湖北省荆州市公安县第三中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题（Word版含解析）

公安县第三中学2023-2024学年高二上学期入学考试
数学
第I卷（选择题）
一、单选题
1．棉花的纤维长度是衡量棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测20根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195
202 206 233 236 238 255 260 263 264 265
请你估计这批棉花的第5百分位数是（ ）
A．84 B．86 C．99.5 D．115
2．在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（ ）
A．中位数，平均分，方差均不变 B．中位数，平均分，方差均变小
C．中位数不变，平均分可能不变，方差变小 D．中位数，平均分，方差都发生改变
3．考虑掷硬币试验，设事件“正面朝上”，则下列论述正确的是（ ）
A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为
B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4
C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5
4．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
5．已知平面平面，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知圆台的母线长为，，分别为上、下底面的直径，，，且与不平行，则四面体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平面四边形中, ,,,将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的体积为
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中正确的是（ ）
A．非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．设，，是三个空间向量，则
D．若与共面，与共面，则任意，与共面
10．设为两个随机事件，以下命题错误的为（ ）
A．若是独立事件，，，则
B．若是对立事件，则
C．若是互斥事件，，，则
D．若，，且，则是独立事件
11．如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．与是异面直线 B．
C．直线与所成角的余弦值是 D．三棱锥的体积为
12．在棱长为1的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，四棱锥的外接球的表面积是
C．若直线与平面所成角的正弦值为，则
D．存在唯一的实数对，使得平面
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．已知基底，，，若，则 .
14．四种电子元件组成的电路如图所示，电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是 .

16．已知一块边长为2正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为
四、解答题
17．某数学兴趣小组有男生3名，女生2名．现从中任选2名学生去参加学校数学竞赛．
（1）求参赛学生中恰好有1名男生的概率；
（2）求参赛学生中至少有1名男生的概率．
18．如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
(1)以为一组基底表示向量；
(2)若，，，求．
19．某市为迎接全国中学生物理奥林匹克竞赛举行全市选拔赛．大赛分初试和复试．初试又分笔试和实验操作两部分进行，初试部分考试成绩只记“合格”与“不合格”．只有两部分考试都“合格”者才能进入下一轮的复试．在初试部分，甲、乙、丙三人在笔试中“合格”的概率依次为，，，在实验操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响
(1)甲、乙、丙三人同时进行笔试与实验操作两项考试，分别求三人进入复试的的概率，并判断谁获得下一轮复试的可能性最大；
(2)这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的概率．
20．如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯
形，，,.且与均为正三角形,为的中点，
为重心.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与的夹角的余弦值.
21．某校在某次学业水平测试后，随机抽取了若干份数学试卷，并对其得分（满分100分）进行统计，根据所得数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（分组区间为.根据试卷得分从低到高将学生的成绩分为四个等级，每个等级中的学生人数占比如表所示.
成绩等级
得分范围
占比
(1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计该校学生这次学业水平测试数学成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)试确定成绩等级为B的得分范围（结果保留一位小数）.
22．如图1，在中，，，，E，D分别为，的中点，以为折痕，将折起，使点C到的位置，且，如图2.

(1)设平面平面，证明：平面
(2)P是棱上一点（不含端点）过P、B、E三点作该四棱锥的截面，要求保留画痕，并说明过程；
(3)若（2）中的截面与面所成的二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上下两部分的体积之比.
参考答案：
1．A
【详解】因为，所以第5百分位数为.
故选：A
2．C
【分析】根据题意结合中位数、平均数和方差的定义分析判断.
【详解】不妨设原始分为，且，则其中位数为，
则有效分为，则其中位数为，
两者相等，所以中位数不变，
例如：原始分为，则其平均数为2，
则有效分为，则其平均数为2，
两者相等，所以平均数可能不变，
因为从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，即把波动最大的两个值去掉，
则有效分比原始分更集中，波动性减小，
根据方差的定义可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差变小.
故选：C.
3．D
【分析】根据随机事件的性质可判断A，B；根据频率与概率的关系可判断C，D.
【详解】掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率，A错误；
掷8次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误；
重复掷硬币，事件A发生的频率无限接近于事件A发生的概率，C错误；
当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5，D正确.
故选：D
4．D
【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】由题意得，故.
故选：D.
5．D
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断.
【详解】当平面平面，，则可能，
而当平面平面，直线时，与平面可能平行，可能相交,也可能线在面内，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
6．A
【分析】取的中点，并连接，，推导出，点到平面的距离的最大值，由此能求出三棱锥体积的最大值.
【详解】解：∵圆台的母线长为，上底面直径，下底面直径，与不平行，
取的中点，并连接，，
∵圆台的高，
，
点到平面的距离的最大值为，
∴三棱锥体积的最大值：.
故选：A.
【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属中档题.
7．A
【分析】连接，分析可知异面直线与所成角为或其补角，设，计算出，可求得，即可得解.
【详解】连接，设，则，则，
在正四棱柱中，且，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
平面，平面，，
所以，，则.
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
8．C
【详解】试题分析：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝,BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：,所以球的体积为：,选A.
考点：1.球内接多面体；2.球的体积和表面积
9．CD
【分析】对于A：举特例，理解判断即可；对于BD：根据题意结合共面向量的定义与性质分析判断；对于C：根据数量积的分配律分析判断.
【详解】对于选项A：例如非零向量，，是三棱锥三条侧棱所在的向量，
显然满足与共面，与共面，与共面，但向量，，不共面，故A错误；
对于选项B：因为向量可以平移，但直线不能平移，
可知：若向量，，共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；
对于选项C：根据数量积的分配律可知：，故C正确；
对于选项D：对任意，可知与、共面，
若、与共面，所以与共面，故D正确；
故选：CD.
10．C
【分析】利用互斥公式、独立公式、对立公式满足的条件可以一一判断.
【详解】对于A：当是独立事件时，也是独立事件，，A正确；
对于B：当是对立事件时，，B正确；
对于C：当是互斥事件，，，则，C错；
对于D：，，故是独立事件，即是独立事件，D正确.
故选：C
11．ACD
【分析】结合图形判断选项A；以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量方法判断的位置关系；利用空间角的向量求法判断选项B，C；等体积转换求得三棱锥的体积判断选项 D.
【详解】对于A，因为平面，平面，平面，所以与是异面直线，故A正确；
对于B，由已知，，又，，平面，
所以平面，以为坐标原点，，为，轴正方向建立空间直角坐标系，
又正方形和矩形所在平面所成的角为60°，所以，，点到的距离为.
所以，，，，，所以，，
所以，所以，不垂直，故B错误；
对于C，，，
所以，所以直线与所成角的余弦值是，故C正确；
对于D，三棱锥的体积，故D正确.
故选：ACD.
12．AC
【分析】证明，面可得点到面的距离为定值可判断A；当时，点为的中点，设四棱锥的外接球的半径为，则，所以可判断B；作出的射影直线，为与平面所成角，得，解得可判断C；建立如图所示的空间直角坐标系，求出面的法向量与的坐标，利用向量法可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，当时，可得是的中点，连接，
因为四边形是平行四边形，为线段的中点，
所以为的中点，所以，
因为面，面，所以面，又因为点在上，
所以点到面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项A正确；
对于B，当时，点为的中点，设，连接，则四棱柱为正四棱锥，所以面，设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在直线上，因为，，由可得，所以，所以外接球的表面积为，故选项B不正确；
对于C，连接，过点作于，连接，因为面，所以面面，面面，所以面，
所以为与平面所成角，由，
所以，，
在由余弦定理有，
在中由勾股定理有，
所以，解得，故选项C正确；
对于D，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以点在上，又在上，在上，
所以平面即为平面，又易证平面，
所以是平面的法向量，又因为，，，
所以，，当与共线时平面，
则存在使成立，所以，方程组无解，
所以不存在唯一的实数对，使得平面，故选项D不正确；
故选：AC.
13．
【分析】根据向量平行的判定定理运算求解.
【详解】因为，且，则存在唯一实数，使得，
即，
可得，解得或，
所以.
故答案为：.
14．A
【分析】该电路正常工作即正常工作，至少一个正常工作，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.
【详解】该电路正常工作即正常工作，至少一个正常工作，
所以该电路正常工作的概率为.
故选：A.
15．
【分析】求出圆锥部分的母线，利用圆锥以及圆柱的侧面积公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知圆锥的母线长为，
故陀螺的表面积为，
故答案为：
16．
【分析】根据题意，沿正三角形的边的中点裁剪，焊接构成正四面体，根据结论求得半径，利用公式求得体积.
【详解】取正三角形的各边的中点，沿虚线裁剪，焊接构成一个棱长为1的正四面体，
由棱长为的正四面体的外接球的半径为，
可知该正四面体的外接球的半径为，
所以其体积为，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关正四面体的外接球的问题，涉及到的知识点有正四面体的外接球的半径，求得体积公式，属于简单题目.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）本题首先可将3名男生记为、、以及2名女生记为、，然后写出所有的基本事件，再然后写出所有满足“参赛学生中恰好有1名男生”的基本事件，即可得出结果；
（2）本题可写出所有满足“参赛学生中至少有1名男生”的基本事件，然后根据古典概型概率计算即可得出结果.
【详解】（1）数学兴趣小组中3名男生记为、、，2名女生记为、，从中任选2名学生，
有如下基本事件：、、、、、、、、、共10个基本事件，
设“参赛学生中恰好有1名男生”为事件，
则事件包含、、、、、共6 个基本事件，
故所求的概率为，
（2）设“参赛学生中至少有1名男生”为事件，
则事件包含、、、、、、、、共9个基本事件，
故所求的概率为．
【点睛】本题考查古典概型概率的相关计算，能否根据题意写出所有的基本事件以及满足特定条件的基本事件是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；
（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．
【详解】（1）∵为线段的中点，∴，
∵，∴，
∴
；
（2）
．
19．(1)甲：，乙：，丙：；丙进入复试可能性大；
(2)
【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式计算即可；
（2）根据题意分甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入三种情况，再结合独立事件概率的乘法公式计算即可.
(1)
解：根据题意，甲进入复试的概率为，
乙进入复试的概率为，丙进入复试的概率为
由于，
所以可以判断丙进入下一轮的可能性较大.
(2)
解：这三人进行笔试与实验操两项考试后，求恰有两人进入下一轮复试的可能情况为甲、乙进入，丙没有进入；甲、丙进入，乙没有进入；乙、丙进入，甲没有进入
所以恰有两人进入下一轮复试的概率为.
20．(1)证明见解析；（2）.
【详解】试题分析：（1）连接交于，连接，由重心性质推导出，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）取线段上一点，使得，可证 即是异面直线与的夹角，由余弦定理可得结果.
试题解析：（1）方法一：连交于,连接.
由梯形，且，知
又为的中点，为的重心，∴，在中，,故//. 又平面, 平面,∴//平面.
方法二：过作交于,过作交于,连接,
为的重心，,,
又为梯形，,,
, ∴
又由所作，得// ，为平行四边形.
, 面
(2) 取线段上一点，使得，连,则,
, ,在中
，则异面直线与的夹角的余弦值为.
角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.
21．(1)，73
(2)
【分析】（1）根据频率和为1求得，套公式求出平均分；（2）由频率分布直方图进行数据分析，列方程即可求解.
【详解】（1）根据题意可得，解得.
该校学生这次学业水平测试数学成绩的平均分为
（2）由频率分布直方图可得，最后一组的频率为，
后两组的频率之和为，
后三组的频率之和为，
则.
，解得.
，解得.
故成绩等级为的得分范围为.
22．(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明即可；
（2）延长截面求解即得；
（3）先求二面角得出边长，再计算体积即得比例.
【详解】（1）连接
∵、分别、中点
∴，
∴，分别是以、为斜边的直角三角形，
即，，又
平面，平面，∴平面，
而平面平面
∴平面

（2）在图2中延长，交于点，连接并延长交于点，连接、，面即为所求截面

（3）过作, ∵,
∴为中点,∴,
连接, ∵,,
∴ 又,平面，平面，
∴平面，连接,
则是截面与面所成二面角的平面角.
即,
在中，，，∴,
又在中，由余弦定理可得:
,
∴在中，,
∴，∴，∴,
∵,
∵即为中点,
又是中点，∴是的重心,
∴，,
∴ , ∴,
又,
∴
∴.