2023年辽宁省朝阳市中考数学试卷（含解析）

2023年辽宁省朝阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，其中，，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5. 学校篮球队队员进行定点投篮训练，每人投篮次，其中名队员投中的次数分别是：，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6. 五一期间，商场推出购物有奖活动：如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色份，黄色份，绿色份，转动一次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘转动转盘一次，获得一等奖的概率为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，四边形内接于，若，的半径为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是( )
A.
B. 或
C.
D. 或
9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. 且 D.
10. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：；；甲的速度为米秒；当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 中国汽车工业协会年月日发布统计数据显示：今年至月，我国新能源汽车累计出口辆，显示出我国新能源汽车产业发展势头正劲将数据用科学记数法表示为______ ．
12. 因式分解： ．
13. 某校在甲、乙、丙、丁四名同学中选中一人参加今年月份举办的教育系统文艺展演独唱大赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是分，方差分别是，，，，则这四名同学独唱成绩最稳定的是______ ．
14. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，点是轴上任意一点，连接，若的面积等于，则的值为______ ．
15. 已知关于，的方程组的解满足，则的值为______ ．
16. 在矩形中，，，点是边上一点点不与点，重合，连接，将沿翻折得到，连接，当为等腰三角形时，的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用，两种机器人来搬运化工原料其中型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等．
求，两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
若每台型，型机器人的价格分别为万元和万元，该化工厂需要购进，两种机器人共台，工厂现有资金万元，则最多可购进型机器人多少台？
19. 本小题分
如图，在 中，求作菱形，使其面积等于 的面积的一半，且点，，，分别在边，，，上．
小明的作法
如图，连接，相交于点．
过点作直线，分别交，于点，．
过点作的垂线，分别交，于点，．
连接，，，，则四边形为所求作的菱形．
小明所作的四边形是菱形吗？为什么？
四边形的面积等于 的面积的一半吗？请说明理由．
20. 本小题分
某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组依次记为，，，学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
本次一共抽样调查了______ 名学生；
将条形统计图补充完整；
若该校八年级共有名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；
学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
21. 本小题分
如图，是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由南向北行驶，在处测得桥头在北偏东方向上，继续行驶米后到达处，测得桥头在北偏东方向上已知大桥长米，求桥头到公路的距离结果保留根号
22. 本小题分
如图，以的边为直径作，分别交，于点，，点在上，．
求证：是的切线；
若，，，求的半径．
23. 本小题分
某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元经过市场调查发现，该文具的每天销售数量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价元
每天销售数量件
直接写出与之间的函数关系式；
若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
设销售这种文具每天获利元，当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
24. 本小题分
如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接．
【问题引入】
请你在图或图中证明选择一种情况即可；
【探索发现】
在中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
如图，，延长至点，使，连接当的周长最小时，请你直接写出线段的长．
．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，连接．
求抛物线的解析式；
如图，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交于点，连接，，的面积记为，的面积记为，当时，求的值；
在的条件下，点在抛物线上，直线与直线交于点，当与相似时，请直接写出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：选项A、、的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3.【答案】
【解析】解：、，原计算错误，不符合题意；
B、，正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故选：．
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是合并同类项的法则、同底数幂的乘法及除法法则、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，
，，
，
，是的外角，
．
故选：．
由平行线的性质可得，再由三角形的外角性质即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5.【答案】
【解析】解：投中次数的人数最多，故众数是；
共有数据个，由小到大排序后第个数是，所以中位数是．
故选：．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数、中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6.【答案】
【解析】转盘共分成等份，其中红色区域份，即获得一等奖的区域是份，
所以获得一等奖的概率是．
故选：．
顾客购物元，获得一次抽奖机会，根据概率公式计算获得一等奖的概率即可．
本题考查了概率公式，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为且．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
的长为，
故选：．
根据圆周角定理和圆内内接四边形的性质以及弧长公式即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，圆内接四边形的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：以原点为位似中心，相似比为，把放大，点的坐标为，
点的对应点的坐标为或，即或，
故选：．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
9.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
的取值范围是且．
故选：．
由二次项系数非零及根的判别式，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由图可得，
甲的速度为：米秒，故错误，不符合题意；
乙的速度为：米秒，
，故错误，不符合题意；
，故正确，符合题意；
设当甲、乙相距米时，甲出发了秒，
两人相遇前：，
解得；
两人相遇后：，
解得；故正确，符合题意；
故选：．
根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．【解答】
解：原式，
故答案为．
13.【答案】甲
【解析】解：，，，，
，
在平均成绩相等的情况下，这四名同学独唱成绩最稳定的是甲．
故答案为：甲．
根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．
此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．
14.【答案】
【解析】解：设反比例函数的解析式为，
的面积的面积，的面积，
，
；
又反比例函数的图象的一支位于第二象限，
．
．
故答案为：．
由于同底等高的两个三角形面积相等，所以的面积的面积，然后根据反比例函数中的几何意义，知的面积，从而确定的值，求出反比例函数的解析式．
本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数中的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
15.【答案】
【解析】解：，
得：，
又关于，的方程组的解满足，
，
．
故答案为：．
利用方程方程，可得出，结合，可得出，解之即可得出的值．
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次方程，根据二元一次方程组的解满足，找出关于的一元一次方程是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：四边形为矩形，，，
，，，
设与交于点，
由翻折的性质得：，，，，
为等腰三角形，
有以下两种情况：
当时，过点作于，则，如图：
设，，则，，
，，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
即：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
即：，
，
即：，
将代入上式得：，
，
，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
的长为．
当时，则，如图：
，
设，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，
，
，
即：，
整理得：，
将代入，得：，
整理得：，
即：，
．
的长为．
综上所述：的长为或．
由矩形的性质得，，，设与交于点，由翻折的性质得，，，，分两种情况讨论如下：
当时，过点作于，则，设，，则，，，，由勾股定理得，进而得，整理得，而，再由得，将，代入上式可解出，进而可得的长；
当时，则，，设，，由勾股定理求出，则，在中，由勾股定理得，再由得，然后将代入之中解出即可得的长．
此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，图形的翻折及性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折及性质是解答此题的关键，灵活运用勾股定理及三角形的面积构造方程，及分类讨论是解答此题的难点，漏解是易错点．
17.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型机器人每小时搬运千克化工原料，型机器人每小时搬运千克化工原料；
设购进台型机器人，则购进台型机器人，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可购进型机器人台．
【解析】设型机器人每小时搬运千克化工原料，则型机器人每小时搬运千克化工原料，利用工作时间工作总量工作效率，结合型机器人搬运千克所用时间与型机器人搬运千克所用时间相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出型机器人每小时搬运化工原料的质量，再将其代入中，即可求出型机器人每小时搬运化工原料的质量；
设购进台型机器人，则购进台型机器人，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
19.【答案】解：小明所作的四边形是菱形．
理由如下：
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
四边形的面积等于 的面积的一半．
理由如下：
，，
四边形为平行四边形，
，
菱形的面积，平行四边形的面积，
菱形的面积平行四边形的面积的一半．
【解析】先根据平行四边形的性质得到，，则，再证明≌得到，同理可得，于是可判断四边形是平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形；
先证明四边形为平行四边形得到，再根据菱形的面积公式和平行四边形的面积公式得到菱形的面积平行四边形的面积的一半．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质．
20.【答案】
【解析】解：人，
所以本次一共抽样调查了名学生；
故答案为：；
组人数为人，
条形统计图补充为：
人，
所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数人；
画树状图为：
共有种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为，
所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
先计算出组的人数，然后补全条形统计图；
用乘以样本中组人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，再找出抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数，然后利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
21.【答案】解：如图．延长交直线于，
设米，根据题意得，，
在中，，，
米，
米，
米，
在中，，
，
米，
，
解得米，
答：桥头到公路的距离为米．
【解析】延长交直线于，设米，根据题意得，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查解直角三角形的应用方向角问题，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
22.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
的半径为．
【解析】连接，根据圆周角定理证明，即可解决问题；
连接，证明≌，可得，然后利用锐角三角函数得，所以，设，则，利用勾股定理求出的值，进而可以解决问题．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是学会添加常用辅助线，得到≌．
23.【答案】解：设与之间的函数关系式为，由所给函数图象可知：
，
解得：，
故与的函数关系式为；
根据题意得：
，
解得：，
又，
，
答：销售单价应为元．
，
抛物线开口向下，
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，．
答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
【解析】设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式；
依据利润单件利润销售量列出方程，解答即可；
根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．
本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式．
24.【答案】证明：选择图，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
由旋转得：，
．
选择图，
四边形是正方形，
，，
，
≌，
，
由旋转得：，
．
解：猜想理由如下：
选择图，过点作交于点，
则，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，，
，
，
．
若选择图，过点作交的延长线于点，
则，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
．
解：如图，取的中点，连接，
，
点是的中点，
，
的周长，
当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，如图，
四边形是正方形，
，，，
在中，，
点是的中点，
，，
，
∽，
，
，
，
，即，
．
【解析】选择图，根据正方形性质可得：，，进而证得≌，结合旋转的性质即可证得结论；选择图，同理可证得结论；
猜想，选择图，过点作交于点，则，利用正方形的性质即可证得≌，再利用等腰三角形性质即可得出答案；选择图，同理可证得结论；
取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，由的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，利用勾股定理可得，再证得∽，可得，即，利用，即可求得答案．
本题是正方形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键．
25.【答案】解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
在中，令得，
，
由，可得直线解析式为，
直线轴，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
解得或与重合，舍去，
的值为；
，，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
与相似，且，
在的右侧，且或，
设，
由知，，，，
，，，，
当时，如图：
，
解得或此时在左侧，舍去，
，
由，得直线解析式为，
解得或，
的坐标为或；
当时，如图：
，
解得舍去或，
，
由，得直线解析式为，
解得或，
的坐标为或；
综上所述，的坐标为或或或
【解析】把，代入可解得抛物线的解析式为；
求出，直线解析式为，由直线轴，，得，，，故，而，根据，有，即可解得的值；
由，，得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故，而与相似，且，可知在的右侧，且或，设，当时，，可解得，直线解析式为，联立解析式可解得的坐标为或；当时，同理得的坐标为或
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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