山东省枣庄市重点中学2023-2024学年高二上学期开学摸底考试数学试题（含解析）

枣庄市重点中学2023-2024学年高二上学期开学摸底考试
数学试题
2023.09
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．点关于坐标平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正四棱锥的侧棱长为，高与斜高的夹角为30°，则该正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则
的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．4
7．已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知长方体中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（ ）
A．若，则 B．若是纯虚数，则
C．若，则 D．若，则
10．空间单位向量，，两两夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（ ）
A．P、A、B、C四点可以共面 B．
C． D．
11．一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异．从袋中随机摸球两次，每次摸出1个球，设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，则以下结论错误的有（ ）
A．若摸球方式为有放回摸球，则A与互斥
B．若摸球方式为有放回摸球，则A与相互独立
C．若摸球方式为不放回摸球，则A与互斥
D．若摸球方式为不放回摸球，则A与相互独立
12．如图所示，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）．
A．平面平面 B．三棱锥的体积为
C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．某学校高一男生、女生的人数之比为，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取90人，若样本中男生的平均身高为171cm，女生的平均身高为160.2cm，则该校高一学生平均身高的估计值为______（单位：cm）．
14．如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则______．
15．已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为______．
16．已知空间直角坐标系中，过点，且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，试写出直线的一个方向向量为______，直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设，向量，，，且，．
（1）求；
（2）求向量与夹角的大小．
18．平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，，且四边形是平行四边形．
（1）求点的坐标及；
（2）若点为直线上的动点，求的最小值．
19．某城市医保局为了对该城市多层次医疗保障体系建设加强监管，随机选取了100名参保群众，就该城市多层次医疗保障体系建设的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率．
20．图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿，折起使得与重合，连接，如图②．
图①图②
（1）证明：平面平面；
（2）证明：平面；
21．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离．
22．已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的3个红球和3个黑球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出1个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停止取球，试验结束．
（1）求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；
（2）我们知道，当事件A与B相互独立时，有．那么，当事件A与B不独立时，如何表示积事件的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题：，其中表示事件A发生的条件下事件B发生的概率，且对于古典概型中的事件A，B有．依据上述发现，求“第2次摸球试验即结束”的概率．
枣庄市重点中学2023-2024学年高二上学期开学摸底考试
数学答案
2023.09
1．C【解析】，故虚部为．故选：C
2．D【解析】因为M为与的交点，所以，
故．故选：D
3．B【解析】关于坐标平面对称的点，横坐标变换为其相反数，纵坐标、竖坐标不变．
即点关于坐标平面对称的点B的坐标为．故选：B
4．A【解析】如图，在正四棱锥，高为，斜高为，
题意可得，
设正方形的边长为a，则，
在中，，在中，，则，解得，
所以，所以正四棱锥的体积为，故选：A
5．D【解析】因为，所以，即，
因为，所以，，所以，
因为，所以，解得．故选：D
6．C【解析】题干中代数式的几何意义是空间中任意一点分别到点、、，的距离之和，如图所示，四边形是一个矩形，
易知，，当点位于矩形的中心时，其距离之和最小，且最小值为矩形的对角线长之和，而，所以代数式的最小值为．故选：C
7．D【解析】由题知，与向量同向的单位向量为
因为，所以，得
所以向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量为．故选：D
8．C【解析】以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
设，则，．
，，解得，，
，，解得．故选：C．
9．ABD【解析】因为，
对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若z是纯虚数，则，解得，故B正确；
对于C：若，则，所以，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确；故选：ABD
10．BC【解析】由于单位向量，，两两夹角均为60°，
所以，
假设P、A、B、C四点可以共面，则，，共面，
所以存在x，y，使得，分别用，，与点乘，
则，由于该方程组无解，所以不存在x，y，使得，，共面，
故P、A、B、C四点不共面，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，由得，由得，
所以，则
，故C正确；
对于D，，，
故，故D错误，故选：BC．
11．ACD【解析】以x、y分别表示第1次、第2次摸球的编号，以为一个基本事件．
对于AB选项，若摸球方式为有放回摸球，则所有的基本事件个数为个，
事件A包含的基本事件有：、、、、、、、，共8种，
事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共8种，
则事件包含的基本事件有：、、、，则，
即A与不互斥，A错，
，，即A与相互独立，B对；
对于CD选项，若摸球方式为不放回摸球，则所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共12种，
事件A包含的基本事件有：、、、、、，共6种，
事件包含的基本事件有：、、、、、，共6种，
事件包含的基本事件有：、、、，共4种，
则，即A与不互斥，C错，
，，即A与不相互独立，D错．
故选：ACD．
12．ACD【解析】如图，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
对于A，连接，因为平面，平面，所以是平面的一个法向量，
又，，，所以，，
则，，又，，平面，所以平面
则是平面的一个法向量，又，所以平面平面，故A正确；
对于B，连接，因为，，所以，则，
又平面，平面，所以平面，
点P在线段上的动点，点P到平面的距离即点到平面的距离，
设平面的法向量为，
又，
则，令，所以
又，所以距离，
在中，所以为正三角形
，故B不正确；
对于C，点P为线段上的动点（不含端点），则设，
所以，
则，故C正确；
对于D，因为，，
所以，故D正确．故选：ACD．
13．165
【解析】依题意，设样本中高一男生人数为4x，则样本中高一女生的人数为5x，
故，解得x10，则样本中高一男生人数为40，高一女生的人数为50，
所以样本中高一学生平均身高为，
故而该校高一学生平均身高的估计值为165cm．
故答案为：165．
14．【解析】因为M是的中点，所以，
，
因为，
，
所以，
所以．故答案为：．
15．
【解析】记的中点为F，连接，，连接，
设外接圆的圆心为，半径为r，所求外接球球心为O，半径为R，连接，，如图，
因为为等边三角形，，所以圆半径，
因为为等边三角形，F是的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为底面是矩形，所以E是底面ABCD外接圆的圆心，
故平面，所以，
同理，所以四边形是矩形，所以，
所以球O的半径，所以外接球的表面积为．故答案为：π．
16．
【解析】平面的方程为，可得平面的法向量为，
平面的法向量为，的法向量为，
设直线l的方向向量为，则，即，
令则取，
设直线l与平面所成角，，
则，故答案为：；．
17．【答案】（1）3；（2）
【解析】（1）由题意，，，可得，解得，
则，，所以，故．
（2）因为，所以，
故向量与的夹角为．
18．【答案】（1），．（2）
【解析】（1）如图所示，
设C点坐标为，则，，
因为四边形是平行四边形，，则有，所以，
可得，．
（2）由题意直线的方程为，设，
则，，
所以，
故当，点P坐标为时，取得最小值．
19．【答案】（1）0.02 （2） （3）
【解析】（1）依题意，得，解得；
（2）因为，，
所以中位数在间，设为m，
则，解得．
（3）依题意，因为满意度评分值在的男生数与女生数的比为，
按照分层抽样的方法在其中随机抽取5人，则抽中男生3人，女生2人，依次分别记为，，，，，对这5人依次进行座谈，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，设“前2人均为男生”为事件A，其包含的基本事件有：，，，共3个，所以．
20．（1）
图① 图②
由题意知，，，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）法一：由题意可知，，，，
所以，，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
法二：因为，平面，平面，所以平面，
，平面，平面，所以平面，
，，平面，
所以平面平面，又平面，所以平面．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【详解】（1）因为平面，，平面，所以，，
由于四边形是矩形，所以，
由此，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，；
所以，，，，
因为，所以，
由于，所以，
由于，，平面，所以平面；
（2）设平面的法向量，则，即
不妨令，可得，且为平面的一个法向量，
于是，所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3）设B点到平面的距离为d，由（2）可知平面的法向量，，
设B点到平面的距离为d，则，所以B点到平面的距离为．
22．【答案】（1） （2）
【解析】（1）设甲袋中的三个红球为1，2，3，三个黑球为a，b，c，
乙袋中的三个红球为4，5，6，三个黑球为d，e，f，
设第1次摸球对应的样本空间为，则，
设事件C＝“第1次摸球取出的两球颜色不同”，则
事件，所以，所以；
（2）设两次摸球试验的样本空间为，则，
在样本空间中，设事件A＝“第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件B＝“第2次摸球取出的两球颜色相同”，
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
且每个可能的结果对应的“第2次摸球中从甲、乙两袋中各一个球”均有36种可能取法，
所以，
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
不妨设第1次摸球中甲取出1、乙取出d（其余情况，同理可得），
则第1次摸球结束后，甲袋中红球2个、黑球4个，乙袋中红球4个、黑球2个，
在接下来的第2次摸球中，当甲、乙两袋取出的球颜色相同时，
共有种取法，故，
所以，因此．