河北市承德市双滦区2023-2024学年高二上学期开学摸底数学试卷（答案）

承德市双滦区2023-2024学年高二上学期开学摸底数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列叙述正确的是( )
A. 互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B. 若事件发生的概率为，则
C. 频率是稳定的，概率是随机的
D. 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
2.某班有名学生，其中男生名，随机询问了该班名男生和名女生在某次数学测验中的成绩名男生的成绩分别为，，，，，名女生的成绩分别为，，，，下列说法一定正确的是( )
A. 这种抽样方法是分层抽样
B. 这种抽样方法是系统抽样
C. 这名男生成绩的方差大于这名女生成绩的方差
D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
3.已知是两条直线，是两个平面．给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则；，则，则命题正确的个数为( )
A. B. C. D.
4.已知复数为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 复数在复平面内对应的点位于第三象限
C. 的共轭复数 D.
5.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为( )A. B. C. D.
6.在的等腰直角中，为的中点，为的中点，，则
（ ） A. B. C. D.
7.将等腰直角三角形沿斜边上的高线折成的二面角，则折后的直线与平面所成角的正弦值( )A. B. C. D.
8.已知正方体，则下列选项不正确的是
A. 直线与所成的角为 B.
C. 平面 D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设向量，则( )
A. B. 与同向的单位向量是 C. D. 与的夹角是．
10. 如图，在棱长为的正方体中( )
A. 与的夹角为
B. 二面角的平面角的正切值为
C. 与平面所成角的正切值
D. 点到平面的距离为
11.给出下列四个命题，其中正确的命题有( )
A. 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛场，甲胜场
B. 抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为或”，事件为“向上的点数为奇数”，则与互为对立事件
C. 抛掷骰子次，得点数是的结果有次，则出现点的频率是
D. 随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
12.如图所示，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 平面
C. 与平面所成的角等于与平面所成的角
D. 与所成的角等于与所成的角
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设，，分别为的内角，，的对边，若，，则 ，的面积 ．
14.正三棱柱 的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为 ．
15.若随机事件，互斥，且，发生的概率均不为，，，则实数的取值范围为 ．
16.如图，在三棱锥中，，，平面，，则点到的距离是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的第百分位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
18.本小题分已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，，．
若，求证：为等腰三角形；
若，边长，角，求的面积．
19.本小题分如图，在正方体中，侧面对角线、上分别有两点、，且，
求证：平面；
若为的中点，求异面直线与所成的角．
20.本小题分在一个选拔项目中，每个选手都需要进行轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
1求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
2求该选手至多进入第三轮考核的概率；
21.本小题分在中，分别为内角所对的边长，．
求角；
若的中线的长为，求的面积的最大值．
22.本小题分如图所示，已知圆柱的侧面展开图的面积为，底面直径，为底面上异于，的点，且求：
二面角的余弦值
点到平面的距离．
参考答案：
1—5： 6—8： 9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17.解：每组小矩形的面积之和为，
，．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，由，
得，故第百分位数为．
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，故．
设成绩在中人的分数分别为，，，，成绩在中人的分数分别为，，，，，则由题意可得，
，，
即，，
，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
18.证明：，，即，其中为外接圆半径．
，为等腰三角形；
由题意可得：，，
，由余弦定理，
，，
或舍去．．
19.证明：过点、分别作的平行线分别交、于点、，连接，
，故，同理可得，
易知，又因为，则，所以，故，
因为，故，
所以四边形为平行四边形，
所以，因为不在平面上，平面，因此平面．
解：连接，，因为为的中点，，
则点是的中点，可得，又，
所以异面直线与所成角即为，又为正三角形，则，
即异面直线与所成的角为．
20.解：设事件表示“该选手能正确回答第轮问题”．
由已知，，，．
1设事件表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则；
答：该选手进入第三轮才被淘汰的概率为；
2设事件表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
．
答：该选手至多进入第三轮考核的概率．
21.解：由及正弦定理得：，
由余弦定理得，
，由是的中线，得，
所以，即，
所以当且仅当时等号成立，
所以，所以三角形面积．
22.解：是底面的直径，为底面上异于，的点，，
又平面，平面，，又，，平面，
平面，平面， ，
为二面角的平面角．因为圆柱的侧面展开图的面积为，底面直径，
所以，，，在中，，所以，
在中，，所以，，
所以二面角的余弦值为；
在平面中，作于，由知，平面，
又平面， 则，
， ，平面，所以，平面，即为点到平面的距离，
在中，