(共17张PPT)
2.1.1 认识一元二次方程（1）
学习目标
1.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程.
2.体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
幼儿园某教室矩形地面的长为８m，宽为５m．现准备在地面中间铺设一块面积为18m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
你怎么解决这个问题
数学与生活
解：如果设所求的宽为xm ,那么铺设的地毯长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：
你能化简这个方程吗
（8－2x）
（5－2x）
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
5
x
x
x
x
（8－2x）
（5－2x）
8
18m2
数学化
教师点拨
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， ．
你能化简这个方程吗
X＋1
X＋2
X＋3
X＋4
根据题意，可得方程：
.
(X＋1)2
(X＋ 2)2
＋
(X＋3)2
(X＋4)2
＝
＋
X2
＋
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m.
如果设梯子底端滑动X m，那么滑动后梯子底端距墙 m;
根据题意，可得方程：
你能化简这个方程吗
6
（X＋6）
72＋(X＋6)2＝102
xm
8m
10m
7m
6m
10m
数学化
1m
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
x２+(x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２
即 x2 － 8x － 20＝0.
（ x＋６）２＋７２＝１０２
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有 的 ，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为
二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
一元二次方程概念
一个未知数x
整式方程
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)
注意：
(1)一元二次方程的一般形式一般按未知数的降幂排列
(2)确定一元二次方程的各项及各项系数时，一定不要漏掉系数前面的符号
1、下列方程哪些是一元二次方程 如果是，写出其一般形式。
（7）mx2 ＋ 2x－1＝0
随堂练习
2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方 程 一般形式 二次项
系 数 一次项
系 数 常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x -1)=6
4-7x2=0
3x2－5x＋1＝0
x2 ＋ x－8＝0
3
－5
＋1
1
＋1
－8
3
－5
1
1
1
－8
－7
0
4
或7x2 － 4＝0
7
0
－ 4
－7x2 ＋4＝0
3.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k _______ 时，是一元二次方程．
4. 关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 时，是一元二次方程．,当k 时，是一元一次方程．
≠3
≠±1
＝－1
5.把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：将原方程化简为：
9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)
9x2＋12x＋4＝
9x2
5x2 ＋ 36 x － 32＝0
二次项系数为 ，
5
＋ 36
－ 32
一次项系数为 ，
常数项为 .
5
36
－ 32
4 x2 －24x ＋36
－ 4 x2
＋ 24x
－ 36
＋ 12x
＋ 4
＝0
解：设竹竿的长为x尺,则门的宽 度为 尺,长为 尺,依题意得方程：
6．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
4尺
2尺
x
x－4
x－2
数学化
(x－4)
(x－2)
１．根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,宽为(x＋2) m，依题意得方程：
(x＋5) (x＋2) ＝54
即
x2 ＋ 7x－44 ＝0
2
5
x
x
X＋5
X＋2
当堂检测
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
x (x-1) ＋ x(x+1) ＋ (x-1) (x+1) ＝242.
x2 －8 1＝0.
即
解：设中间的整数为x，则另两个整数分别为x-１, x＋1，依题意得方程：
思路点拨：由平均增长率公式 a(1＋x)n ＝b 即得．
解：设这两年的年平均增长率为 x，则有
5(1＋x)2＝7.2，整理得 5x2＋10x－2.2＝0.
3、学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册，求这两年的年平均增长率(只列方程)．
解：设平均每次降价的百分率为 x，
则第一次降价后为 300(1－x)，
第二次降价后为 300(1－x)(1－x)
即 300(1－x)2＝180.
4、某市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒 300 元下降到 180元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少(只列方程) (共10张PPT)
2.1.2 认识一元二次方程（2）
学习目标
1.体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2.理解一元二次方程的解的估算。
幼儿园某教室矩形地面的长为８m，宽为５m．现准备在地面中间铺设一块面积为18m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
数学与生活
估算一元二次方程的解
解：如果设所求的宽为xm , 根据题意得
你能求出x吗 怎么去估计x呢？
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
即2x2-13x+11 = 0.
（1）x可能小于0吗 可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由.
（2）你能确定x的大致范围吗？
因此,x取值的大致范围是:0估算一元二次方程的解
在0(3)完成下表(取值计算,逐步逼近):
由此看出,可以使2x2 -13x+11的值为0的x=1.故可知花边宽为1m.
(4)你还有其他求解的方法吗？
x … …
2x2 -13x+11 … …
0.5 1 1.5 2
5 0 -4 -7
知识的升华
1.一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设矩形的宽为xm，则长为(x＋2) m, 根据题意得：
x (x＋2) ＝120.
即
x2 ＋ 2x－120 ＝0.
x
x+2
120m2
根据题意,x的取值范围大致是0可列表如下:
x
8 9 10 11
-40 -21 0 23
x2+2x-120
所以x=10,x+2=12. 因此苗圃的长为12m，宽为10m。
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
解：如果设梯子底端滑动x m，根据题意得
（2）你能猜得出x取值的大致范围吗
72+(x+6)2=102
即 x2+12x-15=0
（1）小明认为底端滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？可能是2m吗？可能是3m吗？
（3）x的整数部分是几 十分位是几
估算一元二次方程的解
可列表如下：
因此 x的整数部分是1;十分位是1.
x … …
x2+12x-15 … …
0 1 2 3
-15 -2 13 30
x … …
x2+12x-15 … …
1.1 1.2 1.3 1.4
-0.59 0.84 2.29 3.76
所以，1进一步计算：
解：如果设梯子底端滑动x m，根据题意得
72+(x+6)2=102
即 x2+12x-15=0
所以，1.1知识的升华
1、一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在踞水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员踞水面的高度h(m)满足关系: h＝10+2.5t-5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作.
5＝10+2.5t-5t2.
2t2 –t－2＝0.
即
解：根据题意得
可列表:
故可知运动员完成规定动作最多不超过1.3s.
t
2t2-t-2
0 1 2 3
-2 -1 4 13
所以1进一步计算：
所以1.2t
2t2-t-2
1.1 1.2 1.3 1.4
-0.68 -0.32 0.08 0.52
本节课你又学会了哪些新知识呢？
1、学习了估算一元二次方程
ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）
近似解的方法；
2、知道了估算步骤:
先确定大致范围;
再取值计算,逐步逼近.
想一想,
有没有便捷的方法去求方程中的未知数呢
小结
