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第1讲 等式与不等式性质（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·河北唐山·高二期末）已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·高一课时练习）已知且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）若，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．，若，则
C．若，则 D．，，若，则
5．（2023春·浙江金华·高一浙江省东阳市外国语学校校考阶段练习）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则<
二、多选题
7．（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若则.
B．若则.
C．若，则
D．若，则
8．（2023·全国·高一假期作业）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知,，则,的大小关系是 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是 ．
11．（2023·全国·高一假期作业）对于实数a、b、c，有下列命题：
①若a＞b，则；
②若a＞b，则；
③若a＜b＜0，则；
④若a＜b＜0，则；
⑤若a＜b＜0，则；
⑥若，则ac＜bd.
其中，假命题的序号为 .（写出所有满足要求的命题序号）
四、解答题
12．（2023·高一课时练习）（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；
（2）证明：已知，且，求证：.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.
14．（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【练提升】
一、单选题
1．（2023春·河北保定·高一保定一中校考期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论的序号为（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③
3．（2023·高一课时练习）已知a，，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．，则 D．若，则
5．（2023·全国·高三专题练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，则
C．若，则
D．若，则一定有
三、填空题
6．（2023·高一课时练习）若，，，则t的取值范围为 ．
四、解答题
7．（2023秋·高一课时练习）（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【练创新】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2023秋·高一课时练习）设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个．
三、解答题
3．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由．
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第1讲 等式与不等式性质（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·广东·高三统考学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·河北唐山·高二期末）已知p： q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·高一课时练习）已知且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）若，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．，若，则
C．若，则 D．，，若，则
5．（2023春·浙江金华·高一浙江省东阳市外国语学校校考阶段练习）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）若，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则<
二、多选题
7．（2023秋·广东深圳·高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若则.
B．若则.
C．若，则
D．若，则
8．（2023·全国·高一假期作业）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知,，则,的大小关系是 ．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是 ．
11．（2023·全国·高一假期作业）对于实数a、b、c，有下列命题：
①若a＞b，则；
②若a＞b，则；
③若a＜b＜0，则；
④若a＜b＜0，则；
⑤若a＜b＜0，则；
⑥若，则ac＜bd.
其中，假命题的序号为 .（写出所有满足要求的命题序号）
四、解答题
12．（2023·高一课时练习）（1），，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小；
（2）证明：已知，且，求证：.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知下列三个不等式：①；②；③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.
14．（2023·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【练提升】
一、单选题
1．（2023春·河北保定·高一保定一中校考期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确的结论的序号为（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③
3．（2023·高一课时练习）已知a，，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023秋·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．，则 D．若，则
5．（2023·全国·高三专题练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，则
C．若，则
D．若，则一定有
三、填空题
6．（2023·高一课时练习）若，，，则t的取值范围为 ．
四、解答题
7．（2023秋·高一课时练习）（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【练创新】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2023秋·高一课时练习）设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有 个．
三、解答题
3．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；
(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素 ，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由．
【练基础】
参考答案：
1．C
【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.
【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；
对于B，，无法判断，故B错误；
对于C，因为，，故C正确；
对于D，因为，故，即，故D错误．
故选：C．
2．A
【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.
【详解】当时，，所以，所以充分性满足，
当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
3．C
【分析】设，求出结合条件可得结果.
【详解】设，可得，
解得，，
因为可得，
所以.
故选：C.
4．C
【分析】利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，当时，，故D错误，
故选：C.
5．C
【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论.
【详解】因为，，由可得，则，即，
因此，若，，则“”是“”的充要条件.
故选：C.
6．C
【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断
【详解】对于A，若，则，所以A错误，
对于B，若，则，所以B错误，
对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误，
故选：C
7．AD
【分析】由不等式的性质，逐个判断选项.
【详解】若，则，又，则，A选项正确；
若，满足，但，不成立，B选项错误；
若，，满足，但，不成立，C选项错误；
，则，又，∴，即，D选项正确.
故选：AD
8．AC
【分析】根据不等式的性质判断A，C；利用作差法比较大小判断B，D.
【详解】解：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，由于，所以，
则，即，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，由于，则，但与的大小不确定，故D错误.
故选：AC.
9．
【分析】利用作差法直接比较大小.
【详解】解：因为,
所以
所以.
故答案为：.
10．
【分析】根据不等式的性质求得的取值范围.
【详解】由于，且，
所以，，
，
所以.
故答案为：
11．①②④⑤⑥
【分析】根据不等式的性质，结合作差法，逐一验证，可得答案.
【详解】对于①，当时，，故①错误；
对于②，当时，不等式无意义，当时，由，可得，故②错误；
对于③，由，则，，即，故③正确；
对于④，由，根据不等式的倒数性质，则，故④错误；
对于⑤，，由，则，即，，所以，故⑤错误；
对于⑥，由，根据不等式的性质，可得，故⑥错误.
故答案为：①②④⑤⑥.
12．（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）利用作差法判断即可；
（2）根据不等式的性质计算可得；
【详解】解：（1）因为，，
所以
因为，，所以，，
所以，即；
（2）因为，且，所以，，
所以，
所以，
所以；
13．可组成3个正确命题，证明见解析.
【分析】根据不等式的性质逐个分析每个命题的真假即可.
【详解】（1）对②变形：，由得②成立，∴①③②.
（2）若，则，∴①②③.
（3）若，则，∴②③①.
综上所述，可组成3个正确命题.
14．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）可知，而，即可得证；
（2）可知，而，即可得证；
【详解】（1）证明： ，
，
又，
；
（2）证明：，
，
又，
．
【练提升】
参考答案：
1．B
【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
2．B
【分析】根据数的性质以及不等式性质可判断①③；举反例可判断②，根据不等式性质可判断④，即可判断答案.
【详解】因为，故，故①正确；
不妨取 ，满足，但，故②错误；
由，可得，故③错误；
由于，则，而，
故，即，故④正确，
故选：B
3．C
【分析】利用作差法逐一判断符号即可求解.
【详解】对于A：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项A错误；
对于B：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项B错误；
对于C：，
因为，所以，，，
所以一定成立，即选项C正确；
对于D：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项D错误.
故选：C.
4．ABC
【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.
【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；
对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；
对于C选项，由于，故，故，即，正确；
对于D选项，当时，，故错误.
故选：ABC
5．CD
【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；
举反例，如，即可判断B；
若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；
利用不等式的性质即可判断D.
【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误；
对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误；
对于C，若，则，
根据“糖水不等式”， ，即，故C正确；
对于D，若，则，
所以，
所以，故D正确.
6．
【分析】设，然后求出x,y，进而根据不等式的性质求出答案.
【详解】设，则，解得．因为，，所以，即．
故答案为：.
7．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据作差法证明即可；
（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.
【详解】证明：（1）因为，，所以，。
所以，
故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.
所以.
【练创新】
参考答案：
1．B
【分析】特殊化的方法，取可判断A，取，可判断C，D,可排除A,C,D，可得答案B，也可利用不等式性质证明B正确.
【详解】对于A，取，该不等式成立，但不满足；
对于C，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；
对于D，该不等式等价于，取，，该不等式成立，但不满足；
下面证明B
法一
不等式等价于，而.
函数在上单增，故.
法二
若，则，故，矛盾.
故选：B
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，函数的单调性，反证法，属于中档题.
2．2
【分析】由作差法比较大小后判断
【详解】不妨设，，
记为①式，为②式，以此类推，
由，故①>②，
，故②>③，
，故①>④，
同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，
综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，
最多有②④或③⑥两项可同时取150，
令，
得其一组解为，
故答案为：2
3．(1)“上位点”为，“下位点”为；
(2)是，证明见解析
(3)
【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.
（2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”.
（3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值.
【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和；
（2）点是点的“下位点”，
证明：点是点的“上位点”，
又均大于， ，
，即，
所以点是点的“下位点”.
（3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，
证明：点是点的“上位点”，
均大于， ，
，
即，所以点是点的“上位点”，
同理可得，即，
所以点是点的“下位点”，
所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”．
根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立，
根据上述的结论可知，当，时，满足条件.
故：
【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键.
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