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第1讲 函数的概念及其表示（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
三、填空题
9．（2023·全国·高一假期作业）已知函数，则 .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
11．（2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
四、解答题
12．（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
13．（2023秋·高一课时练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
14．（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）已知函数求：
（1）画出函数的简图（不必列表）；
（2）求的值；
（3）当时，求取值的集合．
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·高一课时练习）已知函数 ．若，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数y的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
二、多选题
4．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
5．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
三、填空题
6．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为 则的定义域为
四、解答题
7．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
【练创新】
一、多选题
1．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
二、填空题
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是 .
三、解答题
3．（2023秋·广东·高一统考期末）定义函数.
（1）解关于的不等式：；
（2）已知函数在的最小值为，求正实数的取值范围.
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第1讲 函数的概念及其表示（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
4．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，值域为，那么函数的定义域和值域分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
三、填空题
9．（2023·全国·高一假期作业）已知函数，则 .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
11．（2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
四、解答题
12．（2023·全国·高一假期作业）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
13．（2023秋·高一课时练习）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
14．（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）已知函数求：
（1）画出函数的简图（不必列表）；
（2）求的值；
（3）当时，求取值的集合．
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则有（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·高一课时练习）已知函数 ．若，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）函数y的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，）∪（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（，+∞）
二、多选题
4．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域为
B．函数的值域为
C．函数的值域为
D．函数在上的值域为
5．（2023春·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知函数关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为R B．的值域为
C．若，则x的值是 D．的解集为
三、填空题
6．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为 则的定义域为
四、解答题
7．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
【练创新】
一、多选题
1．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考三模）已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）
A．是“封闭”函数
B．定义在上的函数都是“封闭”函数
C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数
D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数
二、填空题
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是 .
三、解答题
3．（2023秋·广东·高一统考期末）定义函数.
（1）解关于的不等式：；
（2）已知函数在的最小值为，求正实数的取值范围.
【练基础】
参考答案：
1．C
【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：C.
2．D
【分析】利用换元法求解函数解析式.
【详解】令，则，；
所以.
故选：D.
3．B
【分析】令，配凑可得，再根据求解即可
【详解】令（或），，，，.
故选；B
4．C
【分析】当时易知满足题意；当时，根据的值域包含，结合二次函数性质可得结果.
【详解】当时，，即值域为，满足题意；
若，设，则需的值域包含，
，解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
5．A
【分析】利用方程组法求解析式即可.
【详解】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故选：A．
6．C
【分析】由可求出函数的定义域，由于的图象是由的图象向左平移2个单位得到，所以其值域不变，从而可得答案
【详解】令得，即为函数的定义域，
而将函数的图象向左平移2个单位即得的图象，
故其值域不变．
故选：C．
7．AD
【分析】设，代入列方程组求解即可.
【详解】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
8．CD
【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；
对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.
故选：CD
9．9
【分析】根据函数解析式直接求解即可.
【详解】解：根据题意，
故答案为：9
10．
【分析】根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
11．
【分析】分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，对任意的，恒成立.
①当时，则有，合乎题意；
②当时，由题意可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
12．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，
（2）利用换元法或配凑法求解，
（3）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可，
（4）利用方程组法求解，用－x替换中的x，将得到的式子与原式子联立可求出.
【详解】（1）因为，所以．
（2）方法一 设，则，，即，
所以，所以．
方法二 因为，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，
解得．
13．（1）；（2）；（3）.
【分析】利用抽象函数的定义域求解.
【详解】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．
∴，
∴，
即的定义域为．
（2）由题意知中的，
∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，
∴的定义域为．
（3）∵函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为．
又，即，
∴函数的定义域为.
14．（1）图象见解析；（2）11；（3）．
【分析】（1）根据函数的解析式，结合一次、二次函数的图象，即可求解；
（2）先求得，进而得到，即可求解；
（3）根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得各段上的值域，即可取值的集合．
【详解】（1）由分段函数可知，函数的简图为：
（2）因为，所以.
（3）当时，；
当时；
当时,，
所以一当时，取值的集合为．
【练提升】
参考答案：
1．B
【分析】利用换元法即可求函数的解析式，注意新元的范围.
【详解】设，，则，
，，
所以函数的解析式为，．
故选：B.
2．D
【分析】解不等式得，将问题转化为，进而作出函数的图像，数形结合求解即可.
【详解】解：当时，，解得，
当时，，解得，
所以，当时，，
令时，或；令时，；令时，或，
所以，作出函数的图像如图，
当时，实数的取值范围是.
故选：D
3．D
【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域．
【详解】解：，
∴y，
∴该函数的值域为．
故选：D．
4．AC
【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以，
解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，，
所以，即函数的值域为，故B不正确；
对于C，令，则，，
所以，，
所以当时，该函数取得最大值，最大值为，
所以函数的值域为，故C正确；
对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，
所以函数在上的值域为，故D不正确．
故选：AC．
5．BC
【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.
【详解】函数的定义域是，故A错误；
当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；
当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；
当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．
故选：BC．
6．
【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知，的定义域为，所以对于
需满足,解得
故答案为：.
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法即可求解；
（2）设，然后结合待定系数法即可得解；
（3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案.
【详解】（1）解：令，则，
故，
所以；
（2）解：设，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
所以；
（3）解：因为①，
所以②，
②①得，
所以.
【练创新】
参考答案：
1．BC
【分析】A特殊值判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义得到都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误.
【详解】对A：当时，，而，A错误；
对B：对于集合，使，即，必有，
所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确；
对C：对于集合，使，则，
而是“封闭”函数，则，即都有，
对于集合，使，则，，
而，，...，，
所以，
即，故，一定是“封闭”函数，C正确；
对D，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需判断出其逆否命题的正误即可，
使，则，
若，则，
由解得，因为，所以，
即使，则，
满足是“封闭”函数，
故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到都有，有恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.
2．
【分析】对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.
【详解】当时，f(f(a))≤2即为，，
解得，所以；
当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.
所以f(a)≥－2，则或 ，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.
3．（1）；（2）.
【分析】（1）分类，分和两类讨论；
（2）分类，容易求解，时，还要对分类，和，这时又要考虑二次函数的对称轴．需要用分离参数法．
【详解】（1）由，得，
当时，，所以，∴；
当时，，所以，∴，
综上，不等式的解集为：；
（2）当时，，
根据题意，对于任意的恒成立，
当时，由，得，
即，①
∵，①等价于，
∴，∴，∴；
当时，由，得.
当时，∴，②
∵，②成立，等价于，
，恒成立；
当时，，∴，
∵，∴，
当，即时，，成立，所以符合；
当即 时，，，结合条件，得.
综上，或.
【点睛】本题考查分段函数性质、函数的单调性，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于难题．
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