四川省眉山市彭山区第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）

彭山区第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试
数学
注意事项：全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A． B． C．i D．1
2．甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.65 D．0.68
3．已知第二象限角的终边与单位圆交于，则（ ）
A． B． C． D．
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知是边长为a的等边三角形，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE并延长到点M，使得，连接DF并延长到点N，使得，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的部分图象如下所示，其中，，为了得到的图象，需将（ ）
A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度
B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度
C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍
7．已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则w的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面的中心，过点M的平面垂直于DN，则平面截正方体所得的截面周长为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为等腰非等边三角形 D．为等边三角形
10．已知三条不同的直线l，m，n和三个不同的平面，，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若m，n为异面直线，且，，，，则
C．若，，则
D若，，，，，两两垂直，则l，m，n也两两垂直
11．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A． B．事件A与事件B互斥
C．事件A与事件B相互独立 D．
12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．G到平面DEF的距离为
C．若面EFP，则二面角D-EF-P的余弦值为
D．四面体G-DEF外接球表面积为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若复数是纯虚数，则实数m的值为______
14．一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为______．
15．已知空间一球，SC为其直径且．A，B为球上两点，满足，且，则四面体S-ABC的体积为______．
16．设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的中线；已知且，．则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18—22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若与共线，求的值．
18．（本题满分12分）已知向量，，设函数，．
（1）求函数的解析式；
（2）求的单调递减区间和对称轴方程；
19．（本题满分12分）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环，为推进生态文明建设，某市在全市范围内对环境治理和保护问题进行满意度调查，从参与调查的问卷中随机抽取200份作为样本进行满意度测评（测评分满分为100分）．根据样本的测评数据制成频率分布直方图如下：
根据频率分布直方图，回答下列问题：
（1）求m的值；
（2）估计本次测评分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第85百分位数（精确到0.01）；
（3）从样本中成绩在，的两组问卷中，用分层抽样的方法抽取5份问卷，再从这5份问卷中随机选出2份，求选出的两份问卷中至少有一份问卷成绩在中的概率．
20．（本题满分12分）已知中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，．
（1）求；（2）若BC边上一点D，满足且，求的面积最大值．
21．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，，，四边形DCFE为梯形，，，，，，平面平面DCFE．
（1）求证：平面BCF；
（2）求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值；
（3）求点F到平面ABCD的距离．
22．（本题满分12分）如图1，在ABC中，，，，D是AC中点，作于E，将沿直线DE折起到所处的位置，连接PB，PC，如图2．
图1 图2
（1）若，求证：；
（2）若二面角P-DE-A为锐角，且二面角P-BC-E的正切值为，求PB的长．
彭山区第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试
数学参考答案
1—4 BCBA 5—8 BDAA 9．ABD 10．BD 11．CD 12．ACD
13．2 14． 15． 16．
17．解析：（1）
由，得．
即解得
（2）
由与共线，得
化简得 故
18．解：因为向量，，则
．
（2）减区间，对称轴方程
19．【小问1详解】由频率分布直方图可知
【小问2详解】本次测评分数的平均数为
，
即本次测评分数的平均数约为76.2分．
在频率分布直方图中，前5组频率之和为0.84，小于0.85，故第85百分位数位于第6组，
所以，即第85百分位数约为90.63；
【小问3详解】
第5，6组的问卷数分别为48人，32人，从第5，6组中用分层抽样的方法抽取5份问卷，则第5，6组抽取的问卷数分别为3人，2人，分别记为，，，，，
从5份问卷中随机抽取2人，有，，，，，，，，，共10个基本事件，
这2份中有一份在内的基本事件，，，，，，共6个，2份都在内的基本事件，所以．
20．【详解】（1）由题意，，由正弦定理得，
因B为三角形内角，，则，即，
∵，∴，，故，∴，∴
（2），已知，，由（1）知，，
由题意得由，已知，且由（1）知，
两边平方得，则
，
解得，．故．当且仅当，即时，等号成立．
所以，的最大值为．
21．【小问1详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴，
平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，
∵，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，
，AD，平面ADE，∴平面平面ADE，
∵平面BCF，∴平面BCF．
【小问2详解】∵平面平面DCFE，平面平面，
∵，平面DCFE，平面ADE，
∵平面ADE，∴，
∴，
作于O，分别连接AC，AO，CO，
因为平面平面DCFE，平面平面，平面ADE，
所以平面CDEF，连结CO，
所以直线AC与平面CDEF所成角为，
∵，∴，所以．
直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为；
【小问3详解】连接DF由（2）得平面CDEF，又，
所以距离，又由已知可得，，，
所以．
22．【小问1详解】在图1中，，，，D是AC中点，
所以，，则，，，
则，又，所以，则，
因为，则，
又，DE，平面BCDE，所以平面BCDE，
因为平面BCDE，所以．
【小问2详解】由题意知，，，平面PEB，平面PEB，
因而平面PEB，则为二面角P-DE-A的平面角（或补角），即为锐角，
又平面BCDE，因而平面平面BCDE．
作所在的直线于点H，如图，
又平面平面，平面PBE，所以平面BCDE，
因为平面BCDE，所以，
作于点G，连接PG，
又，PH，面PHG，故面PHG，
因为面PHG，则，所以为二面角P-BC-E的平面角（或补角），
设，则，
在中，，设，则，，，
因而，，
在直角三角形PHG中，，即，
解得或（舍去），此时，，
从而．