－0.5
【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，两向量垂直，其数量积为零﹒
【详解】∵，∴，∴．
故答案为：﹒
15.已知正方体，则直线与平面所成的角为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面所成的角.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，
，
，
设平面的法向量为，
则.
设直线与平面所成的角为，
则，
由于，所以.
故答案为：
16.设空间向量，，若，则 ．
【答案】9
【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出和的值，进而可得的坐标，再由模长公式即可求解.
【详解】因为空间向量，，
由，即，
可得，解得：，，
所以，，则，
所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知直线l经过，两点，求直线l上一点P，使得．
【答案】.
【分析】设出点P的坐标，利用向量相等建立方程组，再求解作答.
【详解】设点，因，，则，，
又，于是得，解得，即点，
所以点.
18.已知向量，，．
(1)当时，求实数x的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数x的值．
【答案】(1)或.
(2).
【分析】（1）由空间向量的坐标运算，建立方程，求解即可；
（2）设，根据空间向量的坐标线性运算建立方程组，求解即可．
【详解】（1）解： ，
因为，所以，即，解得或；
（2）解：因为向量与向量，共面，所以设．
因为，，所以所以实数x的值为.
19.如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）设平面的一个法向量为，求出法向量，利用向量法求解解．
（3）利用向量法求解即可．
【详解】（1）如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
，，
因为在上，故可设，又，
所以，解得，
所以，
，
，即
，平面．
所以平面．
（2）设平面的一个法向量为，
，
则，
，
令，得，
，
所以所求的距离为；
（3）由（2）知，，
，
与所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.
(1)将空间向量与用表示出来；
(2)求线段BM的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算用基底表示向量即可；
（2）利用（1）的结论以及模长公式计算可求出结果.
【详解】（1）
（2）由题可知因为，
又因为，
所以.
易得，
所以，
所以，即的长为.
21.如图，已知六面体中，四边形满足，，，，，平面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接，则由已知条件可得≌，从而由已知得，由可得平面，则有，而平面，可得平面，则得，再由线面垂直的判断定理可证得结论；
（2）连接，交于点，则可得平面，连接，交于点，可证得四边形为平行四边形，进而可得平面，平面平面，过点作于点，连接，可得为直线与平面所成的角，然后在中求解即可；或以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【详解】解：（1）连接，由，，，得≌，因为，所以．
因为，所以平面，又平面平面，所以．
因为平面，所以平面，所以．
又，所以平面．
（2）解法一
如图，连接，交于点，由（1）知垂直平分．
又平面，所以．
连接，因为，所以平面．
连接，交于点，因为，且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以平面．
又平面，所以平面平面．
过点作于点，连接，则易知平面，
所以为直线与平面所成的角．
因为，，，
所以，．
连接，由（1）知，，所以平面，
因此，，且，
于是，即，所以．
所以，
又，
所以，即直线与平面所成角的正弦值为．
解法二由（1）知，平面，，故可以以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，所以是平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】本题考查的知识是“理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理”，“理解直线与平面所成角的概念”，“了解求直线与平面所成角的向量方法”．解题的关键是利用已知条件作出直线与平面所成角，然后计算，或建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题
22.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，，点E在线段AD上，.
(1)求证：；
(2)若，，且，求平面ABP与平面PCE夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明出线面垂直，再证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解二面角的余弦值.
(1)证明：
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴，
∵，，
∴平面PAD，
∵，
∴平面PAD，
又平面PAD，
∴；
(2)∵，，，
∴，.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由题意知平面PAB的一个法向量为，
设平面PCE的法向量为，，，
由，得，
取，则，
则；
设平面ABP与平面PCE夹角为，显然由图形看出为锐角，第一章 空间向量与立体几何（单元测试卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.在空间直角坐标系中，为坐标原点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量，且与互相垂直，则k=（ ）
A． B． C． D．
3.空间四边形 OABC中，=
A． B． C． D．
4.若空间中有三点，，．则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
5.已知三棱锥中，，，则异面直线，所成角为（ ）
A． B． C． D．
6.在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为
A． B．1 C． D．
7.给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体中，必有；
③是向量的必要不充分条件；
④若空间向量满足，则．
其中正确的命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．0
8.如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底
C．，，，是空间四点若不能构成空间的一个基底那么，，，共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
10.如图正四棱柱，则下列向量相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
11.已知直线l的方向向量为，为直线l上一点，若点为直线l外一点，则P到直线l上任意一点Q的距离可能为（ ）
A．2 B． C． D．1
12.已知正方体， 分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行
C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知空间向量，则 .
14.设直线的方向向量为，直线的方向向量为，若，则实数m的值为 ．
15.已知正方体，则直线与平面所成的角为 ．
16.设空间向量，，若，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知直线l经过，两点，求直线l上一点P，使得．
18.已知向量，，．
(1)当时，求实数x的值；
(2)若向量与向量，共面，求实数x的值．
19.如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
20.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.
(1)将空间向量与用表示出来；
(2)求线段BM的长.
21.如图，已知六面体中，四边形满足，，，，，平面．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD，，点E在线段AD上，.
(1)求证：；
(2)若，，且，求平面ABP与平面PCE夹角的余弦值.
