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第2讲 函数的基本性质（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一课时练习）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023秋·江西吉安·高一江西省峡江中学校考期末）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
8．（2023秋·高一单元测试）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
9．（2023·全国·高一假期作业）若函数是奇函数，则实数a的值为 .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知是偶函数，当时，，则当时， ．
11．（2023·高一课时练习）已知函数，，则的值是 .
四、解答题
12．（2023秋·高一课时练习）已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
13．（2023秋·河南漯河·高三漯河高中校考开学考试）已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
14．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)若对恒成立，求的取值范围．
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高一假期作业）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
3．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
5．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．，且，恒成立
三、填空题
6．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考期末）已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
四、解答题
7．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知函数
(1)证明：为偶函数；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
【练创新】
一、多选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
二、填空题
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则 ．
三、解答题
3．（2023春·湖南长沙·高二宁乡一中校考期中）已知函数，（）．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．试卷第2页，共3页
试卷第1页，共1页
【练基础】
参考答案：
1．B
【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．
【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，
所以，解得．
故选：B
2．B
【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得.
【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数，
由可得，
∴，
解得.
故选：B.
3．D
【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.
方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.
方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.
【详解】［方法一］：特殊函数法
由题意，不妨设，因为，
所以，化简得．
故选：D.
［方法二］：【最优解】特殊值法
假设可取，则有，
又因为，所以与矛盾，
故不是不等式的解，于是排除A、B、C．
故选：D.
［方法三］：直接法
根据题意，为奇函数，若，则，
因为在单调递减，且，
所以，即有：，
解可得：.
故选：D.
【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；
方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；
方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．
4．C
【分析】根据函数的定义域，结合函数的单调性求解即可.
【详解】∵函数是定义在上的减函数，且，
∴，解得.
故选：C
5．B
【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将.
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，又由，得，所以，所以，所以，故的周期为4，所以．
故选:B．
6．D
【分析】根据的解析式，求得其单调性和奇偶性，再利用函数性质求解不等式即可.
【详解】对，其定义域为，且，故为上的奇函数；
又当时，，其在单调递减；
当时，，其在单调递减；
又是连续函数，故在上都是单调减函数；
则，即，
则，解得.
故选：D.
7．ABD
【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时的解析式求得时的解析式，进而判定．
【详解】由得，故正确；
当时，，且存在使得，
则时，，，且当有,
∴在上有最大值为1，故正确；
若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；
若时，，则时，，，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
8．AC
【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解.
【详解】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
9．1
【分析】利用奇函数的性质进行求解.
【详解】若是奇函数，则有.
当时，，则，
又当时，，所以，
由，得，解得a=1.
故答案为：1.
10．
【分析】根据偶函数的性质计算即可
【详解】由，则，且函数是偶函数，故当时，
故答案为：
11．
【分析】因为是奇函数，由奇函数的性质可求出的值，进一步可求出的值.
【详解】是奇函数
.
故答案为: .
12．（1）；（2）3．
【分析】（1）设，，代入求解，化简求解系数．
（2）将二次函数配成顶点式，分析其单调性，即可求出其最值．
【详解】（1）设，，则
，
∴由题，恒成立
∴，，得，，，
∴.
（2）由（1）可得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
∴.
13．(1)；
(2)单调递增，证明见解析.
【分析】（1）由题可得即可求出，得到的解析式；
（2）根据单调性的定义即可判断证明.
【详解】（1）由题意，得，即,
解得：，．故．
（2）方法一：在上单调递增．
证明：，，且，则．
由，得，，，
所以，即．故在上单调递增．
方法二：在上单调递增．
证明：，，且，则．
由，得，，所以．故在上单调递增．
14．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令，得到，即可求得的值；
（2）令，得到，进而得到，结合函数奇偶性的定义，即可求解.
（3）根据题意，把对恒成立，转化为对恒成立，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，函数满足：对任意都有成立
令，则，所以．
（2）解：由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
令，可得，
因为，所以
所以函数为奇函数.
（3）解：因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
因为是上的单调递增函数，所以，即，
即对恒成立，
因为函数为单调递增函数，所以，
所以，即实数的取值范围是.
【练提升】
参考答案：
1．A
【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案.
【详解】由函数为奇函数，可得，
所以，
所以，化简得恒成立，
所以，即,
经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；
故选:A．
2．C
【分析】先用分离常数法得到，由单调性列不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】解：根据题意，函数，
若在区间上单调递减，必有，
解可得：或，即的取值范围为，，，
故选：C．
3．D
【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.
【详解】，在上单调递减，又为偶函数，
，，，解得：或，
的解集为.
故选：D.
4．AC
【分析】根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称，以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，
又，即关于对称，故B不正确；
所以，即，
所以，
所以是以为周期的周期函数，
因为在区间上，有，
所以在上单调递增，
因为，即，
所以的图象关于点成中心对称，故A正确；
因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，故C正确；
因为，故D错误；
故选：AC
5．BC
【解析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】的定义域为关于原点对称,
，所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A不正确，选项B正确；
，因为，所以，所以，
，所以，可得的值域为，故选项C正确；
设任意的，
则，
因为，，，所以，
即，所以，故选项D不正确；
故选：BC
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法
（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义作出结论.
即取值---作差----变形----定号----下结论.
6．
【分析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】由题知，，
所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以，解得，
因此，，
由单调递增，单调递增，
易知函数单调递增，
故等价于
等价于
即，解得．
故答案为：
7．(1)证明见解析
(2)为上的增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；
（2）首先得到的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】（1）证明：的定义域为，
又，故为偶函数；
（2）解：，所以为上的增函数，
证明： 任取，，且，
∵，∴，又，
∴，即，
∴为上的增函数；
（3）解：不等式，
等价于
即，
∵为上的增函数，
∴，解得，故不等式的解集为.
【练创新】
参考答案：
1．ABD
【分析】令可推导得，结合的值可知A正确；令可推导得，结合可推导知B正确；根据单调性可知C错误；当时，根据的对称中心及其在时的值域可确定时满足，知D正确.
【详解】对于A，令，则，即，
又，；
令得：，，，，
则由可知：当时，，A正确；
对于B，令，则，即，
，
由A的推导过程知：，，B正确；
对于C，为上的增函数，
当时，，则；当时，，则，
不存在非零实数，使得任意，，C错误；
对于D，当时，；
由，知：关于，成中心对称，则当时，为的对称中心；
当时，为上的增函数，，，，
；
由图象对称性可知：此时对任意，，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据已知关系式确定的对称中心，同时采用赋值的方式确定所满足的其他关系式，从而结合对称性和其他函数关系式来确定所具有的其他性质.
2．0
【分析】根据题意可得关于对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出的值，最后可求出的值.
【详解】解：因为为偶函数，
所以＝，即＝，
所以函数关于对称，所以＝，
又因为为奇函数，
所以＝－，
所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，
即＝－，
所以＝－，＝－＝，
即＝，
所以的周期为4，
在＝－中令 ，得，所以 ，即，
又因为，所以，即，所以，
所以当时，，
所以，
所以，
，
，
，
所以则0.
故答案为：0.
3．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；
（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；
（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.
【详解】（1）当时，由得，
即，解得或．
所以不等式的解集为或．
（2）由得，
即不等式的解集是．
所以，解得．
所以的取值范围是．
（3）当时，．
又．
①当，即时，
对任意，．
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，．
所以解得，
③当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.
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第2讲 函数的基本性质（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023秋·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一课时练习）设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设，已知函数是定义在上的减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023秋·江西吉安·高一江西省峡江中学校考期末）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
8．（2023秋·高一单元测试）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
9．（2023·全国·高一假期作业）若函数是奇函数，则实数a的值为 .
10．（2023·全国·高三专题练习）已知是偶函数，当时，，则当时， ．
11．（2023·高一课时练习）已知函数，，则的值是 .
四、解答题
12．（2023秋·高一课时练习）已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
13．（2023秋·河南漯河·高三漯河高中校考开学考试）已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
14．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的单调增函数满足：对任意都有成立
(1)求的值；
(2)求证：为奇函数；
(3)若对恒成立，求的取值范围．
【练提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高一假期作业）若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考开学考试）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．，， B．
C．，， D．，，
3．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023春·四川绵阳·高一三台中学校考阶段练习）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
5．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的值域为
D．，且，恒成立
三、填空题
6．（2023春·辽宁鞍山·高二校联考期末）已知定义域为的奇函数，则的解集为_______．
四、解答题
7．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知函数
(1)证明：为偶函数；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
【练创新】
一、多选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的单调递增的函数满足：任意，有，，则（ ）
A．当时，
B．任意，
C．存在非零实数，使得任意，
D．存在非零实数，使得任意，
二、填空题
2．（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则 ．
三、解答题
3．（2023春·湖南长沙·高二宁乡一中校考期中）已知函数，（）．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．试卷第2页，共3页
试卷第1页，共1页
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