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第3讲 幂函数与函数的应用（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·北京·高三专题练习）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
二、多选题
7．（2023·全国·高一假期作业）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
8．（2023·全国·高一假期作业）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
三、填空题
9．（2023·高一课时练习）已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 .
10．（2023秋·广东广州·高一校联考期末）已知幂函数在上单调递减，则 .
11．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是 ．
四、解答题
12．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
13．（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）已知幂函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围.
14．（2023秋·广东·高三统考学业考试）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【练提升】
一、单选题
1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一假期作业）牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
二、多选题
4．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
5．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数图象关于对称
B．函数与函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
三、填空题
6．（2023·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为 ．
四、解答题
7．（2023秋·湖北十堰·高一房县第一中学校考阶段练习）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【练创新】
一、多选题
1．（2023春·云南红河·高一统考期末）函数的定义域为R，为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）．
A．在上单调递增
B．
C．若关于x的方程在区间上的所有实数根之和为，则
D．函数有2个零点
二、填空题
2．（2023春·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知定义在R上的函数，满足，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，不等式恒成立，给出如下结论：①是奇函数；②；③在上单调递增；④不等式的解集为，其中正确的结论是 （填序号）
3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围 ．
【练基础】
参考答案：
1．C
【分析】根据幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】，因为函数是实数集上的增函数，
所以由可得：，即，
故选：C
2．A
【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.
【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，
所以解得：.
故选：A.
3．D
【分析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性
【详解】设幂函数的解析式为，
将点的坐标代入解析式得，解得，
∴，函数的定义域为,是非奇非偶函数，且在上是增函数，
故选：D.
4．C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
5．D
【分析】将化简为，求出的值域，进而可求得的值域.
【详解】解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．
6．B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
7．BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
8．ABD
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得，即可得到，从而判断可得；
【详解】解：因为幂函数在上是增函数，
所以，解得，所以，
所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以在上单调递增；
故选：ABD
9．
【分析】根据幂函数的定义和性质求解.
【详解】解：是幂函数，
，解得或，
若，则，在上不单调递减，不满足条件；
若，则，在上单调递增，满足条件；
即.
故答案为：
10．
【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．
【详解】由题意，解得或，
若，则函数为，在上递增，不合题意．
若，则函数为，满足题意．
故答案为：．
11．
【解析】由分段函数的单调性结合指数函数的单调性可得，即可得解.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
12．（1）；（2）或.
【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；
（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，
又是增函数，即，，则；
（2）因为为增函数，所以由可得，解得或
的取值范围是或.
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；
（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，幂函数，
可得，即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
14．(1)
(2)70万盒
【分析】（1）根据题意分和两种情况求解即可；
（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式为
（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200．
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
【练提升】
参考答案：
1．A
【分析】由幂函数在上是减函数，可得，由充分、必要条件的定义分析即得解
【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；
若幂函数在上是减函数，
则，解得或
故必要性不成立
因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件
故选：A
2．A
【分析】，由结合函数的递减区间可得结果.
【详解】，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
3．C
【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.
【详解】根据题意，，即
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即
两边同时取对数：
解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.
4．ACD
【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.
【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，
所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，
因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，
当时，，故C正确，
当时，，
又，所以，D正确．
故选：ACD.
5．ABC
【分析】由函数图像的对称性，根据关系式求出对称中心和对称轴进行判断既可.
【详解】若，，则函数图象关于对称，故A正确；
若点在上，则点在的图象上，
且点与点关于点对称，则函数与函数的图象关于对称，故B正确；
设，
则，
故函数的图象关于对称，故C正确；
令，
则不恒为0；
故函数的图象不关于对称，故D错误.
故选：ABC.
6．2
【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.
【详解】解：因为函数是幂函数，
则有，解得或，
当时，函数在上单调递增，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，符合题意.
所以的值为
故答案为：
7．(1);
(2)100（百辆），2300万元.
【分析】（1）根据利润收入-总成本，即可求得（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）分段求得函数的最大值，比较大小可得答案.
【详解】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
【练创新】
参考答案：
1．BD
【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件可以推出周期性，奇偶性，A选项根据奇偶函数的性质结合周期性判断，B选项，由于函数的周期性可将待求表达式分组求和，CD选项需借助画出的图像，数形结合来处理.
【详解】由于为偶函数，则关于对称，则，故，
结合可得，，用取代，得到，
用取代，得到，于是的周期为，
由可得，结合可得，故为奇函数.
A选项，根据幂函数的性质，在上递增，根据奇函数性质，在上递增，
又关于对称，则在上递减，又的周期为，故在上递减，A选项错误；
B选项，奇函数的定义域为，故，由于的周期为，故，
由，取得到，取，得到，
故，由于的周期为，故
C选项，先作出在上的图像，
若时，横坐标交点之和为，
若时，横坐标交点之和为
若，根据的对称性可得，交点的横坐标之和为，
故，除了交点之外，根据对称性，其余四个点的横坐标之和为：，
设的横坐标为，则，解得，当时，，，
根据周期性，，C选项错误；
D选项，在同一坐标系下作出和的图像如下，由图像可知有两个交点，故有2个零点，D选项正确.
故选：BD
【点睛】本题综合考察了幂函数的性质，抽象函数中，点对称，轴对称，周期性，奇偶性的推导，由此可作出函数图像，数形结合是解题的关键.
2．①④
【分析】根据函数的图象关于点中心对称，求得的对称中心，即可得判断①；构造，判断其奇偶性，单调性，零点，根据单调性，判断的正负，进而判断的值即可判断②；对利用单调性定义判断，可知无法判断单调性，即可判断③；分段判断函数在各区间上函数值的正负，进而判断的解集，代入中，解出的取值范围即可判断④．
【详解】对①，由题知的图象关于点中心对称，
则将图象向左平移一个单位后得，所以关于中心对称，
因为定义域为R，所以为奇函数，故①正确；
对②，记，
当时， ，即，
则当时， 即，所以在上单调递减，
因为，
所以是在R上为偶函数，所以在上单调递增，
因为，
则，即，则，故②错误；
对③，，，
，
当时，，
因为在上单调递增，所以，所以，
则与0的大小关系不确定，故无法确定在上的单调性，故③错误；
对④，因为，
是在R上为偶函数，且在上单调递增，
所以当，单调递减，，而，所以，
当，单调递减，，而，所以，
当，单调递增，，而，所以，
当，单调递增，，而，所以，
所以不等式的解为：或，解得或，所以④正确．
故答案为：①④．
3．
【分析】根据题意得到，再计算值域为，得到，计算得到答案.
【详解】幂函数则或
当时，在上单调递减，舍去；
故，当时：
故；
综上所述：
故答案为：
【点睛】本题考查了幂函数，函数值域，将存在问题和恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.
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第3讲 幂函数与函数的应用（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且
5．（2023·全国·高三专题练习）函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·北京·高三专题练习）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
二、多选题
7．（2023·全国·高一假期作业）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
8．（2023·全国·高一假期作业）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
三、填空题
9．（2023·高一课时练习）已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 .
10．（2023秋·广东广州·高一校联考期末）已知幂函数在上单调递减，则 .
11．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是 ．
四、解答题
12．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）若幂函数在其定义域上是增函数.
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围.
13．（2023秋·辽宁铁岭·高一铁岭市清河高级中学校考期末）已知幂函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围.
14．（2023秋·广东·高三统考学业考试）吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【练提升】
一、单选题
1．（2023秋·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
2．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一假期作业）牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（ ）（参考数据：，，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
二、多选题
4．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．当时， D．当时，
5．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则函数图象关于对称
B．函数与函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
三、填空题
6．（2023·高一课时练习）幂函数在上单调递减，则的值为 ．
四、解答题
7．（2023秋·湖北十堰·高一房县第一中学校考阶段练习）世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【练创新】
一、多选题
1．（2023春·云南红河·高一统考期末）函数的定义域为R，为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）．
A．在上单调递增
B．
C．若关于x的方程在区间上的所有实数根之和为，则
D．函数有2个零点
二、填空题
2．（2023春·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知定义在R上的函数，满足，函数的图象关于点中心对称，且对任意的，不等式恒成立，给出如下结论：①是奇函数；②；③在上单调递增；④不等式的解集为，其中正确的结论是 （填序号）
3．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围 ．
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