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第4讲 二次函数与一元二次方程、不等式（基础卷）
一、单选题
1．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
2．（2023秋·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2023·高一课时练习）若不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．（2023秋·全国·高一随堂练习）下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1
6．（2023春·福建厦门·高二校考期中）已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考开学考试）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·云南红河·高二校考期中）若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
二、多选题
9．（2023春·四川宜宾·高一校考开学考试）已知正数a，b满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023秋·全国·高一随堂练习）设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，则
12．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为
C．的最小值为2 D．的最小值为
三、填空题
13．（2023春·湖南长沙·高二统考期末）已知，，且，则的最小值为 ．
14．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）已知，则的最大值为 ．
15．（2023·全国·高一课堂例题）函数的最小值为 ．
16．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
四、解答题
17．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（2023秋·高一课时练习）已知都是正数，且，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
19．（2023·全国·高一假期作业）已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
20．（2023春·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）已知集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；
(2)若成立，求a的取值范围.
21．（2023秋·高一课时练习）已知函数.
（1）若 ，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
22．（2023·高一课时练习）已知不等式的解集为．
(1)求实数，的值；
(2)解关于的不等式（其中为实数）．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】根据二次不等式的解法求解即可.
【详解】可化为，
即，即或．
所以不等式的解集为或.
故选：A
2．B
【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】化简不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
3．D
【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案．
【详解】不等式的解集为，则方程根为、，
则，解得，，
故选：D
4．B
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】∵已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，∴ab≥2，
化简可得 2，
∴ab≥8，当且仅当a＝2b时等号成立，
故ab的最小值是8，
故选：B．
5．B
【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.
【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误．
故选：B.
6．D
【分析】利用基本不等式求得的最小值判断.
【详解】解：因为正实数、满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
7．D
【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．
【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确．
可得，，，故B不正确．
可得，，，故C不正确．
故选：D．
8．B
【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a、b，即可得结果.
【详解】由题意，和是方程的两个根，
由韦达定理得：且，解得：，，
所以.
故选：B
9．AD
【分析】由基本不等式判断AD，取判断BC.
【详解】由题意可知，（当且仅当时取等号），故A正确；
取，则，故BC错误；
因为，所以（当且仅当时取等号），则（当且仅当时取等号），故D正确；
故选：AD
10．ACD
【分析】选项A，B可用作差法比较大小；选项C，D可用基本不等式求范围.
【详解】由可得，故A正确；
由可得，故B错误；
由，当且仅当时取等号，故C正确；
由，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
11．BD
【分析】A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明.
【详解】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误；
对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确；
对选项C：若，则，所以选项C错误；
对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确，
故选：BD．
12．ABD
【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确；
对于C，，则，当且仅当，即，时，故C错误；
对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确．
故选：ABD．
13．/
【分析】妙用“1”，展开使用基本不等式可得.
【详解】因为，
所以
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
14．1
【分析】直接利用基本不等式求最大值.
【详解】，则，
当且仅当即时取等号．
故答案为：
15．
【分析】令，则，化简得到，集合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，令，则，
又因为，可得，
因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
16．
【分析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可．
【详解】解：因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4，
所以，，且，
不等式可化为,则，即，
解得或．
故答案为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式可得参数范围；
（2）不等式换成以为主元，为一次不等式，这样只要和时不等式都成立即可得的范围．
【详解】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立
则关于的方程的判别式，
即，解得，所以实数的取值范围为．
（2）不等式，
可看成关于的一次不等式，又，
所以，解得且，所以实数的取值范围是．
18．(1) ；(2) .
【分析】(1) 利用1的代换将式子变形，再用基本不等式求最小值；
(2) 先将式子中的1用代换，展开整理，再用基本不等式求最小值.
【详解】(1) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为 .
(2) .
因为都是正数，所以由基本不等式得，
，
所以，当且仅当 ， 时等号成立.
所以的最小值为.
19．(1)16
(2)
【分析】（1）由，得到，进而解不等式即可求解；
（2）由，可得，再用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】（1）当时，，
即，
即，
所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为16.
（2）当时，，即，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据充分不必要条件得出集合的包含关系，根据包含关系可求答案；
（2）根据二次函数区间最值，及二次不等式恒成立可求答案.
【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，
则B是A的真子集，而不为空集，
则（等号不同时成立），解得，
即m的取值范围是.
（2）设，
则，
∵，
∴，
由题意得，即，
即a的取值范围为.
21．（1）最小值为；（2）.
【分析】（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．
【详解】解：（1）依题意得.
因为x>0，所以 .
当且仅当，即时，等号成立.
所以.
故当时，的最小值为 .
（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.
不妨设，
则只要在上恒成立.
所以 即
解得.
所以a的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
22．(1)，
(2)当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【分析】（1）根据一元二次方程的解法，可得方程的解，根据韦达定理，可得答案；
（2）代入（1）的答案，利用分解因式法，解二次不等式，可得答案.
【详解】（1）由题意，为一元二次方程，
由韦达定理，可得，解得.
（2）由（1），不等式，可得，
整理可得：，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
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第4讲 二次函数与一元二次方程、不等式（基础卷）
一、单选题
1．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
2．（2023秋·天津和平·高三耀华中学校考开学考试）设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2023·高一课时练习）若不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞0，b＞0，且a+2b＝ab，则ab的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．（2023秋·全国·高一随堂练习）下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1
6．（2023春·福建厦门·高二校考期中）已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考开学考试）如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·云南红河·高二校考期中）若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
二、多选题
9．（2023春·四川宜宾·高一校考开学考试）已知正数a，b满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023秋·全国·高一随堂练习）设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若且，则
C．若，则 D．若，则
12．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最大值为
C．的最小值为2 D．的最小值为
三、填空题
13．（2023春·湖南长沙·高二统考期末）已知，，且，则的最小值为 ．
14．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）已知，则的最大值为 ．
15．（2023·全国·高一课堂例题）函数的最小值为 ．
16．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则不等式的解集为 ．
四、解答题
17．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的不等式．
(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．（2023秋·高一课时练习）已知都是正数，且，
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
19．（2023·全国·高一假期作业）已知.
(1)当时，求的最小值；
(2)当时，求的最小值.
20．（2023春·山东泰安·高二新泰市第一中学校考阶段练习）已知集合.
(1)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；
(2)若成立，求a的取值范围.
21．（2023秋·高一课时练习）已知函数.
（1）若 ，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
22．（2023·高一课时练习）已知不等式的解集为．
(1)求实数，的值；
(2)解关于的不等式（其中为实数）．
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