北师大版八年级数学上册1.1 探索勾股定理 课后提升练（含解析）

1.1 探索勾股定理 课后提升练 北师大版八年级数学上册
一、选择题
1．如图是某地的长方形广场的示意图，如果小红要从点A走到点C，那么他至少要走（　　）
A．90米 B．100米 C．120米 D．140米
2．有一对角线长为200cm的长方形黑板，小明测得长为160cm，那么这块黑板的宽为（　　）
A．180cm B．120cm C．160cm D．64cm
3．已知 中 ， 为斜边， 、 为直角边，若 ， ，则 的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　）
A．42 B．32 C．42或32 D．42或37
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8cm，把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝ cm，则AD的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
6．在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（　　）
A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2
C．b2+c2=a2 D．以上关系都有可能
7．小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到岸边1.5m远的河底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水平刚好相齐，河水的深度为（　　）
A．2m B．2.5m C．2.25m D．3m
8．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（　　）
A．13 B．14 C．25 D．169
二、填空题
9．如图，为测得到池塘两岸点A和点B间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC=90°，并测得AC长5米、BC长4米，则A、B两点间距离是　 　米．
10．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程为　 　m．
11．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB=90°，AC=BC，从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方（每块砖的厚度相等）为　 　cm．
12．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为　 　，斜边上的高为　 　．
13．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是　 　．
14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别为8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是　 　 cm2．
三、解答题
15．如图，折叠矩形的一边 ，使点 落在 边的点 处，已知AB=8cm，BC=10cm，求 的长
16．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
17．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．
18．如图，已知∠A=90°，AC=5，AB=12，BE=3.求长方形BCDE的面积
19．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，AC=BC=5，求AD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°；
Rt△ACD中，AD=60m，CD=80m；
根据勾股定理，得：AC= 60 +80 =100m；
故答案为：B
【分析】根据矩形的性质得出∠D=90°；Rt△ACD中根据勾股定理，由AC=即可直接算出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】如图，
在矩形ABCD中，AC=200cm，CD=160cm．
在Rt△ADC中，根据勾股定理知AD= = 20（cm），即这块黑板的宽为120cm．
故答案为：B．
【分析】在Rt△ADC中，根据勾股定理，由AD=即可算出答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵a+b=17，
∴(a+b)2=289，
∴2ab=289-(a2+b2)=289-c2=289-169=120，
∴ab=60，
∴ ab=30.
∴△ABC的面积是30cm2.
故答案为：B.
【分析】用勾股定理可求得a2+b2的值，把已知的等式a+b=17两边平方可得ab的值，再根据三角形的面积S=ab即可求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】此题应分两种情况说明：
（ 1 ）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD= ,
在Rt△ACD中，
CD=
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=9，
在Rt△ACD中，CD=5，
∴BC=9-5=4.
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.
综上所述，△ABC的周长是42或32.
故答案为：C.
【分析】由题意分两种情况：①当△ABC为锐角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=14，即可求出△ABC的周长 .②当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理分别求出BD，CD，再求出BC=4，即可求出△ABC的周长 .
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由折叠的性质知，AE=CD，CE=AD
∴△ADC≌△CEA，∠EAC=∠DCA
∴AF=CF= cm，DF=CD﹣CF=
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD=6cm．
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质知，AE=AB=CD，CE=AD，易证△ADC≌△CEA，可得AF的长，再在Rt△ADF中，根据勾股定理求得AD的长。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，
∠C是直角，则有a2+b2=c2；
∠B是直角，则有a2+c2=b2；
∠A是直角，则有b2+c2=a2．
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理分三种情况讨论，可得出a、b、c之间的关系。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，由题意得，
x2=1.52+（x﹣0.5）2，
解得．x=2.5．
所以水深2.5﹣0.5=2（米）．
故答案为：A．
【分析】根据题意可知此三角形的直角三角形，若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，再利用勾股定理求出x的值。就可得出答案。
8．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，
四个三角形的面积=4× ab=13﹣1，
∴2ab=12，
联立解得：（a+b）2=13+12=25．
故答案为：C．
【分析】观察图形可知大正方形的面积就是直角三角形的斜边的平方，即大正方形的面积=两直角边的平方和，再利用四个直角三角形的面积=正方形的面积减去小正方形的面积，然后利用完全平方公式可求解。
9．【答案】3
【解析】【解答】由题意得，AC=5米，BC=4米，
在Rt△ABC中，AB= =3米
故答案为：3
【分析】根据勾股定理由AB=即可直接算出答案。
10．【答案】2
【解析】【解答】折线分为AB、BC两段，
AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB=BC= = 米．
小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程为
=2 米
【分析】小明沿图中所示的折线从A B C所走的路程，其实质就是线段AB、BC两段的和，AB、BC分别看作直角三角形斜边，利用地砖的特点，根据勾股定理即可算出AB，BC的长，从而得出答案。
11．【答案】
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥AD于点F，
设砌墙砖块的厚度为xcm，则BE=2xcm，则AD=3xcm，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∵∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD和△CEB中，
，
∴△ACD≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=5x，AF=AD﹣BE=x，
∴在Rt△AFB中，
AF2+BF2=AB2，
∴25x2+x2=400，
解得，x2= ，
故答案为： ．
【分析】过点B作BF⊥AD于点F，先证明△ACD≌△CEB，得出AD=CE，CD=BE，设砌墙砖块的厚度为xcm，则BE=2xcm，则AD=3xcm，DE=5x，AF=AD﹣BE=x，在Rt△AFB中，利用勾股定理求出x2，即可解答。
12．【答案】13；
【解析】【解答】解：如图，
由勾股定理可得：AB2=52+122，
则AB=13，
直角三角形面积S= ×5×12= ×13×CD，
可得：斜边的高CD= ．
故答案为：13， ．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用同一个三角形的面积相等，求出CD的长。
13．【答案】54cm2
【解析】【解答】根据勾股定理，得
直角三角形的另一条直角边是：9（cm）．
则直角三角形的面积＝ ×12×9＝54（cm2）．
故答案为：54cm2．
【分析】利用勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，然后利用直角三角形的面积公式=两直角边之积的一半求解。
14．【答案】17
【解析】【解答】根据勾股定理可知，
∵S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，
S正方形C+S正方形D=S正方形2，
S正方形A+S正方形B=S正方形1，
∴S大正方形=S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=49．
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）.
【分析】根据勾股定理有S正方形1+S正方形2=S大正方形=49，S正方形C+S正方形D=S2 ，S正方形A+S正方形B=S正方形1，等量代换即可求正方形D的面积。
15．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF= (cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC= ，则DE= ，EF= ，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为 ．
【解析】【分析】由四边形ABCD为矩形，得出DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，根据折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，得出AF的值，利用勾股定理得出BF、FC的值，设EC= ，则DE= ，EF= ，在Rt△EFC中，由EC2+FC2=EF2，即可得出EC的长。
16．【答案】解；设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
根据勾股定理得：x2+( )2=(x+1)2，
解得：x=12（尺），
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：水池深12尺，芦苇长13尺
【解析】【分析】设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理建立方程，求解即可得出x的值，从而得出答案。
17．【答案】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴AG=EG，ED=3，∵AB=4，BC=3，∠A=90°，∴BD=5，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2，即：x2+4=（4﹣x）2，解得：x= ，故AG= ．
【解析】【分析】过点G作GE⊥BD于E，利用折叠的性质，可证得∠GDA=∠GDB，AD=ED，AG=EG，利用矩形的性质，可求出AD、DE的长，∠A=90°，再利用勾股定理求出BD的长，就可得出BE的长，设AG=x，则GE=x，BG=4﹣x，然后在Rt△BEG中，利用勾股定理求出x的值即可。
18．【答案】解：在RtΔABC中，∠A=90°，AB=12，AC=5，∴BC==13∴长方形BCDE的面积=13×3=39
【解析】【分析】在RtΔABC中，利用勾股定理求出BC的长，再利用长方形的面积公式计算。
19．【答案】解：解：再Rt△ABC中AB==30由折叠的性质知，AE=AC=18，DE=CD，∠AED=∠C=90°∴BE=AB-AE=30-18=12，在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2即(24-BD)2+12=BD2解得：BD=15cm
【解析】【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据折叠的性质得出AE=AC，DE=CD，∠AED=∠C=90°，然后求出BE的长，在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD的长。
20．【答案】解：如图，设BD=x．则CD=x-5
依题意得
即：
解得：x=6.4.
∴
【解析】【分析】利用垂直的定义可得出△ABD和△ADC是直角三角形，它们有公共的直角边AD，因此可得出AB2 BD2=AC2 CD2，设BD=x．则CD=x-5，建立关于x的方程，求出x的值，再利用勾股定理求出AD的长。