河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题（Word版含答案）

保定市部分高中2023-2024学年高二上学期开学考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则z的虚部为（ ）．
A．1 B． C． D．7
2．已知向量，，若，则（ ）．
A． B．4 C． D．1
3．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（ ）．
A． B． C． D．3
4．下列说法正确的是（ ）．
A．若一条直线与一个平面有公共点，则这条直线在该平面内
B．若平面外一条直线有两个点到该平面的距离相等，则这条直线与该平面平行
C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D，垂直于同一条直线的两个平面互相平行
5．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）．
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为，，母线长为2，则该圆台的体积为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（ ）．
A． B． C． D．
8．正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在空间直角坐标系中，已知，，，则（ ）．
A．点A关于平面对称的点是
B．点B关于x轴对称的点是
C．
D．
10．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．某地8月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（ ）．
A．众数为32 B．第80百分位数是38
C．平均数是40 D．前4天的方差比后4天的方差小
11．已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，7．现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号相同”，事件B＝“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件C＝“抽取的两个小球标号之和大于8”，则（ ）．
A．事件A与事件B是互斥事件 B．事件A与事件B是对立事件
C． D．
12．如图，在菱形中，，，将沿直线翻折成（P不在平面内），则（ ）．
A．
B．点B到直线的距离为定值
C．当与所成的角为时，二面角的余弦值为
D．当与平面所成的角最大时，三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．在中，，，，则__________．
14．在空间直角坐标系中，，，，，若四边形为平行四边形，则__________．
15．已知空间中有三点，，，则直线与的夹角的余弦值为__________；点A到直线的距离为__________．．（本题第一空2分，第二空3分）
16．已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，F为的中点，且，．以B为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A，B，D，E四点的坐标；
（2）求．
18．（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．
（1）求；
（2）若，求的面积．
19．（12分）为了解网民对某专辑的满意度，某机构从网络上随机选取了1000名网民进行问卷调查，并将问卷中的这1000人根据其满意度评分值（百分制，满意度评分值均在内）分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用分层抽样的方法从满意度评分值在，内的网民中抽出6人，再从这6人中随机抽取3人进行专访，求抽到的3人满意度评分值均在内的概率．
20．（12分）如图1，在直角梯形中，，，，，A，B分别为，的中点．将直角梯形沿，，折起，使得，，重合于点P，得到如图2所示的三棱锥．
图1 图2
（1）证明：．
（2）求点B到平面的距离．
21．（12分）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设甲、乙、丙、丁是四位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中的机会是均等的，丁每次投壶时，投中的慨率为．甲、乙、丙、丁每人每次投壶是否投中相互独立，互不影响．
（1）若甲、乙、丙、丁每人各投壶1次，求只有一人投中的概率；
（2）甲、丁进行投壶比赛，若甲、丁每人各投壶2次，投中次数多者获胜，求丁获胜的概率．
22．（12分）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，，E为棱上一点，F为的中点．
（1）若E为棱的中点，证明：．
（2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．
保定市部分高中2023-2024学年高二上学期开学考试
数学参考答案
1．B 因为，所以z的虚部为．
2．D 因为，所以，解得．
3．A
因为，所以．
设外接圆的半径为R，
因为，所以．
4．D
若一条直线与一个平面有公共点，则这条直线在该平面内或与该平面相交，A不正确．
若平面外一条直线有两个点到该平面的距离相等，则这条直线与该平面平行或与该平面相交，B不正确．
垂直于同一条直线的两条直线可能平行，异面或相交，C不正确．
垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．
5．C 因为，
所以，，共面．
6．C
因为圆台的上底面和下底面的面积分别为，，
所以该圆台上底面和下底面的半径分别为，，
所以该圆台的高为，
故该圆台的体积．
7．C
如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D．连接，，，
则，在上的投影向量是．
设上底面的半径为r，则，．
故在上的投影向量是．
8．C
取的中点M，连接（图略），
则，则，即，
故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球．
由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，
即动点P的轨迹为正方体的外接球．
取的中点N，连接（图略），
则
．
由题可知，，则，，
则．
9．ACD
点A关于平面对称的点是，A正确．
点B关于x轴对称的点是，B不正确．
，，，
，，D均正确．
10．ACD
这10天PM2.5日均值（单位：）从小到大为30，32，32，32，34，36，36，38，42，88，
所以众数为32，故A正确；
因为第80百分位数为，所以B错误；
因为平均数为，所以C正确；
因为前4天的均值为，所以前4天的方差为，
因为后4天的均值为，所以后4天的方差为，故D正确．
11．AC
事件A的所有基本事件为甲3乙3，甲4乙4，甲5乙5，共3个；
事件B的所有基本事件为甲1乙4，甲1乙6，甲2乙3，甲2乙5，甲2乙7，甲3乙4，甲3乙6，甲4乙3，甲4乙5，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙6，共12个；
事件C的所有基本事件为甲2乙7，甲3乙6，甲3乙7，甲4乙5，甲4乙6，甲4乙7，甲5乙4，甲5乙5，甲5乙6，甲5乙7，共10个．
从甲、乙两盒中各取1个小球共有25个基本事件．
因为事件A与事件B不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确；
因为，，，所以B错误；
因为事件的所有基本事件共有12个，所以，
所以，故C正确；
因为事件的所有基本事件共有6个，所以，
所以，故D错误．
12．AD
连接交于点O，连接，则，．
因为，且，均在平面内，
所以平面．
因为平面，所以，故A正确．
在中，，为变量，所以点B到直线的距离不为定值，故B错误．
连接（图略）．因为，所以与所成的角为，
当时（当时，点P与点C重合，舍去），．
易知二面角的平面角为．
在中，由余弦定理得．
因为二面角的平面角为，
所以二面角的余弦值为，故C错误．
因为与平面所成的角最大，即点P到平面的距离最大，
所以平面平面．
如图，设M为三棱锥外接球的球心，N为外接圆的圆心，连接，．
设外接球的半径为R，易知，，
所以，
所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确．
13． ．
14．
，，
因为四边形为平行四边形，所以，
所以，，则．
15．；
因为，，所以．
所以直线与的夹角的余弦值为．
因为，，所以．
因为，
所以点A到直线的距离为．
16．18
设，
则的几何意义为z在复平面内所对应的点到的距离为，
所以z所对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，
所以．
17．解：（1）依题意可得为正三角形，因为，所以，（1分）
所以，，，．（5分）
（2）因为，，（7分）
所以．（10分）
18．解：（1）因为，，所以．（2分）
因为，所以，（3分）
则，即，（4分）
所以．（5分）
（2），，．（8分）
由，，可得，．（10分）
．（12分）
19．解：（1）由，解得．（2分）
满意度评分值的平均数．（4分）
设满意度评分值的中位数为x，则，，解得，
即满意度评分值的中位数为75．（6分）
（2）这1000名网民中，满意度评分值在内的有人，
满意度评分值在内的有人．（7分）
抽取的6人中满意度评分值在内的有2人，记这2人分别为A，B，
满意度评分值在内的有4人，记这4人分别为a，b，c，d，（8分）
从6人中随机抽取3人的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种．（10分）
其中3人满意度评分值均在内的情况为，，，，共4种，（11分）
所以抽到的3人满意度评分值均在内的概率为．（12分）
20．（1）证明：在图1中，，，
所以在图2中，，．（2分）
因为，所以平面（3分）
又平面，所以．（5分）
（2）解：在图1中，由题可知，．
由，得，．（6分）
在图2中，，，，，
所以，（8分）
所以．（9分）
，（10分）
设点B到平面的距离为d，由，得，（11分）
解得，即点B到平面的距离为．（12分）
21．解：设甲、乙、丙、丁各自在一次投壶中投中分别记为事件A，B，C，D，
则，．（1分）
（1）设只有一人投中为事件E，
则
，（3分）
．（6分）
（2）若甲投中0次，则丁至少投中1次；若甲投中1次，则丁投中2次．（8分）
设丁获胜为事件M，
则．（12分）
22．（1）证明：连接，，，．
在中，E，F分别为，的中点，所以为的中位线，
所以．（1分）
因为平面，平面，所以．
因为为菱形，所以．
因为，且，均在平面，
所以平面．（3分）
因为平面，所以，所以．（4分）
（2）解：在菱形中，，所以．
如图，以D为坐标原点，以，的方向分别为y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，．
设，（5分）
设平面的法向量为，
则，
令，得．（6分）
在中，，，可得．
点E到平面的距离．（8分）
因为三棱锥的体积为，
所以，
所以．（9分）
设平面的法向量为，
则，令，得，（10分）
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．（12分）