第2章一元二次方程 同步测试题（含解析）北师大版九年级数学上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》同步测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
3．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．7或8 D．8或9
4．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则（x12+2）（x22+2）的值是（　　）
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
5．已知关于的二次三项式的值恒为正，则的取值范围是（　　）
A．且 B． C． D．
6．已知是方程的两个根，则的值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm．动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm2的是（ ）
A．2秒钟 B．3秒钟 C．3秒钟或5秒钟 D．5秒钟
8．某网店销售运动鞋，若每双盈利40元，每天可以销售20双，该网店决定适当降价促销，经调查得知，每双运动鞋每降价1元，每天可多销售2双，若想每天盈利1200元，并尽可能让利于顾客，赢得市场，则每双运动鞋应降价（ ）
A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元
二、填空题（满分40分）
9．利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则mn= ．
10．关于x的一元二次方程的其中一个根是x＝1，则m的值为 ．
11．已知实数a、b满足，则 ．
12．若m是方程x2+x-1＝0的一个根，则代数式m3+2m2+2022的值为 ．
13．等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长是 ．
14．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
15．已知实数m，n分别满足等式2m2+4m+1=0，2n2+4n+1=0，则= ．
16．某种电脑病毒的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后将有81台电脑被感染，那么每轮感染中平均每台电脑会感染 台电脑，则3轮后，被感染的电脑 超过700台，(填“会”或“不会”)
三、解答题（满分48分）
17．解方程
(1)；
(2)；
(3)
18．（1）已知关于x的方程有两个相等实数根，求m的值，并求出方程的两个根；
（2）若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值是多少？另一个根是多少？
19．已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若原方程的两个实数根为、，且满足，求的值．
20．阅读材料，解答问题
材料一：已知实数，，满足，，则可将，看作一元二次方程的两个不等实数根
材料二：已知，求的值
某同学解答思路如下：
由可得
所以
(1)直接应用：已知实数，满足，，求的值
(2)间接运用：已知实数，满足，．且，求的值．
21．某商场将进货价火为元的台灯以元售出，月销售个，，月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月的销售量达到个，设，两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求，两个月的销售量月平均增长率；
(2)从月起，在月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在元至元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个．这种台灯售价定为多少时，商场月销售这种台灯获利元？
参考答案
1．解：
∴
故选：B
2．解：∵m方程的实数根，
∴，
∴，
∴
∵m，n是方程的两个实数根，
∴m+n=-1，
∴．
故选：C．
3．解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2，②a＝b两种情况，
①当a＝2，或b＝2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n+1＝0得，22﹣6×2+n+1＝0，
解得：n＝7，
当n＝7，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n＝7不合题意，
②当a＝b时，方程x2﹣6x+n+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0
解得n＝8，
当n＝8，方程的根是3，则三角形的三边分别是2，3，3，符合题意，
综上所述，n＝8，
故选：B．
4．解：由题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，
则x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝m2﹣m＝2，
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x1+x2＝﹣4，
（x12+2）（x22+2）
＝（x1x2）2+2（x1+x2）2﹣4x1x2+4，
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
5．解：设，
二次三项式的值恒为正，
且，
在函数中，且△且，
解得，且，
故选：．
6．解：∵α，β是方程x2+2017x+1=0的两个根，
∴α2+2017α+1=0，β2+2017β+1=0，α+β=-2017，αβ=1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
=（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）
=9αβ
=9，
故选：A．
7．解：设运动时间为t秒，则PB=（8-t）cm，BQ=2tcm，
依题意，得：×2t （8-t）=15，
解得：t1=3，t2=5，
∵2t≤6，
∴t≤3，
∴t=3．
故选：B．
8．解：设每双鞋应降价x元，根据题意得：
（40-x）（20+2x）=1200，
解得x1=20，x2=10，
∵尽可能让利顾客， ∴x=20．
答：每双鞋应降价20元；
故选B
9．解：x2-6x+7=0，
x2-6x=-7，
x2-6x+9=-7+9，
（x-3）2=2，
则m=3，n=2，
∴mn=3×2=6．
故答案为：6．
10．解：把x=1代入方程得：
整理得
解得
故答案为：．
11．解：设，则原方程变形为，
解得，，
∴2或-1，
∵，
∴．
故答案为：2．
12．解：∵m是方程x2+x-1＝0的一个根，
∴m2+m＝1，
∴m3+2m2+2022= m3+m2+ m2+2022
=m(m2+m) + m2+2022
=m+ m2+2022
=1+2022
=2023．
故答案为：2023．
13．解：∵x2-7x+10=0，
∴（x-5）（x-2）=0，
∴x1=5，x2=2，
∵等腰三角形的底和腰是方程的两根，
∴当腰为2时，则底为5，∵2+2 <5，此三角形不存在，∴不合题意舍去，
∴当腰为5时，则底为2，
∴这个三角形的周长是5+5+2=12；
故答案为：12．
14．解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
15．解：当m≠n时，
由于m、n是方程2x2+4x+1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=，
∴原式==6，
当m=n时，
∴原式=1+1=2，
故答案为：2或6．
16．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+(1+x)x＝81，
整理得＝81，
则x+1＝9或x+1＝﹣9，
解得＝8，＝﹣10(不符合题意，舍去)，
∴＝＝729＞700.
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台.
故答案为：8，会.
17．:解：（1）
，，
∴，
（2）
∴，
（3）
∴
∴，
18．解：（1）∵关于x的方程有两个相等实数根，
∴，即，
∴．
原方程化为：，
，
，
∴；
（2）关于x的一元二次方程有一个根为，
将代入方程可得：，
解得：，
设方程的另一根为n，
由根与系数的关系可得：，
解得：，
即另一个根为1．
19．（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
（2）解：原方程的两个实数根为、，
，，
，
，，
，，
，
，
即，
解得：．
20．（1）解：∵实数，满足，，
∴实数，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴当，
∴，
∴，
又∵，，即，
∴是一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴．
21．（1）解：设，两个月的销售量月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：，两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解法一：
设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，（不符合题意，舍去），
当时，．
答：该种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元．
解法二：
设这种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元，
依题意，得：，
整理，得，
解得，（不符合题意，舍去）．
答：该种台灯售价定为元时，商场四月份销售这种台灯获利元．