喀什第二高级中学2023-2024学年高二上学期开学测试
数学（答案）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法法则计算出，从而求出共轭复数.
【详解】，所以共轭复数是.
故选： .
2. 已知向量，且，则（ ）
A 4 B. -4 C. 2 D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】由向量减法的坐标运算和向量共线的坐标表示，列方程求解.
【详解】向量，则有，
由，得，解得.
故选：A.
3. 某区政府为了加强民兵预备役建设，每年都按期开展民兵预备役军事训练，训练后期对每位民兵进行射击考核．民兵甲在考核中射击了8发，所得环数分别为，若民兵甲的平均得环数为8，则这组数据的第75百分位数为（ ）
A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5
【答案】B
【解析】
【分析】由平均数求出的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意可得：，解得：，
将这组数据从小到大的顺序排列为，
因为为整数，
所以这组数据的75百分位数为，
故选：B.
4. 已知复数满足（是虚数单位），则复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】复数，利用共轭复数的概念，复数的乘法，复数的相等，解方程即可.
【详解】复数，则，由，
得，解得，所以.
故选：B
5. 已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】若，有可能，可判断选项A；线面平行可判断选项B由线面垂直可以得出面面平行可以判断C选项，根据线面平行及面面垂直可判断选项 D.
【详解】对于选项A，有可能，故选项A假命题；
对于选项B，有可能，故选项B为假命题；
对于选项C，，可得两平面法向量共线,是两个不重合的平面，进而可得，故选项C为真命题.
对于选项D，若，，有可能，故选项D为假命题；
故选：C.
6. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.
【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品，
由古典概型得，故选：D.
7.的三个内角分别为，，，若，则
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式得，利用同角三角函基本公式及正切函数性质得，利用内角和定理计算即可得到结果．
【详解】由，得，所以，所以，，所以，.因为角为三角形的内角，所以，所以，故选B.
8. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A. 该圆锥体积为 B. 该圆锥侧面积为
C. D. 的面积为2
【答案】D
【解析】
【分析】根据二面角的定义，结合锐角三角函数定义、圆锥的体积和侧面积公式逐一判断即可.
【详解】
因为平面，平面，
所以，又因为，，
所以，因此，
于，
圆锥体积为，因此选项A不正确；
圆锥的侧面积为，因此选项B不正确；
连接，设的中点为，所以
因为为底面直径，所以，因此有，
因为，的中点为，所以，
因为二面角为，
所以，于是有，
于是有，因此，
因此选项C不正确；
的面积为，
因此选项D正确，
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形的实际应用问题，其中解答解三角形实际问题时需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边角之间的关系，合理使用正、余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若复数为纯虚数，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据复数的乘方运算法则计算出答案；B选项，设，则，从而根据求出，B正确；C选项，设，分别求出；D选项，化简得到，从而求出模长.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，设，，则，若，则，
即，解得，则，，B正确；
C选项，复数为纯虚数，设，，则，
故，C错误；
D选项，若，则，
故，D正确.
故选：ABD
10. 某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：千人次）的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 每年月接待游客的增长量最多是8月
D. 每年1月至6月的月接待游客量相对同年7月至12月的月接待游客量，波动性更小
【答案】BD
【解析】
【分析】根据折线图提供的数据逐一判断各选项．
【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：
在A中，很明显有些月份游客量在下降，故A选项错误；
在B中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故B选项正确；
在C中，每年月接待游客的增长量最多是7月，故C选项错误；
在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D选项正确．
故选：BD．
11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A. A与B为互斥事件 B. A与B为相互独立事件
C D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件、积事件的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
事件包含的基本事件是：（正，正），（正，反）.
事件包含的基本事件是：（正，正），（反，正）.
所以不是互斥事件，A选项错误.
，所以BD选项正确.
，C选项错误.
故选：BD
12 已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可
【详解】对于A：若，，则，故A正确；
对于B：若，则或，故B错误；
对于C：若，，则或与异面，故C错误；
对于D：若，，则，又，所以，故D正确；
故选：AD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某校为了提升学生的中华文化素养，开设书法 对联 灯谜三个校本课程班，每位学生只报一个校本课程班，学校对高一 高二年级报名的学生人数进行统计，结果如下表．已知张华对上述三个校本课程班，采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个总样本量为30的样本，其中对联班的学生抽取10名，则__________．
课程 年级 书法 对联 灯谜
高一 15 30
高二 45 30 10
【答案】20
【解析】
【分析】根据分层抽样的特点列出方程，求出答案.
【详解】一共有学生人数为，
其中对联班学生人数为，
则根据分层抽样的特点，得到，解得.
故答案为：20
14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由定义作出二面角的平面角，然后解三角形即可.
【详解】
过作，垂足为，过作，垂足为，连接.
平面平面，平面平面，又，平面，
根据面面垂直的性质定理可得，平面，又平面，故，
又，，平面，故平面，
由平面，故，于是二面角的平面角为，
根据题目数据，在中，，，
则，则.
故答案为：
15.若样本数据的方差为3，则数据的方差为________．
【答案】12
【解析】
【分析】利用方差的性质直接求解.
【详解】样本数据的方差为3，
数据的方差为.
故答案为：12.
16. 已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E为AA1的中点，点F 在CC1上（不与C、C1重合），三棱锥A-D1EF 的体积为__________，当F 为CC1的中点，几何体AED1FCD 的体积为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等体积法求解三棱锥的体积．根据割补法，将几何体分解为三棱柱和三棱锥，即可由体积公式求解.
【详解】在正方体中，棱长为2，为的中点，
则，
为上一点，而平面，平面，
则点到平面的距离为长，
所以三棱锥的体积．
取的中点为，连接,
由于均为棱的中点，由正方体的结构特征可知为直三棱柱，故几何体
可以分割为三棱柱和三棱锥，
已知在中，角，，所对的边分别是，，，满足条件：______.在 ① ；②；③.这三个条件中任选 个，补充在上面的问题中，并解答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.问题：
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）选①②③，答案均为
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，由正弦定理及得到，结合，求出答案；
选②，由正弦定理及得到，结合，求出答案；
选③，由正弦定理及得到，结合，求出答案；
（2）利用三角恒等变换得到，由求出，从而得到答案.
【小问1详解】
选择①，由正弦定理可得，，
即，
所以，
又，所以，故，
又，
因此.
选择②，由正弦定理可得，，
从而可得，，
即，
又，所以，
于是， 又，
因此，.
选择③，由正弦定理可得，，
即，
得，
即，
又，所以，
得，又，
因此，.
【小问2详解】
∵
，
由可知，，所以，
从而，
因此，，
故的取值范围为.
,
故答案为：，
四 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，.
（1）求向量与的夹角的余弦值；
（2）若向量，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；
（2）根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可.
【小问1详解】
，，，则；
【小问2详解】
，，与同向的单位向量.
∴在上的投影向量，.
18.已知在中，角，，所对的边分别是，，，满足条件：______.在 ① ；②；③.这三个条件中任选 个，补充在上面的问题中，并解答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.问题：
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）选①②③，答案均为
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，由正弦定理及得到，结合，求出答案；
选②，由正弦定理及得到，结合，求出答案；
选③，由正弦定理及得到，结合，求出答案；
（2）利用三角恒等变换得到，由求出，从而得到答案.
【小问1详解】
选择①，由正弦定理可得，，
即，
所以，
又，所以，故，
又，
因此.
选择②，由正弦定理可得，，
从而可得，，
即，
又，所以，
于是， 又，
因此，.
选择③，由正弦定理可得，，
即，
得，
即，
又，所以，
得，又，
因此，.
【小问2详解】
∵
，
由可知，，所以，
从而，
因此，，
故的取值范围为.
19.如图，是正方形所在平面外一点，且平面平面，、分别是线段、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形或者三角形的中位线可得线线平行，进而可证，或者证明面面平行也可，
（2）根据面面垂直可得线面垂直，进而得到线线垂直.
【小问1详解】
法一：
取PD中点G，连接FG，AG，在PDC中，因为F、G分别是PC，PD的中点，
所以FGCD，FG=CD；
因为E是正方形ABCD边AB的中点，
所以AE//CD，AE=CD；
所以AEGF，AE=GF；
即四边形AEFG是平行四边形，
所以EF//AG，
又因为AG平面PAD，EF平面PAD，
所以EF平面PAD
法二：
延长DA交CE延长线于H，连接PH，
由于AE//CD，AE=CD，所以是的中点，是的中点，
所以EFPH，
又因为PH平面PAD，EF平面PAD，
所以EF平面PAD
法三：取CD中点I，连接EI，FI，
由于均为中点，所以,
平面,平面，
平面EFI平面PAD，
EF平面，
所以EF平面PAD
【小问2详解】
因为正方形ABCD中，BDAC，
又平面ABCD平面PAC；
平面PAC平面ABCD=AC，BD平面ABCD，
所以BD平面PAC，
因为PC平面PAC，
所以BDPC.
20. 某校共有高中生3000人，其中男女生比例约为，学校要对该校全体高中生的身高信息进行统计．
（1）采用简单随机抽样的方法，从该校全体高中生中抽取一个容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图（如下）．
身高（单位：） 频数
36
24
根据图表信息，求的值，并把频率分布直方图补充完整．
（2）按男生 女生在全体学生中所占的比例，采用分层随机抽样的方法，共抽取总样本量为200的样本，并知道男生样本数据的平均数为172，方差为16，女生样本数据的平均数为160，方差为20，估计该校高中生身高的总体平均数及方差．
【答案】（1），，，；直方图见解析；
（2）总样本平均数为，方差为52.16
【解析】
【分析】（1）由区间上的频率和频数，计算出，再由直方图中的频率计算和，结合频数分布表算出所缺区间的频率补充完整频率分布直方图.
（2）由分层抽样得男女生人数，利用已知数据和总体平均数和方差公式计算结果.
【小问1详解】
因为身高在区间上的频率为，身高在区间上的频数24，所以
所以，
，
．
所以身高在区间上频率为，
在区间上的频率为．
由此可补充完整频率分布直方图：
【小问2详解】
由分层抽样可知，样本中男生120人，女生80人，
把男生样本记为，其平均数记为，方差记为；
把女生样本记为，其平均数记为，方差记为；
把总样本数据的平均数记为，方差记为．
则总样本平均数．
由，得
同理可得．
所以总样本方差
所以估计该校高中生身高的总体平均数为167.2，方差为52.16．
21. 已知的三个角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）已知条件由正弦定理角化边，再由余弦定理求出，可得角的值；
（2）向量数量积结合余弦定理，求出，面积公式求面积；或向量数量积结合正弦定理，利用两角差的正弦公式和辅助角公式，求出，面积公式求面积.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理得
又，所以．
【小问2详解】
解法一：由平面向量数量积的定义可得，
所以，所以①，
因为，所以②，
①-②得，则，代入①得，所以，
所以
解法二：由平面向量数量积的定义可得，
因为，所以，
由，得，，
所以．
因为，又由（1）知，即，
所以．
所以，即．
所以，即．
因为，则，则，即，
则，所以为直角三角形，则．
所以．
22. 已知三棱锥，点是的外心．
（1）若，求证：；
（2）求点到平面距离的最大值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用条件，得到，再利用几何关系得到，从而得到平面，再利用线面垂直的性质即可证明结果；
（2）根据条件，利用正弦和余弦定理得到，从而得到面积的最大值，再利用等体积法，建立关系式，即可求出结果.
【小问1详解】
如图，作平面，垂足为点，
因为，所以，所以是的外心，
因为是的外心，所以与重合，所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以是等边三角形，
所以，
因为，所以，
因为，所以是等边三角形，
所以，所以，
即四边形为菱形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以．
【小问2详解】
，所以边的高为．
所以．
在中，，
由正弦定理得（为外接圆的半径），
所以．
因为，所以．
因为，
所以，所以，
当且仅当时，等号成立．
因为，
设点到平面距离为，
因为，即，
所以，
当且仅当时等号成立．喀什第二高级中学2023-2024学年高二上学期开学测试
数学试卷
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，且，则（ ）
A 4 B. -4 C. 2 D. -2
3. 某区政府为了加强民兵预备役建设，每年都按期开展民兵预备役军事训练，训练后期对每位民兵进行射击考核．民兵甲在考核中射击了8发，所得环数分别为，若民兵甲的平均得环数为8，则这组数据的第75百分位数为（ ）
A. 8 B. 8.5 C. 9 D. 9.5
4. 已知复数满足（是虚数单位），则复数（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.的三个内角分别为，，，若，则
A. B. 1 C. D.
8. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A. 该圆锥体积为 B. 该圆锥侧面积为 C. D. 的面积为2
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 若复数为纯虚数，则 D. 若，则
10. 某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：千人次）的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）
A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加
C. 每年月接待游客的增长量最多是8月
D. 每年1月至6月的月接待游客量相对同年7月至12月的月接待游客量，波动性更小
11.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（ ）
A. A与B为互斥事件 B. A与B为相互独立事件 C D.
12 已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 某校为了提升学生的中华文化素养，开设书法 对联 灯谜三个校本课程班，每位学生只报一个校本课程班，学校对高一 高二年级报名的学生人数进行统计，结果如下表．已知张华对上述三个校本课程班，采用样本量比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个总样本量为30的样本，其中对联班的学生抽取10名，则__________．
课程 年级 书法 对联 灯谜
高一 15 30
高二 45 30 10
14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是__________．
15.若样本数据的方差为3，则数据的方差为________．
16. 已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E为AA1的中点，点F 在CC1上（不与C、C1重合），三棱锥A-D1EF 的体积为__________，当F 为CC1的中点，几何体AED1FCD 的体积为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17. （10分）已知向量，.（1）求向量与的夹角的余弦值；
（2）若向量，求向量在向量上的投影向量（用坐标表示）.
18.（12分）已知在中，角，，所对的边分别是，，，满足条件：______.在 ① ；②；③.这三个条件中任选 个，补充在上面的问题中，并解答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.问题：
（1）求角A的大小； （2）求的取值范围.
19.（12分）如图，是正方形所在平面外一点，且平面平面，、分别是线段、的中点.
（1）求证：平面；（2）求证：.
20. （12分）某校共有高中生3000人，其中男女生比例约为，学校要对该校全体高中生身高信息进行统计．
（1）采用简单随机抽样的方法，从该校全体高中生中抽取一个容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图（如下）．
身高（单位：） 频数
36
24
根据图表信息，求的值，并把频率分布直方图补充完整．
（2）按男生 女生在全体学生中所占的比例，采用分层随机抽样的方法，共抽取总样本量为200的样本，并知道男生样本数据的平均数为172，方差为16，女生样本数据的平均数为160，方差为20，估计该校高中生身高的总体平均数及方差．
21. （12分）已知的三个角的对边分别为．
（1）求；（2）若，求的面积．
22. （12分）已知三棱锥，点是的外心．
（1）若，求证：；（2）求点到平面距离的最大值．
