2023-20-24八年级第一学期入学测试数学卷（原卷版）
一．选择题（共11小题）
1．随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．纳米（nm）是一种长度单位，1nm为十亿分之一米．海思麒麟990处理器使用7nm工艺制造，其中7nm用科学记数法可表示为（ ）
A．7×10﹣8m B．0.7×10﹣8m C．7×10﹣9m D．0.7×10﹣9m
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
B．同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6
D．用长度分别为8cm、7cm、15cm的三根小木棒摆成一个三角形
4．下列运算正确的是（ ）
A．2x+2y＝4xy B．a2 a3＝a6 C．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2 D．4a2÷a＝4a
5．下列说法错误的是（ ）
A．4的算术平方根是2 B．是2的平方根
C．﹣1的立方根是﹣1 D．﹣3是的平方根
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形任意两边之差小于第三边
B．三角形的一条角平分线将三角形分成两个面积相等的三角形
C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高都在三角形内部
9．若3a÷9b＝27，则a﹣2b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
10．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．2 B． C． D．
11．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
二．填空题（共6小题）
12．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是 ．
13．一个角的余角的度数为30°，则这个角的补角的度数为 ．
14．一个等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，则它的周长为 cm．
15．若x﹣1与x+7是一个数的平方根，则这个数是 ．
16．学校开设劳动课，规划围成如图所示的长方形ABCD的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为16米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x的关系式是 （不要求写出自变量的取值范围）．
17．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一点，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，若S△ABC＝12，则PE+PD＝ ．
三．解答题（共6小题）
18．计算：
（1）； （2）；
（3）． （4）﹣+3；
（5）．
20．先化简，再求值；x（x+2y）﹣（x+1）2+2x，其中．
21．阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据．
已知：如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B．CE⊥AD交AD的延长线于点E．
求证：CE＝CB．
证明：∵AD＝CD（已知），
∴∠DAC＝∠DCA（ ）；
∵AB∥CD（已知），
∴ （两直线平行，内错角相等）；
∴∠DAC＝ （ ）；
∴AC平分∠EAB（ ）；
∵CE⊥AE， （已知），
∴CE＝CB（ ）．
22．如图表示甲步行与乙骑自行车（在同一条直线路上同向行驶）行走的路程S甲，S乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：
（1）乙出发时，乙与甲相距 千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 小时；
（3）乙从出发起，经过 小时与甲相遇；
（4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？
23．【初步感知】
（1）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．
求证：△ABD≌△ACE；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为： ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： ；
【拓展应用】
（3）如图3，在等边△ABC中，AB＝3，点P是边AC上一定点且AP＝1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．2023-20-24八年级第一学期入学测试数学卷（解析版）
一．选择题（共11小题）
1．随着科技的进步，我国新能源汽车发展迅猛．下列新能源汽车品牌图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．纳米（nm）是一种长度单位，1nm为十亿分之一米．海思麒麟990处理器使用7nm工艺制造，其中7nm用科学记数法可表示为（ ）
A．7×10﹣8m B．0.7×10﹣8m C．7×10﹣9m D．0.7×10﹣9m
【解答】解：7nm用科学记数法表示为7×10﹣9．
故选：C．
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
B．同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个
C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6
D．用长度分别为8cm、7cm、15cm的三根小木棒摆成一个三角形
【解答】解：A、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
B、同一平面内三条直线相交，交点的个数为3个，是随机事件，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不超过6，是必然事件，符合题意；
D、用长度分别为8cm、7cm、15cm的三根小木棒摆成一个三角形，是不可能事件，不符合题意．
故选：C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．2x+2y＝4xy B．a2 a3＝a6
C．（﹣3pq）2＝﹣6p2q2 D．4a2÷a＝4a
【解答】解：A、2x与2y不能合并，故A不符合题意；
B、a2 a3＝a5，故B不符合题意；
C、（﹣3pq）2＝9p2q2，故C不符合题意；
D、4a2÷a＝4a，故D符合题意；
故选：D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．4的算术平方根是2 B．是2的平方根
C．﹣1的立方根是﹣1 D．﹣3是的平方根
【解答】解：A、4的算术平方根是2，故A正确，与要求不符；
B、是2的一个平方根，故B正确，与要求不符；
C、﹣1的立方根是﹣1，故C正确，与要求不符；
D、＝3，3的平方根是±，故D错误，与要求相符．
故选：D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、2+3＝5，故A不符合题意；
B、6﹣＝5，故B不符合题意；
C、2×3＝12，故C不符合题意；
D、2÷＝2，故D符合题意；
故选：D．
7．端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽，
∴P（红豆粽）＝＝．
故选：B．
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形任意两边之差小于第三边
B．三角形的一条角平分线将三角形分成两个面积相等的三角形
C．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高都在三角形内部
【解答】解：A、三角形任意两边之差小于第三边，正确，故A符合题意；
B、三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，角平分线不一定将三角形分成两个面积相等的三角形，故B不符合题意；
C、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，故C不符合题意；
D、锐角三角形的三条高都在三角形内部、钝角三角形的两条高在三角形的外部，直角三角形的两条直角边是两条高，故D不符合题意．
故选：A．
9．若3a÷9b＝27，则a﹣2b的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
【解答】解：∵3a÷9b＝27，
∴3a÷32b＝3a﹣2b＝33，
则a﹣2b＝3．
故选：A．
10．下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：A、2能与合并，故A不符合题意；
B、＝2能与合并，故B不符合题意；
C、＝3不能与合并，故C符合题意；
D、＝3能与合并，故D不符合题意；
故选：C．
11．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为（ ）
A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm
【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA＝DC，AE＝CE＝3cm，
∵△ABD的周长为10cm，
∴AB+BD+AD＝10cm，
∴AB+BD+DC＝10cm，即AB+BC＝10cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝10+2×3＝16（cm）．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
12．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是 ② ．
【解答】解：当点P在AD上时，△ABP的底AB不变，高增大，所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大；
当点P在DE上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小；
当点P在FG上时，△ABP的底AB不变，高不变，所以△ABP的面积S不变；
当点P在GB上时，△ABP的底AB不变，高减小，所以△ABP的面积S随着时间t的减小．
故选②．
故答案为：②．
13．一个角的余角的度数为30°，则这个角的补角的度数为 120° ．
【解答】解：∵一个角的余角的度数是30°，
∴这个角的补角的度数是90°+30°＝120°，
故答案为：120°．
14．一个等腰三角形的两边长分别为2cm，4cm，则它的周长为 10 cm．
【解答】解：分两种情况讨论
①腰长为4时，三边为4、4、2，满足三角形的性质，周长＝4+4+2＝10cm；
②腰长为2cm时，三边为4、2、2，
∵2+2＝4，
∴不满足构成三角形．
∴周长为10cm．
故答案为：10．
15．若x﹣1与x+7是一个数的平方根，则这个数是 16 ．
【解答】解：∵x﹣1与x+7是一个数的平方根，
∴x﹣1+x+7＝0，
解得：x＝﹣3，
则这个数是16，
故答案为：16．
16．学校开设劳动课，规划围成如图所示的长方形ABCD的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为16米，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x的关系式是 y＝﹣x+8 （不要求写出自变量的取值范围）．
【解答】解：根据题意得2y+x＝16，
∴y＝（16﹣x），即y＝﹣x+8．
故答案为：y＝﹣x+8．
17．如图，△ABC中，AB＝AC＝4，P是BC上任意一点，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，若S△ABC＝12，则PE+PD＝ 6 ．
【解答】解：连接AP，
由图可得，S△ABC＝S△ABP+S△ACP，
∵PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，S△ABC＝12，
∴，
∴PE+PD＝6．
故答案为：6．
三．解答题（共6小题）
18．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）
＝12+12+18
＝30+12；
（2）
＝2÷2
＝；
（3）
＝+++
＝．
19．计算下列各题：
（1）﹣+3；
（2）．
【解答】解：（1）﹣+3
＝﹣+
＝；
（2）
＝﹣
＝﹣
＝﹣1
＝﹣．
20．先化简，再求值；x（x+2y）﹣（x+1）2+2x，其中．
【解答】解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
＝x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x
＝2xy﹣1；
当，y＝﹣15时，
原式＝2××（﹣15）﹣1
＝﹣2﹣1
＝﹣3．
21．阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据．
已知：如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B．CE⊥AD交AD的延长线于点E．
求证：CE＝CB．
证明：∵AD＝CD（已知），
∴∠DAC＝∠DCA（ 等边对等角 ）；
∵AB∥CD（已知），
∴ ∠DCA＝∠CAB （两直线平行，内错角相等）；
∴∠DAC＝ ∠CAB （ 等量代换 ）；
∴AC平分∠EAB（ 角平分线的定义 ）；
∵CE⊥AE， CB⊥AB （已知），
∴CE＝CB（ 角分线上的点到这个角两边的距离相等 ）．
【解答】解：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA（等边对等角），
∵AB∥CD（已知），
∴∠DCA＝∠CAB（两直线平行，内错角相等），
∴∠DAC＝∠CAB（等量代换），
∴AC平分∠EAB（角平分线的定义），
∵CE⊥AE，CB⊥AB（已知），
∴CE＝CB（角分线上的点到这个角两边的距离相等），
故答案为：等边对等角；∠DCA＝∠CAB；∠CAB；等量代换；角平分线的定义；CB⊥AB；角分线上的点到这个角两边的距离相等．
22．如图表示甲步行与乙骑自行车（在同一条直线路上同向行驶）行走的路程S甲，S乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：
（1）乙出发时，乙与甲相距 10 千米；
（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为 1 小时；
（3）乙从出发起，经过 3 小时与甲相遇；
（4）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗？为什么？
【解答】解：（1）由图象可知，乙出发时，乙与甲相距10千米．
故答案为：10；
（2）由图象可知，走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为＝1.5﹣0.5＝1（小时），
故答案为：1；
（3）图图象可知，乙从出发起，经过3小时与甲相遇．
故答案为：3；
（4）不一样．理由如下：
乙骑自行车出故障前的速度＝15千米/小时．
与修车后的速度＝10千米/小时．
所以乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度不一样．
23．【初步感知】
（1）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．
求证：△ABD≌△ACE；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为： 平行 ；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为： EC＝AC+CD ；
【拓展应用】
（3）如图3，在等边△ABC中，AB＝3，点P是边AC上一定点且AP＝1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∠BAC＝∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC
即∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）平行，EC＝AC+CD，
由（1）得△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，CE＝BD，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∵CE＝BD，AC＝BC，
∴CE＝BD＝BC+CD＝AC+CD；
（3）有最小值，
在AC上截取PC＝DM，连接EM，
在△EPC和△EDM中，
，
△EPC≌△EDM（SAS），
∴EC＝EM，∠CEM＝∠PED＝60°，
∴△CEM是等边三角形，
∴∠CED＝60°，
即点E在∠ACD角平分线上运动，
作点P关于CE对称点P′，
连接BP′与CE交于点C，
此时点E与点C重合，
BE+PE≥BC+PC＝5，
∴最小值为5．
