2023年广东省广州市中考数学试卷（含解析）

2023年广东省广州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ( )
A. B. C. D.
2. 一个几何体的三视图如图所示，则它表示的几何体可能是( )
A.
B.
C.
D.
3. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为，，，，下列关于这组数据描述正确的是( )
A. 众数为 B. 平均数为 C. 方差为 D. 中位数为
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
6. 已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 如图，海中有一小岛，在点测得小岛在北偏东方向上，渔船从点出发由西向东航行到达点，在点测得小岛恰好在正北方向上，此时渔船与小岛的距离为．( )
A. B. C. D.
8. 随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同设动车提速后的平均速度为，则下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
9. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，若的半径为，，则的值和的大小分别为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10. 已知关于的方程有两个实数根，则的化简结果是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升截至年月底，某市已建成安全充电端口逾个，将用科学记数法表示为______ ．
12. 已知点，在抛物线上，且，则 ______ 填“”或“”或“”
13. 年月日是第个全国科技工作者日，某中学举行了科普知识手抄报评比活动，共有件作品获得一、二、三等奖和优胜奖，根据获奖结果绘制如图所示的条形图，则的值为______ 若将获奖作品按四个等级所占比例绘制成扇形统计图，则“一等奖”对应扇形的圆心角度数为______
14. 如图，正方形的边长为，点在边上，且，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为______ ．
15. 如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点到直线的距离为______ ．
16. 如图，在中，，，，点是边上一动点，点，分别是，的中点，当时，的长是______ 若点在边上，且，点，分别是，的中点，当时，四边形面积的取值范围是______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17. 解方程：．
四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
如图，是的中点，，求证：．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点，，所在圆的圆心为将向右平移个单位，得到点平移后的对应点为．
点的坐标是______ ，所在圆的圆心坐标是______ ；
在图中画出，并连接，；
求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长结果保留
20. 本小题分
已知，代数式：，，．
因式分解；
在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．
21. 本小题分
甲、乙两位同学相约打乒乓球．
有款式完全相同的个乒乓球拍分别记为，，，，若甲先从中随机选取个，乙再从余下的球拍中随机选取个，求乙选中球拍的概率；
双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球这个约定是否公平？为什么？
22. 本小题分
因活动需要购买某种水果，数学活动小组的同学通过市场调查得知：在甲商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的关系如图所示；在乙商店购买该水果的费用元与该水果的质量千克之间的函数解析式为．
求与之间的函数解析式；
现计划用元购买该水果，选甲、乙哪家商店能购买该水果更多一些？
23. 本小题分
如图，是菱形的对角线．
尺规作图：将绕点逆时针旋转得到，点旋转后的对应点为保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图中，连接，．
求证：∽；
若，求的值．
24. 本小题分
已知点在函数的图象上．
若，求的值；
抛物线与轴交于两点，在的左边，与轴交于点，记抛物线的顶点为．
为何值时，点到达最高处；
设的外接圆圆心为，与轴的另一个交点为，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由．
25. 本小题分
如图，在正方形中，是边上一动点不与点，重合边关于对称的线段为，连接．
若，求证：是等边三角形；
延长，交射线于点．
能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由；
若，求面积的最大值，并求此时的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据负数的相反数是正数解答即可．
本题考查相反数等知识，掌握相反数的概念是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，的相反数数是．
2.【答案】
【解析】解：由主视图和左视图可以得到该几何体是圆柱和小圆锥的复合体，由俯视图可以得到小圆锥的底面和圆柱的底面完全重合．
故选：．
根据三视图判断圆柱上面放着小圆锥，确定具体位置后即可得到答案．
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是要有一定的数学知识，而且还应有一定的生活经验．
3.【答案】
【解析】解：在，，，，中，出现的次数最多，故众数为；
把数据，，，，从小到大排列，排在中间的数是，故中位数是；
数据，，，，的平均数为，
方差为：，
所以这组数据描述正确的是众数为．
故选：．
分别根据众数、平均数、方差以及中位数的定义判断即可．
本题主要考查众数、平均数、中位数以及方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数和方差的定义．
4.【答案】
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算、负整数指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：正比例函数的图象经过点，点位于第四象限，
正比例函数的图象经过第二、四象限，
；
反比例函数的图象位于第一、第三象限，
；
一次函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：．
根据正比例函数的性质可以判断的正负，根据反比例函数的性质可以判断的正负，然后即可得到一次函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出、的正负情况．
7.【答案】
【解析】解：连接，
由题意得：，
在中，，海里，
海里，
此时渔船与小岛的距离为海里，
故选：．
连接，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速，且动车提速后的平均速度为，
动车提速前的平均速度为．
根据题意得：．
故选：．
根据动车提速前后速度间的关系，可得出动车提速前的平均速度为，利用时间路程速度，结合动车提速后行驶与提速前行驶所用的时间相同，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接，．
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，，
，，
，
故选：．
如图，连接，利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：关于的方程有两个实数根，
判别式，
整理得：，
，
，，
．
故选：．
首先根据关于的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简．
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
运用科学记数法知识对进行改写．
此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
12.【答案】
【解析】解：由题意得抛物线的对称轴，
又，
抛物线开口向上．
当时随的增大而增大．
对于、当时，．
故答案为：．
依据题意，求出抛物线的对称轴，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向下，故当时随的增大而减小，进而判断得解．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．
13.【答案】
【解析】解：由条形统计图可得，
，
“一等奖”对应扇形的圆心角度数为：，
故答案为：，．
根据直方图中的数据，可以计算出的值，然后即可计算出“一等奖”对应扇形的圆心角度数．
本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接交于一点，
四边形是正方形，
点与点关于对称，
，
，此时最小，
正方形的边长为，
，，
点在上且，
，
故CF的最小值为．
故答案为：
如图，连接交于一点，根据正方形的性质得到点与点关于对称，求得，推出，此时最小，根据勾股定理即可得到结论．
此题考查了轴对称最短路径问题，正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：过作于，
是的角平分线，，，
，
，
，
的面积，
，
，
点到直线的距离为．
故答案为：．
过作于，由角平分线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，因此，即可得到点到直线的距离．
本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形的面积得到．
16.【答案】
【解析】解：由题意，点，分别是，的中点，
是三角形的中位线．
．
如图，
设，
由题意得，，且，
又，，
，．
四边形是平行四边形．
由题意，到的距离是，，
边上的高为．
四边形面积，．
，
．
故答案为：；．
依据题意，根据三角形中位线定理可得；设，从而，由，且，又，，进而，，从而四边形是平行四边形，结合题意可得边上的高为，故四边形面积，进而利用二次函数的性质可得的取值范围．
本题主要考查了三角形的中位线定理，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
17.【答案】解：分解因式得：，
，，
，．
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
18.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】先证出，再由平行线证出同位角相等，然后由证明≌，得出对应角相等即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
19.【答案】
【解析】解：如下图，由平移的性质知，点，所在圆的圆心坐标是，
故答案为：、；
在图中画出，并连接，，见下图；
和长度相等，均为，
而，
则封闭图形的周长．
由平移的性质知即可求解；
在图中画出，并连接，即可；
由封闭图形的周长，即可求解．
本题为圆的综合题，涉及到图象的平移、周长的计算，弧长的计算等，是一道基础题．
20.【答案】解：
；
选A，两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式答案不唯一，
．
【解析】应用提公因式法与平方差公式，即可解决问题；
把分式的分母，分子分别因式分解，然后约分，即可得到答案．
本题考查提公因式法与公式法的综合应用，关键是掌握因式分解的方法，分式化简的方法．
21.【答案】解：画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中乙选中球拍有种可能的结果，
乙选中球拍；
公平．理由如下：
画树状图如下：
一共有种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有种可能的结果，
甲先发球，
乙先发球，
甲先发球乙先发球，
这个约定公平．
【解析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍的结果数除以总的结果数即可；
分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平．
本题考查列表法和画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
22.【答案】解：当时，设与之间的函数解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
；
当时，设与之间的函数解析式为，
把和代入解析式得，
解得，
，
综上所述，与之间的函数解析式为；
在甲商店购买：，
解得，
在甲商店元可以购买千克水果；
在乙商店购买：，
解得，
在乙商店元可以购买千克，
，
在乙商店购买更多一些．
【解析】用待定系数法，分段求出函数解析式即可；
把分别代入，解析式，解方程即可．
本题考查一次函数和一元一次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程．
23.【答案】解：如图，作法：以点为圆心，长为半径作弧，
以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点，
连接、，
就是所求的图形．
证明：四边形是菱形，
，
，，
≌，
就是绕点逆时针旋转得到图形．
如图，由旋转得，，，
，，
，
∽．
如图，延长交于点，
，，，
≌，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
解关于的方程得，
，
，
的值是．
【解析】由菱形的性质可知，将绕点逆时针旋转得到，也就是以为一边在菱形外作一个三角形与全等，第三个顶点的作法是：以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点；
由旋转得，，，则，，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽；
延长交于点，可证明≌，得，而，所以，由等腰三角形的“三线合一”得，则，设，，则，所以，，由勾股定理得，求得，则．
此题重点考查尺规作图、旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
24.【答案】解：把代入得；
故的值为；
在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：正值已舍去，
即时，点到达最高处；
假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由得，，， ，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为：
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
，或
【解析】把代入得，即可求解；
，得，即可求解；
求出直线的表达式为：，得到点的坐标为：；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解．
本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中，数据处理是解题的难点．
25.【答案】证明：由轴对称的性质得到，
四边形是正方形，
，
，
，
关于对称的线段为，
，
，
是等边三角形；
解：边关于对称的线段为，
，
四边形是正方形，
，
，
是边上一动点，
，
点不可能是等腰三角形的顶点，
若点是等腰三角形的顶点，
则有，
此时与重合，不合题意，
只剩下了，
连接交于，
，，，
≌，
，
，
为等腰三角形，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
由知，≌，
要求面积的最大值，即求面积的最大值，
在中，底边是定值，即求高的最大值即可，
如图，过作于，连接，取的中点，连接，作于，
设，则，
，是的中点，
，，
，
当，，三点共线时，取等号，
面积的最大值
；
如图，设与交于，
则四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
．
【解析】由轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，求得，根据轴对称的性质得到，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；
根据轴对称的性质得到，根据正方形的性质得到，得到，推出点不可能是等腰三角形的顶点，若点是等腰三角形的顶点，则有，此时与重合，不合题意，于是得到只剩下了，连接交于，根据全等三角形的性质得到，得到为等腰三角形，根据平行线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到；
由知，≌，要求面积的最大值，即求面积的最大值，在中，底边是定值，即求高的最大值即可，如图，过作于，连接，取的中点，连接，作于，设，则，根据直角三角形的性质得到，，推出，当，，三点共线时，取等号，于是得到结论；如图，设与交于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，求得，，于是得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
第1页，共1页