第二章 对称图形—圆 小结与思考 (第1课时) 课件（46张PPT）

(共46张PPT)
第2章 · 对称图形—圆
小结与思考(1)
学习目标
1. 整理本章所学知识，构建本章知识框架 ；
2. 理解并掌握圆的相关概念和性质，与圆有关的位置关系.
知识框架
圆
圆的定义及其相关概念
圆的形成性定义（动态定义）
圆的定义
圆的集合性定义（静态定义）
圆的相关概念
圆的基本性质
圆的对称性
轴对称性
中心对称性
垂径定理
弧、弦、圆心角的关系定理
圆周角定理及推论
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.同弧或等弧所对的圆周角相等.
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
圆内接四边形的对角互补.
连半径，作弦心距，构造直角三角形
知识框架
圆
与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
点在圆外：d>r点在圆上：d=r 点在圆内：d三角形的外接圆
圆内接四边形
相离：d>r
相切：d=r
相交：d切线的性质与判定
切线长定理
三角形的内切圆
与圆有关的计算
正多边形的有关计算
弧长和扇形的面积
利用垂径和勾股定理在直角三角形和等腰三角形中计算
弧长和扇形的面积
圆锥的侧面积和全面积
有公共点，连半径，证垂直；
无公共点，作垂直，证半径；
见切点，连半径，得垂直
直角三角形
与圆有关的作图
考点分析
例 （2020·江苏常州）如图，AB是☉O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若☉O的半径是3，则MH长的最大值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
考点一 与圆的有关概念
C
Ｂ
A
O
∟
H
M
A
考点分析
1.（2021·凉山州）已知P是☉O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为( )
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
B
2.（2021·江苏常州）如图，BC是☉O的直径，AB是☉O的弦．若∠AOC=60°，则∠OAB的度数是( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
C
C
O·
Ｂ
A
巩固练习
3. 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的( )
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D． 3倍
B
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
·
O
C
D
A
B
P
∟
①AB是⊙O的直径， ②AB⊥CD于点P
可推得
③CP＝DP，
①
②
③
④
⑤
知识回顾
黄金三角形
d
a
r
求弦的长度时，常利用垂径定理和勾股定理来求.
考点二 垂径定理
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
①CD过圆心
②CD⊥ AB于点E
可推得
③AE=BE，
知识回顾
考点分析
例 如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，且 AC⊥BD，OF⊥AB，垂足分别为 E、F. OF与CD有怎样的数量关系？为什么？
C
Ｂ
A
O
∟
E
D
∟
F
G
巩固练习
1.（2022·盐城）求证：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧.
·
O
A
B
C
D
M
∟
巩固练习
2.如图，BC是⊙O的弦，半径OA⊥BC，点D在⊙O上，且∠ADB =25°.求∠AOC的度数.
C
Ｂ
A
O
∟
D
巩固练习
3.如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点E，OF⊥CD，垂足为F，AE =1，BE=5，OF=1.求CD的长.
C
Ｂ
A
O
∟
D
F
E
1
1
5
巩固练习
4. ⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是____________.
2cm
或14cm
解：
①两条弦在圆心的同侧
②两条弦在圆心的两侧
●O
A
B
C
D
∟
●O
A
B
C
D
∟
巩固练习
5.（2020·江苏徐州）在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45°，则△ACB的面积的最大值为_______．
A
C
B
6
45°
O
M
知识回顾
考点三 弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
●
●
A
B
A'
B'
O
O'
AB＝A′B′
∠AOB ＝∠A′O′B′
AB＝A′B′
∠AOB ＝∠ A′O′B′
AB＝A′B′
∠AOB＝∠ A′O′B′
考点分析
C
Ｂ
A
O
D
E
F
G
C
Ｂ
A
O
D
E
F
G
考点分析
(2)设G是BD的中点，在⊙O上是否存在点P(点B除外)，使得 PG=PF？为什么？
P
∟
巩固练习
C
Ｂ
A
O
D
E
∴∠AOC=∠COD=∠DOE.
∵∠AOC =40°，
∴∠COD=∠DOE=∠AOC =40°.
∴∠BOE=180°-3×40°=60°.
巩固练习
2.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB= 2，∠BAC =30°.
在图中作弦AD，使 AD = 1，并求∠CAD的度数.
C
Ｂ
A
O
D1
D2
巩固练习
(1)求证：△BFG≌△CDG；
C
Ｂ
A
O
∟
D
E
F
G
巩固练习
(2) 若AD＝BE＝2，求BF的长.
C
Ｂ
A
O
∟
D
E
F
G
知识回顾
考点四 圆周角定理
圆周角定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论1：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
用于判断某个
圆周角是否是直角
用于判断某条弦是否是直径
90°的圆周角所对的弦是直径．
推论2：
圆内接四边形的对角互补.
考点分析
例 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O
的弦，且AF⊥BC，垂足为D. BE与CF相等吗？为什么？
C
Ｂ
A
O
∟
D
E
F
巩固练习
1.（2022·江苏淮安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是 ( )
A．80° B．100° C．140° D．160°
B
2.（2020·江苏镇江）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于 ( )
A．10° B．14° C．16° D．26°
C
Ｂ
A
O
D
O
A
Ｂ
C
D
C
图1
图2
巩固练习
3.（2021·江苏连云港）如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB=30°，∠OBC=40°.则∠OAC=______.
C
Ｂ
A
O
25°
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC上一点，过C、E、D三点的圆交AE于点F. ∠DFE与∠BAC相等吗？为什么？
图3
C
Ｂ
A
D
F
E
∟
∟
图4
相等.
由∠ECD=∠DFE，∠ECD=∠BAC，
得∠DFE=∠BAC.
5.(1)如图①，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由；
(2)如图②，点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O内，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由.
C
Ｂ
A
O
D
①
C
Ｂ
A
O
D
②
E
F
巩固练习
巩固练习
6.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D. 若AB=10，AC=6，求BC、BD的长.
C
Ｂ
A
O
D
巩固练习
7.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，且∠E=50°，∠F=30°.求∠A的度数.
C
Ｂ
A
O
D
F
E
解：∵四边形 ABCD内接于⊙O
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠E=50°，∠F=30°
∴∠ADC+∠A=150°，
∠ABC+∠A=130°.
∴∠ADC+∠ABC+2∠A=280°.
180°+2∠A=280°.
∴∠A=50°
考点五 点与圆的位置关系
知识回顾
d
d
点在圆内
点在圆上
点在圆外
O
P
P
P
●
O
P
●
O
P
●
O
P
r
r
r
d
d＜r
d=r
d＞r
点与圆的位置关系
d与r的数量关系
考点分析
例 如图在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
(1)请完成如下操作：
①以点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②利用网格，仅用直尺画出该圆弧所在圆的圆心D的位置（不用写作法，保留作图痕迹），并连接AD、CD.
A
B
C
O
D
x
y
(2)请在(1)的基础上，完成下列问题：
①点C的坐标是 ；
点D的坐标是 ；
②⊙D的半径= （结果保留根号）.
（6，2）
（2，0）
巩固练习
1. 在△ABC中， ∠C=90 °，AC=1，BC=2，M是AB的中点，以点C为圆心，1为半径作⊙C，则( )
A. 点M在⊙C上 B.点M在⊙C内
C.点M在⊙C外 D.点M与⊙C的位置关系不能确定
C
2.平面上一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为___________.
2cm或4cm
3.在公园的点O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等），现计划修建一个以点O为圆心、OA长为半径的圆形水池，要求池内不留树，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为( )
A
巩固练习
A. E、F、G B. F、G、H C. G、H、E D. H、E、F
H
A
O
G
F
E
直线与圆的
位置关系 相 交 相 切 相 离
图形
公共点个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线的距离
d与半径r的关系
知识回顾
● O
2
d
r
d＜r
● O
d
r
1
d＝r
● O
d
r
d＞r
切点
切线
0
考点六 直线与圆的位置关系
三角形内切圆和外接中的有关角
基本图形
角之间的关系
∠BOC=2∠A
知识回顾
a
b
c
1.有哪些方法可以判定直线与圆相切？
1.定义法：
2.数量关系法(d=r）
3.判定定理
l
A
l
O
l
r
d
知识回顾
2.常用辅助线添加方法:
证切线时常用辅助线添加方法：
①有交点，连半径，证垂直；
②无交点，作垂直，证相等(d=r).
有切线时常用辅助线添加方法：
有切点，连半径，得垂直
考点分析
例1 在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆.
(1)当r=_____时，⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于3；
(2)当r=_____时，⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3；
(3)随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于3的点的个数有哪些变化？求出相对应的r的值或取值范围.
O
l
∟
(1)5-3=2
5
2
3
3
(2)5+3=8
8
(3)当0当r=2时, ⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于3;
当2当r=8时, ⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3，
当r>8时, ⊙O上有且只有4个点到直线l的距离等于3.
分类讨论思想
巩固练习
1.（2023·江苏宿迁）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是______.
5
l
O
P
∟
2.（2020·江苏泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为_______．
图1
∟
a
b
O
P
H
3或5
图2
3.如图，直线AB、CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么__________秒钟后⊙P与直线CD相切.
4或8
o
A
B
D
C
P
P1
P2
E
巩固练习
例2 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．
M
N
D
O
A
B
C
证明：过点O作ON⊥CD于点N，
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC.
又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD
对角线AC上一点，
∴OM＝ON，
∴CD与⊙O相切．
┛
切线的判定和性质综合应用.
无交点，作垂直，证相等(d=r)
考点分析
巩固练习
1.如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A=∠B=30°.
BD与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
C
Ｂ
A
O
D
解：连接OD.
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=30°，
∴∠BOD=60°.
又∵∠B=30°，
∴∠BDO=90°.
∴直线BD与⊙O相切.
巩固练习
2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠BAC=2∠B，过点A的切线交OC的延长线于点D.若⊙O的半径为2，求AD的长.
C
Ｂ
A
O
D
巩固练习
3. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，且∠BAD=80°. 求∠DAC的度数.
C
A
B
O
D
∟
巩固练习
4. 如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B.
OP与CB有怎样的位置关系？为什么？
C
Ｂ
A
O
P
解：连接AB、OB.
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴PA=PB，
∵OA=OB，
∴OP⊥AB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°.
∴CB⊥AB.
∴OP∥CB.
巩固练习
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分
别为D、E、F.若BD=6，AD=4，求⊙O的半径r.
∟
C
Ｂ
A
O
F
D
E
解：连接OE、OF.设⊙O的半径为r.
∵BC、AC是⊙O的切线,
∴CE=CF，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形.
在Rt△ABC中，
∵AB=10，BC=6+r，CA=4+r，
得(6+r)2+(4+r)2=102，
∴r=2.
课堂小结
谈谈你本节课的收获是什么？