人教版初中数学2023-2024学年八年级上册 11.1与三角形有关的线段检测题
一、单选题
1．（2018八上·巴南月考）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
2．（2020八上·大新期中）已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是（ ）
A．11 B．5 C．2 D．1
3．教室的一扇窗户打开后，用窗钩可以将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
4．（2020八上·双清期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，5 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
5．（2020八上·官渡月考）AD是 的中线，已知 的周长为25cm，AB比AC长6cm，则 的周长为（ ）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
6．（2020八上·台州开学考）以下说法中，正确的个数有（ ）
（ 1 ）在坐标轴上的点横坐标、纵坐标都是零（2）点P（2，-3）到x轴的距离为3（3）三角形的三条高都在三角形内部（4）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线
A．1 B．2 C．3 D．4
7．有一块三角形的田地ABC，现在要将一半的地种粮食，一半的地种蔬菜，则下列各线中，可把△ABC分成面积相等的两部分的是（ ）
A．一边上的中线 B．一边上的高
C．一角的平分线 D．以上都不对
8．（2019八上·景县月考）如图，x的值可能为（ ）
A．10 B．9 C．7 D．6
9．（2022七上·泰山期末）若长度分别是a、6、10的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
10．（2020七上·东营月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将 沿AB方向平移 得到 ， ， ，下列结论：① ；② ；③ ：④ ；⑤阴影部分的面积为 ．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
11．（2023七下·横山期末）如图，直线与相交于点，点在直线上，点在直线上．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023八下·陈仓期末）如图，的三边的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2019八下·宜兴期中）已知三角形的三边分别为a,b,c，其中a，b满足 ，那么这个三角形的第三边c的取值范围是 .
14．（2020八上·萨尔图期中）已知AD为 的中线， ，且 的周长比 的周长少2cm，则AC= ．
15．（2022·南海模拟）如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，则的值为 .
16．（2019·平房模拟）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，CE＝2BE，点D是AC中点，若S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
17．（2019八上·长兴月考）如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=2EC，那么阴影部分的面积是 。
三、计算题
18．（2018八上·洛阳期中）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.
19．（2019八上·海安月考）已知 的三边长分别为 ， ， ，化简 .
四、解答题
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，求出△ABC的面积．
22．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．
五、综合题
23．（2016八上·嵊州期末）已知：如图，△ABC中的顶点A、C分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上，且∠ACB=90°，AC=2，BC=1，当点A从原点出发朝x轴的正方向运动，点C也随之在y轴上运动，当点C运动到原点时点A停止运动，连结OB．
（1）点A在原点时，求OB的长；
（2）当OA=OC时，求OB的长；
（3）在整个运动过程中，OB是否存在最大值？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
24．（2021七上·长春期末）如图直线，直线与分别和交于点交直线b于点C．
（1）若，直接写出 ；
（2）若，则点B到直线的距离是 ；
（3）在图中直接画出并求出点A到直线的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
5﹣2＜x＜5+2，
即3＜x＜7.
故答案为：C.
【分析】利用三角形三边关系定理，可知两边之差＜第三边＜两边之和，设未知数，列不等式组，就可求出第三边的取值范围，根据取值范围，再观察各选项中的数，就可得出结果。
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵,
∴6-4
∴2∵2<5<10, 故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】三角形三边的关系为三角形的两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，据此求出AC的范围即可判断.
3．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】窗户打开后，用窗钩钩住，正好构成三角形的形状，因此可以将其固定，
主要利用了三角形的稳定性．
故选B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、1+2＜5，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系，判断得到答案即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵ 的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=25cm，
∴AC+6+BD+AD=25cm，
∴△ACD的周长为AC+AD+DC=19cm，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线可得BD=DC，由△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，可得AB+BD+AD=25cm，从而可得AC+6+BD+AD=25cm，据此即得结论.
6．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的角平分线、中线和高；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：(1)在x轴上纵坐标为零，纵坐标不一定为零；在y轴上横坐标为零，而纵坐标不一定为零，错误； (2)点P（2，-3）到x轴的距离为3，正确；(3)锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部，错误； (4)平分三角形内角的射线与对边相交，其顶点与边之间的线段叫三角形的角平分线，错误；
综上，正确的有 (2).
故答案为：A.
【分析】根据坐标轴上的点的坐标特点对(1)作判断；根据一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值对(2)作判断；根据不同三角形的高的位置对(3)判断；根据三角形角平分线的定义对(4)作判断.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
2）
三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的 ；
3）
三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
4）
三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为 BD AE，△ACD面积为 CD AE；
因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，
所以△ABD的面积等于△ACD的面积．
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
故选A．
【分析】三角形的角平分线与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中位线将三角形分成面积为1：3，三角形的高只有与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中线将三角形的一条边平均分成2部分，以这2部分分别为底，分别求新三角形的面积，面积相等．
8．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系定理及其推论可得：4＜x＜10，7＜x＜15
∴7＜x＜10
∴ x的值可能为 9.
故答案为：B.
【分析】先根据三角形三边关系定理及其推论分别在x所在的两个三角形中求出x的取值范围，然后取其公共部分得出x的取值范围，即可解答。
9．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：10 6＜a＜10＋6，
即4＜a＜16，
即符合的只有8，
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边的关系可得10 6＜a＜10＋6，求出a的取值范围，再求解即可。
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：因为将 沿AB方向平移 得到 ，
所以 ， ，DF∥AC，故①②符合题意；
所以 ，故④符合题意；
而BD与CH不一定相等，故③不符合题意；
因为 ， ，
所以BH=2cm，
又因为BE=2cm，
所以阴影部分的面积=S△ABC－S△DBH= S△DEF－S△DBH=S梯形BEFH= ，故⑤符合题意；
综上，正确的结论是①②④⑤．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质和三角形的面积公式进行求解即可。
11．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、PA+PQ＞QA，故A不符合题意；
B、PQ+PB＞QB，故B不符合题意；
C、PA+PB＜QA+QB，故C符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，观察图形，可对各选项逐一判断.
12．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∵点O是三角形ABC角平分线的交点，
∴OE=OF=OH，
∴ =AB·OE：BC·OF：AC·OH=AB：BC：AC=9：12：15=3：4：5，
故答案为：C.
【分析】过点O分别作OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，由角平分线的性质可得OE=OF=OH，利用三角形的面积公式可得=AB：BC：AC，继而得解.
13．【答案】
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵ ,
∴ =0,b-4=0,
∴a=3,b=4,
∴4-3即 .
故答案是： .
【分析】根据算术平方根的非负性，可求出a、b的值，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求出c的范围.
14．【答案】3cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，
∴（AB+BD+AD）-（AC+AD+CD）=AB-AC=2 cm，
∴AC=AB-2=5-2=3（cm）.
故答案为：3cm．
【分析】根据AD为△ABC的中线，得到BD=CD，再根据△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，得到AB+BD+AD）-（AC+AD+CD）=AB-AC=2，即可求出AC的长。
15．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC．
∴S△ABD=S△ADC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=2.5．
∴ AB ED= AC DF，
∴×6×ED=×2.5×DF，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形中线的性质可得S△ABD=S△ADC，再利用三角形的面积公式可得 AB ED= AC DF，然后将数据代入可得。
16．【答案】2
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝ AC，
∵S△ABC＝12，
∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6．
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4，
∵S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF﹣S△BEF，
即S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
【分析】D点为AC的中点，根据三角形中线的性质可推S△ABD=S△BCD=S△ABC，同理根据BE与CE之比推出S△ABE=S△ABC，在△ABD与△ABE中△ABF为公共部分，将两者面积相减即可算出S△ADF-S△BEF。
17．【答案】3
【知识点】二元一次方程的应用；三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接FC，
∵BD=2DC，AE=2EC，
∴设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，
∵△BEC的面积=S△ABC=6，
∴3x+y=6①，
∵△ADC的面积=S△ABC=6，
∴x+3y=6②
①+②, 得4(x+y)=12.
解得x+y=3.
故答案为：3.
【分析】 根据BD=2DC，AE=2EC，设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，由等高不同底的两个三角形面积关系得△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，结合△ABC的面积等于12，求得△ADC和△BEC的面积，于是列出关于x、y的方程，求出x+y的值即可．
18．【答案】解：∵b+c-a>0,b-c-a<0.c-a-b<0,a-b+c>0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|
=(b+c-a)-(b-c-a)-(c-a-b)-(a-b+c)
=(b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边及不等式的性质得出 b+c-a>0,b-c-a<0.c-a-b<0,a-b+c>0，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号，合并同类项即可.
19．【答案】解：由三角形三边关系知， ， ，
∴
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得a+b＞c，b-a＜c，根据绝对值的性质化简并整理即可.
20．【答案】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．
∴AC﹣AB=5cm．
又∵AB+AC=13cm，
∴AC=9cm．
即AC的长度是9m．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的长度．
21．【答案】解：作CD⊥x轴，垂足为点D．
因为A(- 5，0)，B(- 3，0)，C(-1，2)，所以OA=5，OB=3，CD=2，所以AB=OA-OB=5-3=2．所以S△ABC= AB·CD= ×2×2= 2．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】先求出 OA=5，OB=3，CD=2， 再求出AB=2，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
22．【答案】解：连接AC．
∵AB=2，BC=4，
在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6．
∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13，
在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC，
∴1＜AD＜13．
故AD的取值范围是1＜AD＜13．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】连接AC，将四边形的问题转化为三角形的问题，利用三角形的三边关系定理求出AC的取值范围，利用不等式的性质，就可推出 ﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13 ，再在△ACD中，利用三角形三边关系定理求出AD的取值范围。
23．【答案】（1）解：点A在原点时，OB=AB，
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，
∴AB= = = ；
∴OB=
（2）解：当OA=OC时，如图1，作BD⊥y轴于D，
∵AC=2，BC=1，
∵OA2+OC2=AC2，
∴OA=OC= ，
∵OA=OC，
∴∠ACO=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，
∴∠BCD=∠CBD，
∴DB=DC，
∵DC2+DB2=BC2，
∴DB=DC= ，
∴OD=OC+DC= + = ，
∴OB= = =
（3）解：如图2，作AC的中点D，连接OD、BD，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵BD= = = ，OD=AD= AC=1，
∴点B到原点O的最大距离为1+ ．
【知识点】两点间的距离；三角形相关概念
【解析】【分析】（1）根据题意AB的长就是OB的长，根据勾股定理求得AB的长即可；（2）作BD⊥y轴于D，根据勾股定理可得OC= ，DC=DB= ，最后根据勾股定理即可求得OB；（3）Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+ ，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．
24．【答案】（1）30°
（2）4
（3）解：如图所示：过点A作，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
即，
解得：，
∴点A到直线BC的距离为．
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴点B到直线AC的距离为线段，
故答案为：4；
【分析】（1）先求出，再根据，，计算求解即可；
（2）根据，再结合 ， 求解即可；
（3）先求出 为直角三角形， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
1 / 1人教版初中数学2023-2024学年八年级上册 11.1与三角形有关的线段检测题
一、单选题
1．（2018八上·巴南月考）如果一个三角形的两边长分别是2和5，则第三边可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为x，
5﹣2＜x＜5+2，
即3＜x＜7.
故答案为：C.
【分析】利用三角形三边关系定理，可知两边之差＜第三边＜两边之和，设未知数，列不等式组，就可求出第三边的取值范围，根据取值范围，再观察各选项中的数，就可得出结果。
2．（2020八上·大新期中）已知△ABC中，AB＝6，BC＝4，那么边AC的长可能是（ ）
A．11 B．5 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵,
∴6-4∴2∵2<5<10, 故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】三角形三边的关系为三角形的两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，据此求出AC的范围即可判断.
3．教室的一扇窗户打开后，用窗钩可以将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【分析】根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】窗户打开后，用窗钩钩住，正好构成三角形的形状，因此可以将其固定，
主要利用了三角形的稳定性．
故选B．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
4．（2020八上·双清期末）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A．1，2，5 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、1+2＜5，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形的三边关系，判断得到答案即可。
5．（2020八上·官渡月考）AD是 的中线，已知 的周长为25cm，AB比AC长6cm，则 的周长为（ ）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC，
∵ 的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=25cm，
∴AC+6+BD+AD=25cm，
∴△ACD的周长为AC+AD+DC=19cm，
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线可得BD=DC，由△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，可得AB+BD+AD=25cm，从而可得AC+6+BD+AD=25cm，据此即得结论.
6．（2020八上·台州开学考）以下说法中，正确的个数有（ ）
（ 1 ）在坐标轴上的点横坐标、纵坐标都是零（2）点P（2，-3）到x轴的距离为3（3）三角形的三条高都在三角形内部（4）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平行线之间的距离；三角形的角平分线、中线和高；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：(1)在x轴上纵坐标为零，纵坐标不一定为零；在y轴上横坐标为零，而纵坐标不一定为零，错误； (2)点P（2，-3）到x轴的距离为3，正确；(3)锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形的两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部，错误； (4)平分三角形内角的射线与对边相交，其顶点与边之间的线段叫三角形的角平分线，错误；
综上，正确的有 (2).
故答案为：A.
【分析】根据坐标轴上的点的坐标特点对(1)作判断；根据一个点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值对(2)作判断；根据不同三角形的高的位置对(3)判断；根据三角形角平分线的定义对(4)作判断.
7．有一块三角形的田地ABC，现在要将一半的地种粮食，一半的地种蔬菜，则下列各线中，可把△ABC分成面积相等的两部分的是（ ）
A．一边上的中线 B．一边上的高
C．一角的平分线 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）
三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
2）
三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得：
三角形面积为梯形面积的 ；
3）
三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定；
4）
三角形的中线AD把三角形分成两部分，△ABD的面积为 BD AE，△ACD面积为 CD AE；
因为AD为中线，所以D为BC中点，所以BD=CD，
所以△ABD的面积等于△ACD的面积．
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
故选A．
【分析】三角形的角平分线与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中位线将三角形分成面积为1：3，三角形的高只有与中线重合时才能将三角形分成面积相等的两部分，三角形的中线将三角形的一条边平均分成2部分，以这2部分分别为底，分别求新三角形的面积，面积相等．
8．（2019八上·景县月考）如图，x的值可能为（ ）
A．10 B．9 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系定理及其推论可得：4＜x＜10，7＜x＜15
∴7＜x＜10
∴ x的值可能为 9.
故答案为：B.
【分析】先根据三角形三边关系定理及其推论分别在x所在的两个三角形中求出x的取值范围，然后取其公共部分得出x的取值范围，即可解答。
9．（2022七上·泰山期末）若长度分别是a、6、10的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得：10 6＜a＜10＋6，
即4＜a＜16，
即符合的只有8，
故答案为：B．
【分析】根据三角形三边的关系可得10 6＜a＜10＋6，求出a的取值范围，再求解即可。
10．（2020七上·东营月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将 沿AB方向平移 得到 ， ， ，下列结论：① ；② ；③ ：④ ；⑤阴影部分的面积为 ．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：因为将 沿AB方向平移 得到 ，
所以 ， ，DF∥AC，故①②符合题意；
所以 ，故④符合题意；
而BD与CH不一定相等，故③不符合题意；
因为 ， ，
所以BH=2cm，
又因为BE=2cm，
所以阴影部分的面积=S△ABC－S△DBH= S△DEF－S△DBH=S梯形BEFH= ，故⑤符合题意；
综上，正确的结论是①②④⑤．
故答案为：D．
【分析】根据平移的性质和三角形的面积公式进行求解即可。
11．（2023七下·横山期末）如图，直线与相交于点，点在直线上，点在直线上．下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、PA+PQ＞QA，故A不符合题意；
B、PQ+PB＞QB，故B不符合题意；
C、PA+PB＜QA+QB，故C符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，观察图形，可对各选项逐一判断.
12．（2023八下·陈仓期末）如图，的三边的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∵点O是三角形ABC角平分线的交点，
∴OE=OF=OH，
∴ =AB·OE：BC·OF：AC·OH=AB：BC：AC=9：12：15=3：4：5，
故答案为：C.
【分析】过点O分别作OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，由角平分线的性质可得OE=OF=OH，利用三角形的面积公式可得=AB：BC：AC，继而得解.
二、填空题
13．（2019八下·宜兴期中）已知三角形的三边分别为a,b,c，其中a，b满足 ，那么这个三角形的第三边c的取值范围是 .
【答案】
【知识点】三角形三边关系；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】∵ ,
∴ =0,b-4=0,
∴a=3,b=4,
∴4-3即 .
故答案是： .
【分析】根据算术平方根的非负性，可求出a、b的值，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求出c的范围.
14．（2020八上·萨尔图期中）已知AD为 的中线， ，且 的周长比 的周长少2cm，则AC= ．
【答案】3cm
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：如图：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，
∴（AB+BD+AD）-（AC+AD+CD）=AB-AC=2 cm，
∴AC=AB-2=5-2=3（cm）.
故答案为：3cm．
【分析】根据AD为△ABC的中线，得到BD=CD，再根据△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，得到AB+BD+AD）-（AC+AD+CD）=AB-AC=2，即可求出AC的长。
15．（2022·南海模拟）如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB＝6cm，AC＝2.5cm，则的值为 .
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC．
∴S△ABD=S△ADC．
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=2.5．
∴ AB ED= AC DF，
∴×6×ED=×2.5×DF，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形中线的性质可得S△ABD=S△ADC，再利用三角形的面积公式可得 AB ED= AC DF，然后将数据代入可得。
16．（2019·平房模拟）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，CE＝2BE，点D是AC中点，若S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝ ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝ AC，
∵S△ABC＝12，
∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6．
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4，
∵S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF﹣S△BEF，
即S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
【分析】D点为AC的中点，根据三角形中线的性质可推S△ABD=S△BCD=S△ABC，同理根据BE与CE之比推出S△ABE=S△ABC，在△ABD与△ABE中△ABF为公共部分，将两者面积相减即可算出S△ADF-S△BEF。
17．（2019八上·长兴月考）如图，△ABC的面积为18，BD=2DC，AE=2EC，那么阴影部分的面积是 。
【答案】3
【知识点】二元一次方程的应用；三角形的面积
【解析】【解答】如图，连接FC，
∵BD=2DC，AE=2EC，
∴设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，
∵△BEC的面积=S△ABC=6，
∴3x+y=6①，
∵△ADC的面积=S△ABC=6，
∴x+3y=6②
①+②, 得4(x+y)=12.
解得x+y=3.
故答案为：3.
【分析】 根据BD=2DC，AE=2EC，设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，由等高不同底的两个三角形面积关系得△BFD的面积为2x，△AEF的面积为2y，结合△ABC的面积等于12，求得△ADC和△BEC的面积，于是列出关于x、y的方程，求出x+y的值即可．
三、计算题
18．（2018八上·洛阳期中）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|.
【答案】解：∵b+c-a>0,b-c-a<0.c-a-b<0,a-b+c>0，
∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|
=(b+c-a)-(b-c-a)-(c-a-b)-(a-b+c)
=(b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c
=2b
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边及不等式的性质得出 b+c-a>0,b-c-a<0.c-a-b<0,a-b+c>0，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号，合并同类项即可.
19．（2019八上·海安月考）已知 的三边长分别为 ， ， ，化简 .
【答案】解：由三角形三边关系知， ， ，
∴
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；三角形三边关系
【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得a+b＞c，b-a＜c，根据绝对值的性质化简并整理即可.
四、解答题
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．
【答案】解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．
∴AC﹣AB=5cm．
又∵AB+AC=13cm，
∴AC=9cm．
即AC的长度是9m．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的长度．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，求出△ABC的面积．
【答案】解：作CD⊥x轴，垂足为点D．
因为A(- 5，0)，B(- 3，0)，C(-1，2)，所以OA=5，OB=3，CD=2，所以AB=OA-OB=5-3=2．所以S△ABC= AB·CD= ×2×2= 2．
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】先求出 OA=5，OB=3，CD=2， 再求出AB=2，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
22．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．
【答案】解：连接AC．
∵AB=2，BC=4，
在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6．
∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13，
在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC，
∴1＜AD＜13．
故AD的取值范围是1＜AD＜13．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】连接AC，将四边形的问题转化为三角形的问题，利用三角形的三边关系定理求出AC的取值范围，利用不等式的性质，就可推出 ﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13 ，再在△ACD中，利用三角形三边关系定理求出AD的取值范围。
五、综合题
23．（2016八上·嵊州期末）已知：如图，△ABC中的顶点A、C分别在平面直角坐标系的x轴、y轴上，且∠ACB=90°，AC=2，BC=1，当点A从原点出发朝x轴的正方向运动，点C也随之在y轴上运动，当点C运动到原点时点A停止运动，连结OB．
（1）点A在原点时，求OB的长；
（2）当OA=OC时，求OB的长；
（3）在整个运动过程中，OB是否存在最大值？若存在，请你求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：点A在原点时，OB=AB，
∵∠ACB=90°，AC=2，BC=1，
∴AB= = = ；
∴OB=
（2）解：当OA=OC时，如图1，作BD⊥y轴于D，
∵AC=2，BC=1，
∵OA2+OC2=AC2，
∴OA=OC= ，
∵OA=OC，
∴∠ACO=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=45°，
∴∠BCD=∠CBD，
∴DB=DC，
∵DC2+DB2=BC2，
∴DB=DC= ，
∴OD=OC+DC= + = ，
∴OB= = =
（3）解：如图2，作AC的中点D，连接OD、BD，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵BD= = = ，OD=AD= AC=1，
∴点B到原点O的最大距离为1+ ．
【知识点】两点间的距离；三角形相关概念
【解析】【分析】（1）根据题意AB的长就是OB的长，根据勾股定理求得AB的长即可；（2）作BD⊥y轴于D，根据勾股定理可得OC= ，DC=DB= ，最后根据勾股定理即可求得OB；（3）Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+ ，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．
24．（2021七上·长春期末）如图直线，直线与分别和交于点交直线b于点C．
（1）若，直接写出 ；
（2）若，则点B到直线的距离是 ；
（3）在图中直接画出并求出点A到直线的距离．
【答案】（1）30°
（2）4
（3）解：如图所示：过点A作，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
即，
解得：，
∴点A到直线BC的距离为．
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴点B到直线AC的距离为线段，
故答案为：4；
【分析】（1）先求出，再根据，，计算求解即可；
（2）根据，再结合 ， 求解即可；
（3）先求出 为直角三角形， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
1 / 1