《第1章全等三角形》解答题 训练 （含答案）2023-2024学年苏科版八年级数学上册

2023-2024学年苏科版八年级数学上册《第1章全等三角形》
解答题培优提升专题训练（附答案）
1．如图，已知，．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
2．如图，在RtABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．
(1)求∠AOE得度数；
(2)求证：AC=AE+CD．
3．如图：四边形中，，，，．动点P从B向C以的速度运动，动点Q由C向D运动．
(1)若P、Q运动速度相等，运动1秒后，试判断、的数量关系，并说明理由；
(2)在P、Q运动过程中，若与全等，求Q点运动速度；
4．已知中，，，点M为直线上任意一点，过点C作交于点D，在上取一点N使，连接
(1)如图，M、N在线段上，求证：；
(2)若M、N分别在、的延长线上时，试画出图形，并说明（1）中的结论是否成立？
5．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
6．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：；
（2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：，
（3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论．
7．如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，到点C停止，速度为，设运动时间为t ．
(1)如图①，当t ＝ 时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，． 在的边上，若另外有一动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，到点C停止． 在两点运动过程中的某一时刻，恰好使与全等，求点Q的运动速度．
8．（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　 　；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
9．在中，，．将一个含45°角的直角三角尺按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在边的中点处．将直角三角尺绕点D旋转，设交于点N，交于点M，示意图如图所示．
(1)【证明推断】求证：；小明给出的思路：若要证明，只需证明即可．请你根据小明的思路完成证明过程；
(2)【延伸发现】连接，，如图所示，求证：；
(3)【迁移应用】延长交于点P，交于点Q．在图中完成如上作图过程，猜想并证明和的位置关系．
10．如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)如图1，若，求线段的长的取值范围；
(3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值．
11．如图1、在△ABC中，E、D是BC边上的点，且AE是∠BAD的平分线，∠CAE+∠BEA=180°
(1)若∠CAD=25°，∠C=38°，求∠DAE的度数
(2)当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想．
(3)如图2，在（2）的条件下，过D作DF⊥AE，垂足为F，交AB于G，如果，请直接写出四边形AFDC的面积．
12．已知是四边形内一点，且，，是的中点.
(1)如图，连接，，若，求证：；
(2)如图，连接，若，求证：；
(3)如图，若，，垂足为，求证：点，，在同一条直线上.
13．如图，，且，，且
(1)如图1，连接、，求证：；
(2)如图2，求证：
(3)如图3，经过A点与交于G点，且于F点．求证：G为的中点．
14．（1）如图1，，求的长度.
（2）如图2，，探索的数量关系，并证明.
（3）如图3，在中，，则______.
15．如图1，在等边三角形中，于于与相交于点O．
(1)求证：；
(2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：．
(3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：三条线段之间的数量关系，并证明．
16．如图①，在中，AB=12cm，BC=20cm，过点作射线．点从点出发，以4cm/s的速度沿匀速移动；点从点出发，以acm/s的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动，连接、，设移动时间为t(s)．
(1)点、从移动开始到停止，所用时间为　　s；
(2)当与全等时，
①若点、的移动速度相同，求的值；
②若点、的移动速度不同，求的值；
(3)如图②、当点、开始移动时，点同时从点出发，以3cm/s的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
17．已知，在中，．
(1)_________°；
(2)如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作，连接和，若，求证：；
(3)如图2，M为射线上一点，N为射线CA上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证：．
18．如图，是经过顶点的一条直线，，，分别是直线上两点，且．
[数学思考]
(1)若直线经过的内部，且，在射线上．
请解决下面两个问题：
①如图1，若，，则　 ，　 ；（填“”、“”或“”）
②如图2，若，当与之间满足 　 　时，能够使得①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论．
(2)[问题拓展]如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要证明）．
19．（1）如图1，，E是的中点，平分，求证：平分．
（2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交于B、D，请猜想三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交于B、D点，且B、D两点都在的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
20．综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图，与都是等腰直角三角形，其中，，，且点D在延长线上，连接．求证．
(1)独立思考：请解答王老师提出的问题．
(2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
“如图，连接，过A作交于F，探究线段与之间的数量关系，并证明．”
(3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究，将绕点A旋转，使点E在延长线上，点D在延长线上，提出新的问题，请你解答．
“如图，当点E在延长线上，点D在延长线上，连接，过B作且，连接交延长线于H，若，求的长．”
参考答案
1．（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：连接，如图所示：
由（1）的证明，得，
∴，，，
∴，
在和中，
∵，
∴（），
∴，
在和中，
，
∴（），
∴．
2．（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴ , ，
∵是的外角，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
3．（1）解：；理由如下：
∵P、Q运动速度相等，
当运动1秒后，，
∴cm，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵与全等，
∴设运动时间为t，Q的运动速度为，
①当时，
则有：，
∴；
②当时，，
∵，
∴cm，
则cm，
解得：s，
则cm，
∴；
4．（1）证明：如图，作，交的延长线于G，交于O．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：（1）中的结论成立．
理由：如图，作，交的延长线于G，交于O．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
5．解：（1）如下图，延长，使得，则，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，可得：，
即，
∵，
∴，
∴，
∴边上的中线的取值范围为：；
（2）且，证明如下：
如下图，延长，使得，延长与交于点H，
由（1）可易证，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，且．
6．（1）证明：如图1中，延长到G，使，连接．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，延长至M，使，连接．
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：．
证明：如图3，在上截取，使，连接．
∵，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
7．（1）解：①当点在上时，如图
若的面积等于面积的一半；则，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
②当点在上时，如图
若的面积等于面积的一半；则，即点为中点，
此时，点移动的距离为，
移动的时间为：秒，
故答案为：或；
（2）解：①当时，即，对应顶点为与，与，与；
如图：
此时，，，
点移动的速度为，
②当时，即，对应顶点为与，与，与；如图所示：
此时，，，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好使与全等，
点的运动速度为或．
8．解：（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，
∴(SAS)，
∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，
∴(SAS)，
∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，
∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCH+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，
∴(SAS)，
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，
∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF= ∠ADC，
∴∠EDF=∠FDH，
∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，
∴(SAS)，
∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，
∴EF=AF+EC．
9．（1）证明：在中，∵，，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，且，
∴，
又∵是直角三角尺，
∴，即，
∴
在和中
∴，
∴；
（2）证明：∵
∴，，
∴，且由于是含45°直角三角尺，
∴，
∴
即
在和中
∴，
∴；
（3）解：作图正确（如图所示）
猜想：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴．
10．解：（1），，
，
平分，
，
；
（2）如图1，过点作，交的延长线于，
，，
点为中点，
，
，
，，
在中，，，
，
；
（3）如图2，延长，交于点，
，，，
，
，，
，
，
，
，
当时，有最大值，即有最大值，
的最大值．
11．解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）（2），理由如下：
在AB上截取，连接ME，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）（3）连接GE，
∵AE平分，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵AE是GD的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点C作交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．（1）证明：在和中，
，
（SSS），
，
，
；
（2）证明：延长到点，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
（SAS），
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（SSS），
，
，
，
；
（3）证明：连接，并延长到，使，连接，
由得，
，
，
，
在和中，
，
（SAS），
，
，
，
，
，
点在同一条直线上．
13．解：（1）∵，，
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
（2）
作交的延长线于M，作
∴
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴
∵，
∴
∴
（3）
作交的延长线于M，作
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
∴
在和中，
∴
∴
∴G为的中点．
14．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴；
（2），证明如下：
∵，
∴，
∴∠，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图：在△ABC内部作交于F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴平分，平分，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（3）解：．理由如下：连接，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
16．（1）解：点的运动时间（秒，
故答案为：5；
（2）解：①点、的移动速度相同，
，
，
，
当时，与全等，
则有，解得．
②点、的移动速度不同，
，
当，时，两个三角形全等，
运动时间，
，满足题意．
（3）解：若点、的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时．
若点、的移动速度相同，则，，
或，
解得（舍弃）或，
综上所述，满足条件的的值为2.5或．
17．解：（1）∵，
又∵，
∴
（2）证明：如图1中，过点C作交的延长线于T，连接．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，∴
（3）由（1）得
过点A作，交延长线于点Q，设与交点为H，如图，
∵AQ⊥AM，PC⊥BM，
∴
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∵CM＝AN，
∴
∵
∴
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴．
∴．
18．（1）解：①∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：，．
②在图2中，当时，能够使得①中的两个结论仍然成立，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴．
19．解：（1）如图1，过E作于F，
∵，平分，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴平分；
（2）如图2，过E作于F，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴A，
同理，
∵，
∴；
（3）成立，如图3，在上截取，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（1）证明：如图，∵，
∴．即．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：，证明如下：
证明：如图，过E作交延长线于M．
∵．
∴．
∵．
∴，
∴．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵．
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）解：如下图，过G作交延长线于点N．
∵，
∴，
∴，
又∵．
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．