高二年级开学考试数学试卷 10．下面四个结论正确的是（ ）
考试范围：选择性必修一第一章 第二章 2.1----2.3 A．已知向量 a 9, 4, 4 ,b 1, 2, 2 ，则 a在b上的投影向量为 1,2,2
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分.在每小题只有一项是符合题目要求的．）
1 1 1
1．已知直线 x my 3 0的倾斜角为30 ，则实数m的值为（ ） B．若对空间中任意一点O，有OP OA OB OC，则 P, A,B,C四点共面6 3 2
A 3 3
． 3 B． C．1 D． C．已知 a,b,c 是空间的一组基底，若m a c，则 a,b,m 也是空间的一组基底
3 2
2．已知 A(4,0) 到直线 4x 3y a 0的距离等于 3，则 a的值为（ ） 2D．若直线 l的方向向量为 e 1,0,3 ，平面 的法向量 n 2,0, ，则直线 l
3
A． 1 B． 13或 19 C． 1或 31 D． 13
11．下列结论不正确的是（ ）．
3．已知两个向量 a 2, 1, 2 ，b 6,m,n ，且 a∥b，则m n的值为（ ） A．过点 A 1,3 ，B 3,1 的直线的倾斜角为30
A．1 B．3 C．5 D．9
B．直线 3 m x 4y 3 3m 0 m R 恒过定点 3, 3
4．不论 k为任何实数，直线 (2k 1)x (k 3) y (k 11) 0恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）
5
A． ( 2,3) B． (2,3) C． (2, 3) D． ( 2, 3) C．直线 x 2y 4 0与直线2x 4y 1 0之间的距离是 2
1
5．若直线 y x 2k 1与直线 y x 2的交点在第一象限，则实数 k的取值范围是（ ） D．已知 A 2,3 ， B 1,1 ，点 P在 x轴上，则 PA PB 的最小值是 5
2
5
A ,
1 2 1B , C
5 1
, 2 1 ． ． ． D． , 12．如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA1 3AB 6,E,F 分别是 AB1， B1C的中点，则（ ） 2 2 5 2 2 2 5 2
6．设点 A(2, 3) B( 3, 2)，若直线 l过点 P(1,1)且与线段 AB相交，则直线 l的斜率 k的取值范围是（ ） A． EF //平面 ABCD
k 3 3 1 3 3A． 或 k 4 B． k 或 k C． 4 k D． k 4 B． AF 14
4 4 4 4 4
mx ny 2 A 2,2 m n 1 2 C．直线 AF与平面
ADD A 141 1所成角的正弦值为7．若直线 过点 ，其中 ， 是正实数，则 的最小值是（ ）
m n 7
D．直线 AF与平面 ADD A 5所成角的正弦值为
A．3 2 B C
9 D 5 1 1．3 2 2 ． ． 3
2
8．已知a 2,3,1 ，b 1, 2, 2 ，则 a在b上的投影向量为（ ） 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.)
2 2 r r
A． 2b B． 2b C． b D． b 13．已知向量 a 1,1,0 ，b 1,0, 2 ，且 ka b与2a b互相垂直，则 k的值是 .3 3
二、多选题(每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分， 14．已知直线 l1 : 2ax y 1 0与直线 l2 : a 1 x ay 2 0垂直，则实数 a的值为 ．
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)
15．已知M (4, 1)，若点 P是直线 l : y 2x 3上的任意一点，则 PM 的最小值为 ．
9．已知直线 l1 : ax 3y 4 0, l2 : x a 2 y a2 5 0，则（ ）
1 1
16．如图所示，已知正四面体 ABCD中， AE AB，CF CD，
4 4
A．若 a 1，则 l1的一个方向向量为 3, 1 B．若 l1∥l2，则 a 1或 a 3
则直线DE和 BF所成角的余弦值为 .
C．若 l1 l
3
2，则 a D．若 l1不经过第二象限，则a 02
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四、解答题(本题共 6小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.答案必须写在 20.(满分 12分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，AA1 底面 ABC，AB BC，AB BC AA1 2，M ,N
相应题号方框内，超出答案区域不给分.)
分别为 AB1， AC的中点．
17.(满分 10分）已知 ABC的三个顶点是 A 1,2 ,B 1,4 ,C 4,5 ．
(1)求证：MN //平面 BCC1B1；(2)求直线 AB与平面 AMN所成角的正弦值．
(1)求BC边的高所在直线 l1的方程；
(2)若直线 l2过点C，且点 A,B到直线 l2的距离相等，求直线 l2的方程．
4
18.(满分 12分）直线 l过点 P , 2 ，且与 x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于 A，B两点，O为坐标 21.(满分 12分）如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD, AD∥BC, AD 2BC, ABC是等边三角
3
形， PA AB 1.
原点.
(1)求证：平面 PCD 平面PAC；(2)求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.
(1)若 OA OB 7，求直线 l的方程； (2)当 AOB的面积为 6时，求直线 l的方程.
22．如图，三棱锥 P ABC,PA PB 3, AB AC 4, BAC (0 π)，平面 PAB 平面 ABC，点M
19.(满分 12分）如图，在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M 为 BC1的中点，E1，F1分别在棱 A1B1， 为线段 PC上的动点．
C D B E 1 AB D F 11 1上， 1 1 1 1， 1 1 C D ． (1)若点M 为 PC的中点时 AM AB，求 BC的长；4 4 1 1
(2)当
π
M BM ABC 165BE DF 时，是否存在点 使得直线 与平面 所成角的正弦值为 (1)求线段 AM 的长． (2)求 1与 1所成角的余弦值． 3 33
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{#{QQABBY6UogCAAAJAABgCEQWiCAEQkBGCCIgGQFAEIAABiQFABAA=}#}高二年级开学考试数学答案 19．【详解】（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
uuur
A(1,0,0) M 1 ,1, 1 AM 1 1 一、单选题（每小题 5 分，共 40 分.在每小题只有一项是符合题目要求的．） 则 ， ， ,1, ， 2 2 2 2
1-5．ACBBA 6-8．ABD 1 2AM 12 1
2 6 6
所以 ，即线段 AM的长为 .
二、多选题(每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5分， 2 2 2 2
部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分) B(1,1,0) E 1, 3 ,1 （2） ， 1 ，D(0,0,0) F
， 1 0,
1 ,1
4 4
，
9．ACD 10．ABC 11．AC 12．ABC 3 1 1 1
所以 BE1
1, ,1 (1,1,0) 0, ,1
，DF1 0, ,1
(0,0,0) 0, ,1 ，
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 4 4 4 4
7 3 12 5 4 BE
17 17
1 ，a DF ．13． 14． a 0或 15． 16． 4 15 2 13 45 1 1 15
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.答案必须写在 所以 BE1 DF1 0 0 1 1 ， 4 4 16
相应题号方框内，超出答案区域不给分.) 15
5 4 1 所以 cos BE ,DF
BE1 DF1 16 15 ．
17．【详解】（1）因为 kBC ，所以 BC边的高所在直线 l 5
1 1
1的斜率为 ， BE1 DF 17 17 174 1 5 1 4 4
所以 BC边上高所在直线为 y 2 5 x 1 即5x y 7 0． 15
所以， BE1与DF1所成角的余弦值为 ．17
（2）因为点 A,B到直线 l2的距离相等，所以直线 l2与 AB平行或通过 AB的中点，
l 4 2①当直线 2与 AB平行,所以 kl kAB 1，所以 l2 : y 5 x 4 ，即 x y 9 0． 20．【详解】（1）连接CB1，由于M ,N分别为 AB1， AC的中点，2 1 1
②当直线 l2通过 AB的中点D 0,3 k
5 3 1 1
，所以 CD ，所以 l2 : y 3 x，即 x 2y 6 0． 所以MN //CB1，由于MN 平面 BCC1B1，CB1 平面 BCC1B1 , 所以MN //平面 BCC B .4 0 2 2 1 1
综上：直线 l2的方程为 x y 9 0或 x 2y 6 0． （2）由于 AA1 底面 ABC， BB1 //AA1，所以 BB1 底面 ABC
BC, AB 底面 ABC，所以 BB1 BC,BB1 AB，由于 AB BC，所以 BC, AB,BB1两两相互垂直，
x y
18．【详解】（1）设直线 l的方程为 1（ a 0，b 0），（直线 l与坐标轴的交点位于正半轴）
a b 以 B为原点，建立如图所示空间直角坐标系， A 0,2,0 ,C 2,0,0 ,B1 0,0,2 ，
4
由题意知， a b 7 ①. 因为直线 l过点 P , 2
4 2
，所以 1 ②.
3 3a b AC 2, 2,0 ,AB1 0, 2,2 ，
a 7
a 4 3 设平面 AMN，即平面 ACB1的法向量为 n x, y, z ，
联立①②，解得 或 ，所以直线 l的方程为3x 4y 12 0或6x 3y 14 0
b 3
.
b 14
3 n AC 2x 2y 0
则 ，故可设 n 1,1,1 .
a 4 a 2 n AB 2y 2z 01 1
（2）由题意知， ab 6即 ab 12 ③，联立②③，解得 b 或 3 ，2 b 6 BA n 2 3
设直线 AB与平面 AMN所成角为 ， 则 sin .
所以直线 l的方程为3x 4y 12 0或3x y 6 0 . BA n 2 3 3
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21．【详解】（1） PA 平面 ABCD,CD 平面 ABCD, PA CD . 22.【详解】（1）在三棱锥 P ABC中， PA PB 3，取 AB的中点O，连接OP，则OP AB，
在 ACD中， AC 1, AD 2, CAD 60 , CD 3， 而平面 PAB 平面 ABC，平面 PAB 平面 ABC AB，OP 平面 PAB，则OP 平面 ABC，
在平面 ABC内过O作Oy AB，则Oy 平面 PAB，于是OB,Oy,OP两两垂直，
AC 2 CD2 AD2 , AC CD
以O为原点，以射线OB,Oy,OP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图，
又 PA AC = A,PA、AC 平面 PAC \CD^平面PAC，
而 AB AC 4, BAC (0 π)，则 B(2,0,0), A( 2,0,0),P(0,0, 5)，
CD 平面 PCD，所以平面 PCD 平面 PAC .
（2） 取BC的中点 E，连接 AE， C( 2 4cos , 4sin , 0)，线段 PC中点M ( 1 2cos , 2sin ,
5 )，
2
则 AE, AD, AP两两互相垂直，以A为坐标原点， 于是 AB (4,0,0), AM (1 2cos , 2sin , 5 )，由 AM AB，得 AB AM 4(1 2cos ) 0，
2
AE, AD, AP所在直线分别为 x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系.
cos 1解得 ，而0 π，则 sin 1 cos2 3 ，即C( 4,2 3,0)，
2
2
则 A 0,0,0 ,P 0,0,1 ,C 3 1 3 , , 0 ,B ,
1
, 0
2 2 2 2
，
所以 BC ( 4 2) 2 (2 3) 2 4 3 .
π
AP 0,0,1 , AC 3 ,
1 ,0 ,BC 0,1,0 ,PC 3 , 1 , 1 （2）由（1）知，当 时，点C(0,2 3,0)，PC (0,2 3, 5)，
2 2
. 3
2 2
由M 为线段 PC上的动点，得 PM tPC (0, 2 3t, 5t)，0 t 1，即点 P(0,2 3t, 5(1 t))，
AP m
0,
设平面PAC的一个法向量为m x, y, z ，则
AC m 0, 则 BM (2, 2 3t, 5(1 t))，显然平面 ABC的法向量 n (0,0,1)，令直线 BM与平面 ABC所成的角为 ，
z 0, sin | cos n, BM | | n BM | 5(1 t) 165 则 t
1
m 1, 3,0 | n || BM | 2 2 33 ，解得 ，即点
M 为 PC的中点，
所以 3 1 令 x 1，得 . 1 4 12t 5(1 t) 2
x y 0, 2 2
M PC BM ABC 165所以当点 为 的中点时，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
PBC n
r
x, y, z 33设平面 的一个法向量为 ，
BC n
y 0,
0,
则 所以 3 1 令 x 2，得 n 2,0, 3 .
PC n 0,
x y z 0,
2 2
记平面PAC与平面PBC的夹角为 ，
则 cos 2 7 cos m,n ，
1 3 4 3 7
7
即平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为 .
7
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