人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质 教案

《12．3角的平分线的性质》教案
教学目标
1．知识与技能
掌握角平分线的画法；应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；能够记住并证明角平分线的性质；初步会应用角平分线的性质解决问题，并了解这类题的辅助线的作法.
2．过程与方法
采用“情境引入—合作探究—启发引导—训练反馈”的方法进行本课教学内容.
3．情感、态度、价值观
通过对证明方法与思路的探究，进一步激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，养成独立思考，合作交流的良好学习习惯.
教学重难点
1．利用直尺和圆规作已知角的平分线．
2．角平分线的性质定理的理解、证明及其应用．
教学过程
1、情境引入
（1）提出问题
下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DE．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
（二）解决问题
1、要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
2、∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．(利用“边边边”定理证明)
二、授新课
（一）合作探究活动一
通过上述内容，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．(分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性)
讨论结果展示，作已知角的平分线的方法．
已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．
作法：
(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
(2)分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
(3)作射线OC．
射线OC 即为所求．
（二）合作探究活动二
做一做：拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
分析：1、第一次对折后的折痕是这个角的平分线；
2、再折一次，又会出现两条折痕，大家用尺子量量两条折痕的长度，你会发现什么？；
结论：两条折痕等长
3、按如下方法折叠，量量，PD、PE是否等长？
猜一猜：
发现PD＝PE，于是猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
证一证：
下一步我们来验证这个猜想是否正确．
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，
求证: PD=PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB．
∴∠PDO＝∠PEO=90°．
在△PDO和△PEO中，
∠PDO＝∠PEO，
∠AOC＝∠BOC，
OP＝OP，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD＝PE．
这样我们验证了我们的猜想，通过(1)明确已知和所求；(2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程．这样的步骤，我们证明了一个几何命题，得到了角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（三）角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
三、随堂练习
1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
教师板书，解释说明证明过程．
2、思考：如图所示，
要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1：20000)？(学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导)
引导学生总结出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．利用这一结论解答上题．
1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
教师板书，解释说明证明过程．
四、课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）为什么要用推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”？
（3）你是怎么找到三角形内角和定理的证明思路的？
（4） 有两个角互余的三角形是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余．
同学们要灵活运用性质，解决问题
五、教学反思
通过这节课的教学，自认为让学生动手操作的内容安排得较好，真正锻炼和培养了学生的动手操作能力；另通过层层猜想，步步递进，引导至内容重点，使得大家更能深刻认识和理解内容。