课件14张PPT。3.1.1 数系的扩充与复数的概念数系的扩充用图形表示包含关系:复习回顾知识引入引入一个新数: 现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且规定:
(1)i2??1;
(2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集,
一般用字母C表示 .复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即其中 称为虚数单位。复数a+bi练一练:1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。5 +8,0例1: 实数m取什么值时,复数
(1)实数? (2)虚数?(3)纯虚数?解: (1)当 ,即 时,复数z 是实数.(2)当 ,即 时,复数z 是虚数.(3)当即 时,复数z 是
纯虚数.练习:当m为何实数时,复数
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数(3)m=-2(1)m=(2)m 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.例2: 已知 ,
其中 求解:根据复数相等的定义,得方程组得1、若x,y为实数,且
求x,y.练习:x=-3,y=42.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0,求x的值.x=2小结:1.虚数单位i的引入;练习:P59课件20张PPT。3.2 复数的四则运算 我们引入这样一个数i ,把i 叫做虚数单位,并且规定: i2??1; 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C表示 .复习:复数的代数形式:通常用字母 z 表示,即其中 称为虚数单位。复数a+bi 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.特别地,a+bi=0? .a=b=0必要不充分条件问题:注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小?答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.1.复数加减法的运算法则:运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di,
那么:z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).(2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).例1.计算 解:2.复数的乘法与除法(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
即对任何z1,z2,z3有
z1z2=z2z1;
(z1z2)z3=z1(z2z3);
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例2:计算(3)复数的除法法则 先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即分母实数化例3.计算解:(1)已知
求练 习(2)已知
求(3)练习:P63拓 展求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3-4i)=1;
(2)(3+i)z=4+2i课件13张PPT。3.2 复数的四则运算运算满足交换律、结合律、分配律复习:【探究】 怎样判断一个复数是实数?a=-2,b=-1;a=-4,b=2;z=2+i练习:
P63,3,4 实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
zmzn=zm+n,
(zm)n=zmn,
(z1z2)n=z1nz2n.【探究】 i 的指数变化规律你能发现规律吗?有怎样的规律?【例2】求值:练习:
P65,1例3:【练习】
1、在复数范围内解方程
(1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式
(1) x2 + 4 (2) x4 - y4
3、已知复数z的平方根为 3 + 4i ,
求复数 z .
4、求复数 z =3 + 4i 的平方根.拓 展课件16张PPT。3.3 复数的几何意义在几何上,我们用什么来表示实数?想一想?实数的几何意义类比实数的表示,可以用什么来表示复数?实数可以用数轴上的点来表示。实数 数轴上的点 (形)(数)一一对应 回忆…复数的一般形式?Z=a+bi(a, b∈R)实部!虚部!一个复数由什么确定?复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴(数)(形)------复数平面 (简称复平面)一一对应z=a+bi复数的几何意义(一)(A)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上;
(B)在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上;
(C)在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
(D)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。例1.(1)下列命题中的假命题是( )D (2)复数z与 所对应的点在复平面内 ( )
(A)关于x轴对称 (B)关于y轴对称
(C)关于原点对称(D)关于直线y=x对称A例2:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限,求实数m的取值范围。 一种重要的数学思想:数形结合思想变式一:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上,求实数m的值。 解:∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是(m2+m-6,m2+m-2), ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0, ∴m=1或m=-2。练习:P69,1,3复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量一一对应一一对应复数的几何意义(二)xyobaZ(a,b)z=a+bixOz=a+biy复数的绝对值(复数的模)的几何意义:Z (a,b)对应平面向量 的模| |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。| z | = 例3:求下列复数的模:
(1)z1=-5i
(2)z2=-3+4i
(3)z3=5-5i(4)z4=1+mi(m∈R)
(5)z5=4a-3ai(a<0)( 5 )( 5 )(-5a )思考:(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (2)这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形? xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形?55–5–5图形:以原点为圆心,5为半径的圆上5xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形?55–5–53–3–33图形:以原点为圆心, 半径3至5的圆环内练习:
P69,2,4,5
P70,4课件20张PPT。3.3 复数的几何意义复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴(数)(形)------复数平面 (简称复平面)一一对应z=a+bi复数的几何意义(一)复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量一一对应一一对应复数的几何意义(二)xyobaZ(a,b)z=a+bixOz=a+biy复数的绝对值(复数的模)的几何意义:Z (a,b)对应平面向量 的模| |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。| z | = xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形?55–5–5图形:以原点为圆心,5为半径的圆上5xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足3<|z|<5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形?55–5–53–3–33图形:以原点为圆心, 半径3至5的圆环内练习:已知复数m=2-3i,若复数z满足不等式|z-m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2, -3)为圆心,
1为半径的圆上xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ符合向量加法的平行四边形法则.1.复数加法运算的几何意义?新课讲解xoyZ1(a,b)Z2(c,d)符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义?|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离(1)|z-(1+2i)|(2)|z+(1+2i)| 已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.点A到点(1,2)的距离点A到点(-1, -2)的距离(3)|z-1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0, -2)的距离练习:已知复数m=2-3i,若复数z满足不等式|z-m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2, -3)为圆心,
1为半径的圆上复数减法的几何意义的运用 设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件下求动点Z(x,y)的轨迹.
| z- 2|= 1
2. | z- i|+ | z+ i|=4
3. | z- 2|= | z+ 4|xyoZ2ZZZ当| z- z1|=r时, 复数z对应的点的轨迹是以
Z1对应的点为圆心,半径为r的圆.1-1ZZZyxo|z-z1|+|z-z2|=2a|z1-z2|<2a|z2-z1|=2a|z2-z1|>2a椭圆线段无轨迹yxo2-4 x=-1当| z- z1|= | z- z2|时, 复数z对应的点的轨迹是
线段Z1Z2的中垂线.-1练习:
P69,4,5
P70,4,51、|z1|= |z2|
平行四边形OABC是2、| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是3、 |z1|= |z2|,| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是oz2-z1ABC菱形矩形正方形三、复数加减法的几何意义三、复数加减法的几何意义的运用练习1:设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|= 求|z2-z1| 练习2:复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|= | z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2