课件13张PPT。 2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？实际问题 要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识．在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理． 问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5点击图片演示动画 问题二：在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？ 分类计数原理 分类计数原理 完成一件事，有 类办法，在第1类办法中有 种不同的方法，在第2类办法中有 种不同的方法，…，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法． 问题三：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法 ？ 这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地． 这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有：3×2＝6种不同的走法． 问题四：在由电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有几种？
分步计数原理 分步计数原理 完成一件事，需要分成 类办法，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，…，做第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．分类计数原理与分步计数原理有什么不同？ 不同点：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 问题： 相同点：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。练习①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；
⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等． ⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数； ④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数； ③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数； 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ 例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ 例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 小结 分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终．要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系． 课件12张PPT。引例 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人有3种方法； 第2步，确定参加下午活动的同学，只能从余下的2人中选，有2种方法． 根据分步计数原理，共有：3×2＝6 种不同的方法．解决这个问题，需分2个步骤：引例 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？ 引例根据分步计数原理，共有：4×3×2＝24种不同的排法． 解决这个问题，需分3个步骤： 第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法； 第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法； 第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法． 问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的挑法？ 引例 由此可以写出所有的排列：
abc abd acb acd
adb adc bac bad
bca bcd bda bdc
cab cad cba cbd
cda cdb dab dac
dba dbc dca dcb 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 排列的定义中包含两个基本内容：
一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志． 根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同．排列定义 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列． 例题 写出从a、b、c三个元素中取出两个元素的全部排列． 解：所有排列是：
ab ac bc ba ca cb例题 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的机票？试写出所有情况．起点站终点站飞机票北京上海广州上海广州北京广州北京上海北京上海北京广州上海北京上海广州广州北京广州上海讨论题 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？讨论题点击图片进入flash动画演示，点击空白处进入幻灯片演示跳过下一页 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？1 1 21 41 31 2 31 2 4{{{{1 3 21 3 41 4 21 4 33{3 13 23 4{{{3 1 23 1 43 2 13 2 43 4 13 4 22{2 12 32 4{{{2 1 32 1 42 3 12 3 42 4 12 4 34{4 14 24 3{{{4 1 24 1 34 2 14 2 34 3 14 3 2讨论题 练习1．下列问题中哪些是排列问题？如果是在题后括号内打“√”，否则打“×”．练习 （1）20位同学互通一封信，问共通多少封信？ （ ）
（2）20位同学互通一次电话，问共通多少次？ （ ）
（3）20位同学互相握一次手，问共握手多少次？ （ ）
（4）从e，π，5，7，10五个数中任意取出2个数作为对数的底数与真数，问共有几种不同的对数值？ （ ）
（5）以圆上的10个点为端点，共可作多少条弦？ （ ）
（6）以圆上的10个点为起点，且过其中另一个点的射线共可作多少条？ （ ） 练习2．在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果．练习 解：选举过程可以分为两个步骤．
第1步选正班长，4人中任何一人可以当选，有4种选法；
第2步选副班长，余下的3人中任一人都可以当选，有3种选法．
根据分步计数原理，不同的选法有：
4 ×3＝12（种）．其选举结果是：
AB AC AD BC BD CD
BA CA DA CB DB DC 排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．小结 由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列． 课件10张PPT。排列、组合、二项式定理排列、组合、二项式定理知识结构网络图：排列与组合二项式定理基本原理排列组合排列数公式组合数公式组合数的两个性质二项式定理二项式系数的性质基础练习两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，
第一类办法中有m1种不同的方法，
第二类办法中有m2种不同的方法…，
第n类办法中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，
做第一步中有m1种不同的方法，
做第二步中有m2种不同的方法……，
做第n步中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.1.排列和组合的区别和联系：从n个不同元素中取出m个元
素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元
素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即： (a+b) n=
（n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定
理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的 ，
其中 （r=0,1,2,……,n）叫做 ，
叫做二项展开式的通项，
通项是指展开式的第 项，
展开式共有 个项.
展开式二项式系数r+1n+1二项式定理（公式）性质3：性质复习性质3：性质复习性质1：在二项展开式中，与首末两端等距离
的任意两项的二项式系数相等.性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一
项的二项式系数最大；如果二项式的
幂指数是奇数，中间两项的二项式系
数最大；
性质3：性质4：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系
数的和等于偶数项的二项式系数和.1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，
①从中任取一本，有多少中不同的取法？
②从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x,y)的不同个
数有多少？练习16+5=116×5=305×5=25 练习2
?? 1.计算： ① = ， ② = ， =
③ = ，④ = ， ⑤ = ， = 1n151556561617002.用排列数表示下列各式：
①
②
③24!1.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？
2.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？
练习33.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重
复数字的正整数1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 .练习43.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是……………………………………（ ）
A.4032 B.-4032 C.126 D.-126
C课件14张PPT。杨辉三角和二项式系数性质10.4 二项式定理杨辉三角《九章算术》杨辉杨辉三角《详解九章算法》中记载的表1．“杨辉三角”的来历及规律 杨辉三角展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 杨辉三角点击图片可以演示“杨辉三角”课件二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点．二项式系数的性质2．二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式
得到．图象的对称轴：二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由于：所以 相对于 的增减情况由 决定． 二项式系数的性质（2）增减性与最大值 由： 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 可知，当 时，二项式系数的性质（2）增减性与最大值 （3）各二项式系数的和 二项式系数的性质在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式． 例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。内容小结课件13张PPT。 （1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l个红球，设摸到一个球是白球的事件为 ，摸到一个球是黑球的事件为 ，问 与 是互斥事件呢，还是对立事件？ （2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件 ，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件 ．问 与 是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？ （3）在问题（2）中，若记事件 与事件 同时发生为 ，那么 与 及 有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？ 这就是说，事件 （或 ）是否发生对事件 （或 ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件 ，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件 ．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．1．独立事件的定义 事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念．1．独立事件的定义“互斥”与“相互独立”辨析 两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响． 一般地，如果事件 与 相互独立，那么 与 ， 与 ， 与 也都是相互独立的．2．独立事件同时发生的概率的计算公式 从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果，于是从两个坛子里各摸出1个球，共有5×4种等可能的结果，表示如下： （白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑）
（白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑）
（白，白） （白，白） （白，黑） （白，黑）
（黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑）
（黑，白） （黑，白） （黑，黑） （黑，黑） 在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有3×2种．因此，从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球的概率． 另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率：从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率：由 ，我们看到: 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积． 一般地，如果事件 相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：2．独立事件同时发生的概率的计算公式 3．典型例题 例1 一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况．记“第一个取出的是白球”为事件 ，“第二个取出的是白球”为事件 ．试问 与 是不是相互独立事件？ （1） 与 是对立事件；
（2） 与 是互斥事件；
（3） 与 是相互独立事件；
（4） 与 是相互独立事件． 例2 如果事件与事件是互斥事件，下列四个命题中哪些是正确的？为什么？ 例3 制造一种零件，甲机床的正品率是0.9，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中各任抽1件．
（l）两件都是正品的概率是多少？
（2）恰有1件是正品的概率是多少？知识小结 两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．知识小结 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的． 相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．课件12张PPT。组合问题 有5本不同的书：
（1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，有几种不同的分法？
（2）取出4本给甲，有几种不同的取法？
问题（1）中，书是互不相同的，人也互不相同，所以是排列问题． 问题（2）中，书不相同，但甲所有的书只有数量的要求而无“顺序”的要求，因而问题（2）不是排列问题．复习问题1：什么叫做排列？排列的特征是什么？问题2：什么叫做排列数？它的计算公式是怎样的？ 引例引例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 从3名同学中选出2名，不同的选法有3种：
甲、乙 乙、丙 丙、甲 所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和乙、甲是同一种选法． 引例引例2：从不在同一条直线上的三点
中，每次取出两个点作一条直线，问可以得到几条不同的直线？ 根据直线的性质，过任意两点可以作一条直线，并且只能作一条直线，所以过 两点只能连成一条直线，因此可以得到三条直线： 、 、 ，直线 与 直线是一条直线，这也就是说，“把两点连成直线”时，不考虑点的顺序． 引例总结 以上两个引例所研究的问题是不同的，但是它们有数量上的共同点，即它们的实质都是： 从3个不同的元素里每次取出2个元素，不管怎样的顺序并成一组，一共有多少不同的组？组合定义 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别． 一般地，从 个不同元素中取出 （ ）个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合． 当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合． 如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何，都是相同的组合． 例题：从三同学中选出2名参加一项活动，求有多少中不同的选法．点击图片演示动画组合数 从 个不同元素中取出 （ ）个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数．记作： ． 注意：
是一个数，应该把它与“组合”区别开来． 组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据分步计数原理，得到：因此： 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步： 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ． 第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ． 这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式． 例题例1：下面的问题是排列问题？还是组合问题？
（1）从1，3，5，9中任取两个数相加，可以得到多少个不同的和？（2）从1，3，5，9中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？（3）10个同学毕业后互相通了一次信，一共写了多少封信？（4）10个同学毕业后见面时，互相握了一次手，共握了多少次手？ 例题例2 计算：（1） （2） 例3 求证： ．
