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专题12.3 角的平分线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、 单选题
1．如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝8，则P到OB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（ ）
A．PQ＜10 B．PQ＞10 C．PQ≥10 D．PQ≤10
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．15 B．7.5 C．8 D．9
4．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
6．如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”这样说的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．以上均不正确
7．如图，，平分，于点，于点，交于点，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．12 C．10 D．8
10．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定
二、填空题
11．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是 点．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，作∠CAB的平分线AP交BC于点D．若AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为 ．
13．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为 ．
14．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为 cm．
15．如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则____________．
16．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝ ．
17．如图，在中，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接．若的面积是，则的面积是____________．
18．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．
三、解答题
19．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
20．求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
21．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
(1)求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P、Q两点；
(2)证明AP＝AQ．
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22．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
(1)线段BC的长；
(2)若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．
求证：
(1)AD平分∠BAC；
(2)AC=AB+2BE.
24．如图，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E．
(1)求证：AF＝BE；
(2)若BC＝3cm，AC＝5cm，则CE＝______．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N，
(1)请直接写出∠MFN=______°，∠EFD=______°．
(2)求证：FM=FN．
(3)求证：EM=DN．
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专题12.3 角的平分线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、 单选题
1．如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝8，则P到OB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】过P点作PD⊥OB于D，如图，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，
∴PD＝PC＝8，
即P到OB的距离为8．
故选C．
2．点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（ ）
A．PQ＜10 B．PQ＞10 C．PQ≥10 D．PQ≤10
【答案】C
【解析】如图，过P作PD⊥OB于D，
∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP平分∠AOB，
∴PC＝PD，
∵点P到OA边的距离等于10，
∴PD＝PC＝10，
∴PQ≥10（当Q与点D重合时，PQ＝10），
故选C．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．15 B．7.5 C．8 D．9
【答案】B
【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，AD⊥AB，
∴AD=DE=3，
又∵BC=5，
∴S△BCD=BC DE=×5×3=7.5．
故选B．
4．如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【解析】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．
故本题选A．
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，CD＝2，Q为AB上一动点，则DQ的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∵Q为AB上一动点，
∴DQ的最小值为DH的长，即DQ的最小值为2．
故选A．
6．如图，一把直尺压住射线OB，另一把完全一样的直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”这样说的依据是（ ）
A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．以上均不正确
【答案】C
【解析】如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E和F，
∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选C．
7．如图，，平分，于点，于点，交于点，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】，平分，于点，于点，
，，
，
，，
，
在中，，
故选A．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90°，
∵AD=AD，
∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC，
∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，
∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．
综上，正确的个数的3个，
故选C．
9．如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（ ）
A．20 B．12 C．10 D．8
【答案】C
【解析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积
（AB+BC+AC）×OD
10×2
＝10，
故选C．
10．如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
A．S1+S2＝S3 B．S1+S2＜S3 C．S1+S2＞S3 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵点I是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等，
∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，
∴S1+S2＝，S3＝，
由△ABC的三边关系得：AB+AC＞BC，
∴S1+S2＞S3，
故选C．
二、填空题
11．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是 点．
【答案】M
【解析】由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等，
故答案为：M．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，作∠CAB的平分线AP交BC于点D．若AB＝10，S△ABD＝20，则CD的长为 ．
【答案】4
【解析】如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DH＝CD，
∴S△ABD＝AB DH＝×10 DH＝20，
解得DH＝4，
∴CD＝4，
故答案为：4．
13．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为 ．
【答案】2
【解析】设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，
∵△ABC的面积为24，周长为24，
∴，
解得：x=2．
即点O到BC的距离为2．
故选B．
14．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为 cm．
【答案】3
【解析】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴AB×DEDF×AC＝21，
即8×DEDE×6＝21，
∴DE＝3（cm）．
故答案为3．
15．如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则____________．
【答案】45°/45度
【解析】如图，过点E作EH⊥CB，交CB延长线于H，作EF⊥AC，交CA延长线于F，作EG⊥AB于G．
∵CE平分∠ACB，
∴EH=EF，
∴BE平分∠ABD，
∴EH=EG，
∴EF=EG，
∴AE平分∠FAB．
∵∠FAB=180°-∠BAC=160°，
∴∠EAB=80°，
∵∠ABD=∠ACB+∠BAC=110°，
∴∠ABE=55°，
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠ABE=45°．
故答案为：45°
16．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△PAB：S△PBC：S△PCA＝ ．
【答案】6：8：3
【解析】∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，
∴P点到三边的距离相等，
设这个距离为m，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCAAB×mBC×mAC×m
＝AB：BC：AC
＝30：40：15
＝6：8：3．
故答案为6：8：3．
17．如图，在中，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接．若的面积是，则的面积是____________．
【答案】12
【解析】延长CD交AB于点E，
由题意可得，AP为∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∵CD⊥AP，
∴∠ADC=∠EDA=90°，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD=DE，
∴S△BCD=S△BDE，S△ACD=S△ADE，
∴S△ABC=S△ACD+S△ADE+S△BCD+S△BDE=2（S△ADE+S△BDE）=2S△ABD=2×6=12（cm2）．
故答案为：12．
18．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．
【答案】①③④
【解析】在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，故①正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
三、解答题
19．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
【解析】证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
20．求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
【解析】证明：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，
∴PD＝PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
同理，PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF．
∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即∠A的平分线经过点P．
故三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
21．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
(1)求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P、Q两点；
(2)证明AP＝AQ．
【解析】(1)解：①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AB于E，交BC于F，
②以E为圆心，以大于为半径画弧，以F为圆心，以相同长度为半径画弧，得交点，
③连接B与交点，交AD于P，交AC于Q，如图所示：
∴BQ即为所求．
(2)由（1）得，BQ为∠ABC的角平分线，
∴∠ABQ=∠CBQ，
又∵AD⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠PBD+∠BPD=∠ABQ+∠AQB=90°，
∴∠BPD=∠AQP，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP＝AQ．
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22．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
(1)线段BC的长；
(2)若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．
【解析】（1）解：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵，
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC，
∴BC＝BD＋DC＝BD＋DE＝2＋3＝5（cm）；
（2）解：如图，∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是a，
∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝×6a＋×9a＋×5a＝3a＋a＋a＝10a．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF．
求证：
(1)AD平分∠BAC；
(2)AC=AB+2BE.
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE与Rt△CDE中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：由(1)可知AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFA=90°
又∵AD=AD，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
∵CF=BE，
∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．
24．如图，CD是∠ACE的平分线，DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点F，DE⊥BC于点E．
(1)求证：AF＝BE；
(2)若BC＝3cm，AC＝5cm，则CE＝______．
【解析】(1)证明：连接AD、BD，如图，
∵PD垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∵CD平分∠ACE，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AFD＝∠BED＝90°
在Rt△ADF和Rt△BDE中，
∴Rt△ADF≌Rt△BDE（HL），
∴AF＝BE；
(2)∵∠CFD=∠CED=90°
CD平分∠ACE
∴∠FCD=∠ECD
CD=CD
在 CFD和 CED中
∴ CFD CED（AAS）
∴CE=CF
设CE=CF=x，则
AF= AC- CF= 5-x，
BE= BC+ CE=3+x，
AF= BE，
∴5-x= 3+x，
∴x= 1，
∴CE= 1cm．
故答案为：1cm
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是△ABC的角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N，
(1)请直接写出∠MFN=______°，∠EFD=______°．
(2)求证：FM=FN．
(3)求证：EM=DN．
【解析】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=45°，∠EAF=15°，
∴∠AEC=∠EAC+∠ACE=105°，
∴∠EFD=∠EAF+∠AEC=15°+105°=120°；
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴∠FMB=∠FNB=90°，
∵∠B+∠BMF+∠BND+∠MFN=360°，
∴∠MFN=180°-∠B=120°；
故答案为：120，120；
(2)证明：∵F是△ABC的角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴MF=FN；
(3)证明：∵∠MFN=∠EFD，
∴∠MFN-∠MFD=∠EFD-∠MFD，
∴∠EFM=∠DFN，
∵∠EMF=∠FND，FM=FN，
∴△EFM≌△DFN（ASA），
∴EM=DN．
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