第13章《轴对称》专题B卷（二）-----单元核心思想方法（2）（含答案）

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16.八上数学第13章《轴对称》专题B卷（二）----------单元核心思想方法一点通（2）（选用）
技巧(五)半角与倍角→截长补短→构等腰
题型一：共顶点的半角与倍角→截长补短→构造旋转型全等
23、如图，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，求证：AD+DE＝BE。www.21-cn-jy.com
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24、如图，△ABC中，CA ( http: / / www.21cnjy.com )＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，∠DAE＝120°，求证,DE-AD＝BE。21*cnjy*com
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题型二：不共顶点的半角与倍角→截长补短→构造旋转型全等
25、如图，△ABC中，CA＝CB，O为AB的中点，E在BC的延长线上，F在AC上，∠EOF＝2∠A＝60°，求证：CF-CE＝AC
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题型三 同一三角形的半角与倍角→构等腰
26、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠ABC＝2∠C，求证：AB+BD＝CD。
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技巧(六) 延长法→构等腰
核心方法四 构造等边三角形技巧
技巧(一)作平行线→构等边
27、如图，△ABC为等边三角形，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且ED＝EC，求证：AE＝BD。
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28、如图，△ABC中，∠ABC＝60°，D为AC的中点，E为BC上一点，∠DEC＝120°，求证：BE-AB＝CE。21世纪教育网版权所有
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29、如图，CA＝CB，D为CB上一点，∠ADE＝∠ACB＝60°，BE⊥AC，求证：CD＝BE。
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技巧(二) 截长补短→构等边
(一)截长法构造等边三角形
30、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAB＝60°，若AB＝，求AE-AD的值。
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(二)补短法构造等边三角形
31、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAC＝60°，若AB＝4，求AD+AE的值。
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核心方法五 构造30°的直角三角形
32、如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为BC，AC上一点，AD交BE于F，若EF＝1，AD＝7，BG⊥AD于G，求FG的长。
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33、如图，△ABC中∠ACB＝60°，延长AC到D，使CD＝AC，∠CDB＝45°，求∠ABC的度数。
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34、如图，四边形DEBC中， ( http: / / www.21cnjy.com )DE＝DC，EB⊥BC，∠EDC＝60°，∠DEB＝135°，F为CD上一点∠，FBC＝30°，求证：DF＝CF。
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核心方法六 坐标系中的“垂直且相等”→巧构“三垂直”
35、如图，△ABC中AB＝BC，AB⊥BC，AC交y轴于E，BC交x轴于F，若B（0,2），C（2,-2）,求点E，F的坐标。
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36、如图，A（0,4），D（-4,0），AB⊥AC，AB＝AC，CD交y轴于E，求点E和点C的坐标。
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37、如图，AC＝BC，AC⊥BC，AD＝CD，若B（0,6），求点D的坐标。
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38、如图，OA＝OB，∠BCO＝135°，求证：BC⊥AC。
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核心方法七 最短路径探究
技巧（一） 轴对称→两点之间线段最短
基本图形1 两定点，一动点
如图，A，B为两定点，P为直线上一动点，A，A关于L对称，AB交直线L于P点，则有结论：PA+PB最短。21cnjy.com
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基本图形2 一定点，两动点
如图，P为∠AOB内一定点，E，F分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为OB，AO上两动点，P，P关于OB对称，P，P关于OA对称，PP分别交OB，OA于E，F，则有结论：①△PEF周长最短；②∠POP＝2∠AOB。
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基本图形3 两定点，两动点
如图，A，B为两定点，C，D分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴，y轴上两动点，A，A关于y轴对称，B，B关于x轴对称，AB分别交x轴，y轴于C，D，则有结论：四边形ABCD周长最短。【来源：21·世纪·教育·网】
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39、如图，A（-2,1），B（2,2），C（0，-1）.
（1）在x轴上找一点P,使PA+PB最小，并求出点P的坐标。
（2）在y轴上找一点Q,使QA+QB最小，并求出点Q的坐标。
(3)在x轴负半轴上找一点M，使MB-MC最大，并求出点M的坐标。
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技巧（二） 用垂线段最短求最值
40、如图，在平面直角坐标系中，A（8,0 ( http: / / www.21cnjy.com )），点B在第一象限，△AOB为等边三角形，P为y轴正半轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线下方作等边△PAH，当OH最短时，求点H的横坐标。
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16.八上数学第13章《轴对称》专题B卷（二）----------单元核心思想方法一点通（2）（选用）
技巧(五)半角与倍角→截长补短→构等腰
题型一：共顶点的半角与倍角→截长补短→构造旋转型全等
23、如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°，求证：AD+DE=BE。
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解：（截长法）在BE上截取BF=AD，易证△CBF≌△CAD, △CED≌△CEF,
∴ED=EF, ∴AD+DE=BF+EF=BE。
24、如图，△ABC中，CA=CB ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ACB=120°，E为AB上一点，∠DCE=∠DAE=60°，∠DAE=120°，求证,DE-AD=BE。21*cnjy*com
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解：（补短法）延长EB至F，使BF=AD，则△CBF≌△CAD，△CED≌△CEF，∴DE-AD=EF-BF=BE.
题型二：不共顶点的半角与倍角→截长补短→构造旋转型全等
25、如图，△ABC中，CA=CB，O为AB的中点，E在BC的延长线上，F在AC上，∠EOF=2∠A=60°，求证：CF-CE=AC21·cn·jy·com
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解：在CF上截取CG=CO，得等边△CGO，
∴△OCE≌△OGF，∴CF-CE=CF-FG=CG=CO=0.5AC。
题型三 同一三角形的半角与倍角→构等腰
26、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠ABC=2∠C，求证：AB+BD=CD。
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解法一：（截长法）在CD上截取DE=BD，构造等腰△ABE和等腰△AEC即可；
解法二：（补短法）延长CB至E，使BE=AB，构造等腰△ABE和等腰△ACE即可。
技巧(六) 延长法→构等腰
核心方法四 构造等边三角形技巧
技巧(一)作平行线→构等边
27、如图，△ABC为等边三角形，点D在BC上，点E在BA的延长线上，且ED=EC，求证：AE=BD。
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解：作EF∥AC交BC的延长线于点F，易得等边△BEF，易证△EDB≌△ECF, ∴BD=CF=AE.
28、如图，△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，E为BC上一点，∠DEC=120°，求证：BE-AB=CE。
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解：延长BA，ED交于点F，作AG∥BE交EF于G，则△BEF和△FAG都为等边三角形。
易证△ADG≌△CDE，∴CE=AG=AF，∴BE-AB=BF-AB=AF=CE。
29、如图，CA=CB，D为CB上一点，∠ADE=∠ACB=60°，BE⊥AC，求证：CD=BE。
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解：方法一：作DF∥AC交AB于F，构造等边△DFB，且△ADF≌△BDE。
方法二：作DG∥AB交AC于G，构造△CDG，且△AGD≌△DBE。
技巧(二) 截长补短→构等边
(一)截长法构造等边三角形
30、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，E为AB上一点，∠DCE=∠DAB=60°，若AB=，求AE-AD的值。2·1·c·n·j·y
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解：在AE上截取AF=AC，则△ACF是等边三角形，
易证△DAC≌△EFC，∴EF=AD，∴AE-AD=AF=AC=0.5AB=
(二)补短法构造等边三角形
31、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，E为AB上一点，∠DCE=∠DAC=60°，若AB=4，求AD+AE的值。21教育网
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解：延长AD至F，使AF=AC，则△ACF是等边三角形，△DFC≌△AEC，
∴DF=AE，∴AD+AE=AF=AC=0.5AB=2
核心方法五 构造30°的直角三角形
32、如图，△ABC是等边三角形，D，E分别为BC，AC上一点，AD交BE于F，若EF=1，AD=7，BG⊥AD于G，求FG的长。www-2-1-cnjy-com
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解：FG=3.提示：BE=AD，∠BFG=60°
33、如图，△ABC中∠ACB=60°，延长AC到D，使CD=AC，∠CDB=45°，求∠ABC的度数。
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解：作AE⊥BC于E，连接DE，则CE=CD，AE=DE=BE，∴∠ABE=45°.
34、如图，四边形DEBC中，DE=D ( http: / / www.21cnjy.com )C，EB⊥BC，∠EDC=60°，∠DEB=135°，F为CD上一点∠，FBC=30°，求证：DF=CF。【来源：21cnj*y.co*m】
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解：连CE，则∠BEC=75°， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BCE=15°，∠BCF=75°=∠BFC，作DH⊥BE于H，延长HD，BF交于G点，易证HD=HE，∵CD=CE，∴△HEC≌△HDC，∴∠BHC=45°，∴BH=BC=BF，∠G=∠FBC=30°，∴BG=2BH=2BF，∴BF=FG，∴△DFG≌△CFB，∴DF=CF。【出处：21教育名师】
核心方法六 坐标系中的“垂直且相等”→巧构“三垂直”
35、如图，△ABC中AB=BC，AB⊥BC，AC交y轴于E，BC交x轴于F，若B（0,2），C（2,-2）,求点E，F的坐标。【版权所有：21教育】
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解：作CM⊥y轴于M，作CN⊥x轴于N，易证△BOF ≌△CNF，∴F（1,0）.
易证△AOB ≌△BMC，∴AO=BM=4，∴S△AOC =0.5AC·CN=4，OE=，E（0，）
36、如图，A（0,4），D（-4,0），AB⊥AC，AB=AC，CD交y轴于E，求点E和点C的坐标。
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解：作CF⊥y轴于F，则△AFC ≌△BOA，∴BO=AF=6，AO=CF=DO=4，∴OF=2，
易证△ODE ≌△FCE，∴OE=EF=1，∴E（0，-1），C（4，-2）
37、如图，AC=BC，AC⊥BC，AD=CD，若B（0,6），求点D的坐标。
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解：作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，易证△BCF≌△ACE，△CDF≌△ADO，
易得正方形CEOF，设CF=CE=OE=OF=OA=x,
∴BF=AE=2x，∴3x=6, ∴x=2,∵DF=DO, ∴D(0,1)
38、如图，OA=OB，∠BCO=135°，求证：BC⊥AC。
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解：作AE⊥OC于E，作BF⊥OC于F，则△OAE≌△BOF，
∴BF=CF=OE，∴OF=CE=AE，∴∠ACE=45°，∴BC⊥AC。
核心方法七 最短路径探究
技巧（一） 轴对称→两点之间线段最短
基本图形1 两定点，一动点
如图，A，B为两定点，P为直线上一动点，A，A关于L对称，AB交直线L于P点，则有结论：PA+PB最短。2-1-c-n-j-y
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基本图形2 一定点，两动点
如图，P为∠AOB内一定点，E，F分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为OB，AO上两动点，P，P关于OB对称，P，P关于OA对称，PP分别交OB，OA于E，F，则有结论：①△PEF周长最短；②∠POP=2∠AOB。
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基本图形3 两定点，两动点
如图，A，B为两定点，C， ( http: / / www.21cnjy.com )D分别为x轴，y轴上两动点，A，A关于y轴对称，B，B关于x轴对称，AB分别交x轴，y轴于C，D，则有结论：四边形ABCD周长最短。21·世纪*教育网
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39、如图，A（-2,1），B（2,2），C（0，-1）.
（1）在x轴上找一点P,使PA+PB最小，并求出点P的坐标。
（2）在y轴上找一点Q,使QA+QB最小，并求出点Q的坐标。
(3)在x轴负半轴上找一点M，使MB-MC最大，并求出点M的坐标。
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解：（1）作点A关于x轴的对称点A'，连A'B交x轴于点P，
易求S△A'BO =1= S△A'PO + S△BPO =0.5OP+OP，∴OP=，P（-，0）21教育名师原创作品
(2)Q（0,1.5）
(3)作点C关于x轴的对称点C'，延长BC'交x轴于M，作BE⊥y轴于E，
易证△MOC' ≌△BEC'，OM=2，M（-2,0）
技巧（二） 用垂线段最短求最值
40、如图，在平面直角坐标系中，A（8,0） ( http: / / www.21cnjy.com )，点B在第一象限，△AOB为等边三角形，P为y轴正半轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线下方作等边△PAH，当OH最短时，求点H的横坐标。
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解：连PB，易证△OHA ≌△BPA， ( http: / / www.21cnjy.com )∴OH=BP，当OH最短时，BP最短，此时BP⊥y轴，∵∠POB=30°，∴∠PBO=60°，∴∠PBA=120°，∴∠HOA=∠PBA=120°，∵OH=BP=0.5BO=4，∴点H的横坐标为-2.
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