(共25张PPT)
大桥上的钢梁和钢索
棋盘上的横线和竖线
学校操场上的双杠，教室中课桌面、黑板面相邻的两边与相对的两条边……都给我们以相交线平行线的形象.
观察与联想
1
2
3
4
A
B
C
D
有一个公共点的两条直线形成相交直线.
请你画出任意两条相交直线.看看这四个角有什么关系？
问题：两条相交直线.形成的小于平角的角有几个？
任意画两条相交直线，在形成的四个角(如图)中，
两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？
两直线相交 所形成的角 分 类
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
∠3
∠1
∠2
∠4
∠1和∠2
4
∠2和∠
∠ 和∠
∠ 和∠
1
4
3
4
3
∠1和∠3
∠ 和∠
2
1
2
3
4
A
B
C
D
形如∠1 与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
O
探究与发现1
图中还有哪些角也是邻补角呢？
1
2
3
4
A
B
C
D
O
探究与发现2
图中还有哪些角也是对顶角呢？
形如∠1 与∠3有一个公共顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
有关概念：
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角.
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角.
O
A
B
C
D
探究与发现3
对顶角相等
4
3
2
1
∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
对顶角相等.
对顶角的性质：
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
为什么？
已知：直线AB与CD相交于O点(如图)，说明∠1=∠3、 ∠2=∠4的理由
解：∵直线AB与CD相交于O点，
∴∠1+∠2=180°、 ∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
同理可得：∠2=∠4
1
练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
(
)
)
1
练习2、下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
(
)
（
5、如图，直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)写出∠AOC， ∠BOE的邻补角；
(2)写出∠DOA， ∠EOC的对顶角；
(3)如果∠AOC =50°，求∠BOD ，∠COB的度数.
A
E
D
B
F
C
O
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
例1、如图，直线a、b相交，∠1=40°，求 ∠2、∠3、∠ 4的度数.
（对顶角相等）
∵∠3=∠1
∠1=40°（ ）
已知
∴∠3=40°
解：
（等量代换）
∴∠2=180°—∠1=140°
∴∠4=∠2=140°
（对顶角相等）
（邻补角的定义）
变式1：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？
变式2：若∠2-∠1=40°，求∠4的度数？
解：∵∠DOB=∠ ，（ ）
=80°（已知）
∴∠DOB= °（等量代换）
又∵∠1=30°（ ）
∴∠2=∠ -∠ = - = °
1、一个角的对顶角有 个，邻补角最多有
个，而补角则可以有 个.
3、如图，直线AB、CD相交于O，∠AOC=80°∠1=30°；求∠2的度数.
A
C
B
D
E
1
一
两
无数
AOC
∠AOC
DOB
1
80°
30°
50
对顶角相等
已知
二、 填空
80
2、右图中∠AOC的对顶角是 ，
邻补角是 .
∠DOB
∠AOD和∠COB
2
)
)
O
达标测试
一、判断题
1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角.（ ）
2、两条直线相交，有两组对顶角. （ ）
3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，
那么其余的三个角也是直角. （ ）
二、选择题
1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A.∠AOC和∠BOE是对顶角；
B.∠COE和∠AOD是对顶角；
C.∠BOC和∠AOD是对顶角；
D.∠AOE和∠DOE是对顶角.
2、如右图中直线AB、CD交于O，
OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度，
那么∠AOE=（ ）度.
（A）80 （B）100 （C）130 （D）150
A
B
C
D
O
E
×
√
√
C
C
三、填空
如图1，直线AB、CD交EF于点
G、H，∠2=∠3，∠1=70度.求
∠4的度数.
解：∵∠2=∠ （ ）
∠1=70 °（ ）
∴∠2= （等量代换）
又∵ （已知）
∴∠3= （ ）
∴∠4=180°—∠ = （ 的定义）
A
C
D
B
E
F
G
H
1
2
3
4
图1
1
对顶角相等
已知
70°
∠2=∠3
70 °
等量代换
3
110 °
邻补角
解：∵∠AOC=50°（已知）
∴∠AOD=180°－∠AOC=180° － 50°
=130°（邻补角的定义）
∵OE平分∠AOD（已知）
∴∠DOE=1/2∠AOD=130°÷2=65°（角
平分线的定义）
四、解答题
直线AB、CD交于点O，OE是∠AOD的平分线，已知∠AOC=50°.求∠DOE的度数.
A
B
C
D
O
E
图2
图中是对顶角量角器，你能说出它测量角的原理吗？
如图，小明想要测量他家房子两堵墙的角度，可他不 知道怎么测量，你能帮他解决这个问题吗？
归纳小结
角的
名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
对
顶
角
邻
补
角
对顶
角相
等
邻补
角互
补
②有公共顶点；
③没有公共边
①两条直线相交形成的角；
①两条直线相交而成；
②有公共顶点；
③有一条公共边
①都是两条直线相交而成的角；
③都是成对出现的
②都有一个公共顶点；
②两直线相交时，
对顶角只有两对
邻补角有四对
①有无公共边
作业：
1、书本第8页 2
第9页7、8(共19张PPT)
A
B
C
D
O
直线AB、CD相交于点O
如果两条直线有一个公共点，就说这两条直线相交，公共点叫做这两条直线的交点.
一.生活情景
观察剪刀剪布片过程中有关角的变化.
握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
二.议一议
1.任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两
两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类.
C
B
A
D
1
2
3
4
分别量一下各个角的度数，各类角的度数有什么关系？为什么？
∠1+∠2=180
∠1+∠4=180
∠3+∠2=180
∠3+∠4=180
∠1=∠3
∠2=∠4
C
B
A
D
1
2
3
4
∠1+∠2=180
∠1+∠4=180
∠3+∠2=180
∠3+∠4=180
∠1=∠3
∠2=∠4
像∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.
像∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
∠1与∠2；∠1与∠4；∠3与∠2；∠3与∠4互为邻补角
∠1与∠3；∠2与∠4互为对顶角
对顶角性质：
对顶角相等
(为什么？)
C
B
A
D
1
2
3
4
∵∠1和∠2互补，
∠3和∠2互补，
∴∠1＝∠3
(同角的补角相等)
注意：如果∠α和∠β是对顶角，那么一定有
∠α＝∠β；反之，如果有∠α＝∠β，
那么∠α与∠β一定是对顶角吗？
(不一定)
例1：如图所示，∠1和∠2是对顶角的是( )
C
1
2
A
三、试一试，用一用
1
2
B
1
2
C
1
2
D
例2：已知互为邻补角的两个角的度数之比为3：2，求这两个角的度数.
解：设这两个的度数分别为3x ，2x ，据题意得，
3x+2x=180
5x=180
x=36
所以3x=108，2x=72.
答：这两个角的度数分别为108 ，72 .
1
练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
(
)
)
1
练习2、下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
(
)
（
如图所示，三条直线AB、CD、EF相交于一点O
∠AOC的对顶角是 ，
∠COF的对顶角是 ，
∠COB的邻补角是 .
练习
A
B
C
D
E
F
O
∠BOD
∠DOE
∠AOC和∠BOD
例3：如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=34 ，
∠DOE=56
E
A
B
C
D
O
则(1)∠BOD= 度，∠BOC= 度，
∠AOE= 度；
(2)写出下列各对角关系的名称：
∠BOD和∠EOD ；
∠BOD和∠AOC ；
∠BOD和∠AOD ；
∠AOC和∠DOE .
34
146
90
互为余角
是对顶角
互为邻补角
互为余角
方法二：可利用补角得出.
如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？
方法一：可利用对顶角相等得出.
40
0
已知：直线a、b相交，∠1=40°，
求∠2、∠3、∠4的度数.
1
2
3
4
a
b
变式1：把∠1＝40°变为∠1＝50°
变式2：把∠1＝40°变为∠1＝m°
变式3：把∠1=40°变为∠1＋∠3=50°
变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠1的3倍
解：∵∠DOB=∠ ，（ ）
=80°（已知）
∴∠DOB= °（等量代换）
又∵∠1=30°（ ）
∴∠2=∠ -∠ = - = °
1、一个角的对顶角有 个，邻补角最多有
个，而补角则可以有 个.
3、如图，直线AB、CD相交于O，∠AOC=80°∠1=30°；求∠2的度数.
A
C
B
D
E
1
一
两
无数
AOC
∠AOC
DOB
1
80°
30°
50
对顶角相等
已知
二、 填空
80
2、右图中∠AOC的对顶角是 ，
邻补角是 .
∠DOB
∠AOD和∠COB
2
)
)
O
归纳小结
角的
名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
对
顶
角
邻
补
角
对顶
角相
等
邻补
角互
补
②有公共顶点；
③没有公共边
①两条直线相交形成的角；
①两条直线相交而成；
②有公共顶点；
③有一条公共边
①都是两条直线相交而成的角；
③都是成对出现的
②都有一个公共顶点；
②两直线相交时，对顶角只有两对
邻补角有四对
①有无公共边
达标测试
一、判断题
1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角.（ ）
2、两条直线相交，有两组对顶角. （ ）
3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，
那么其余的三个角也是直角. （ ）
二、选择题
1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A.∠AOC和∠BOE是对顶角；
B.∠COE和∠AOD是对顶角；
C.∠BOC和∠AOD是对顶角；
D.∠AOE和∠DOE是对顶角.
2、如右图中直线AB、CD交于O，
OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度，
那么∠AOE=（ ）度
（A）80 （B）100 （C）130 （D）150
A
B
C
D
O
E
×
√
√
C
C
三、填空（每空3分）
如图1，直线AB、CD交EF于点
G、H，∠2=∠3，∠1=70 °求
∠4的度数.
解：∵∠2=∠ （ ）
∠1=70 °（ ）
∴∠2= （等量代换）
又∵ （已知）
∴∠3= （ ）
∴∠4=180°—∠ = （ 的定义）
A
C
D
B
E
F
G
H
1
2
3
4
四、解答题
直线AB、CD交于点O，
OE是∠AOD的平分线，
已知∠AOC=50°
求∠DOE的度数.
A
B
C
D
O
E
图1
图2
1
对顶角相等
已知
70°
∠2=∠3
70 °
等量代换
3
110 °
邻补角
1.如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，一共构成
哪几对对顶角？一共有多少组互为邻补角的角？
A
B
C
D
E
F
O
引申：四条直线呢？五条直线呢？
2.如图，直线CD和∠AOB两边相交于点E和F，
已知∠1＋∠2＝180
（1）找出图中所有与∠1和∠2相等的角；
（2）找出图中所有与∠2互补的角.
O
B
C
E
F
A
D
2
1
作业：
P9 1、2 、 7、8(共32张PPT)
C
D
E
F
1
3
4
2
两条直线CD和EF相交，能形成些具有什么关系的角？
两条直线CD和EF相交，能形成些具有什么关系的角？
2
1
3
2
3
4
1
4
C
D
E
F
1
3
4
2
具有邻补角关系的角
C
D
E
F
1
3
4
2
4
2
3
1
两条直线CD和EF相交，能形成些具有什么关系的角？
具有对顶角关系的角
即两条直线l1、l2被第三条直线
l3所截，
l1
l2
l3
简称“三线八角”
截线
被截线
构成了几个角？
它们之间又是什么位置关系的角呢？
若再添一条直线，
1
2
3
4
5
6
7
8
1.两条直线相交有几个角？
4个
2.两条直线与第三条直线相交呢？
8个
3.你能找出这8个角的关系吗？
∠1与∠3，∠2与∠4，
∠5与∠7，∠6与∠8
分别是对顶角.
4.这些角还有其它的关系吗
观察
F
问题：1、观察∠1与∠5的位置关系
①在直线EF的同侧
②在直线AB、CD的同一旁
A
C
B
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
1
5
同位角：
∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8
）
B
D
F
）
3
7
C
B
2
F
6
A
E
D
4
A
C
E
（
1
（
5
“ F ”
b
1
3
2
4
a
c
5
7
6
8
1.下列说法正确的是（ ）
A.∠4与∠2是同位角
B.∠4与∠1是同位角
C.∠4与∠8是同位角
D.∠4与∠6是同位角
∠4与∠2互为对顶角
∠4与∠1互为邻补角
C
∠4与∠6？
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
观察
问题：2、观察∠3与∠5的位置关系
②在直线AB、CD的内侧
①在直线EF的两侧
3
5
内错角：
∠4和∠6
C
D
（
1
2
）
7
8
（
B
）
3
E
5
A
F
6
4
A
B
C
D
）
（
1
3
2
4
E
F
）
（
5
7
6
8
“ Z ”
b
1
3
2
4
a
c
5
7
6
8
2.判断下列说法是否正确：
∠3与∠7是同位角 （ ）
∠3与∠5是内错角 （ ）
∠3与∠6是内错角 （ ）
×
√
√
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
观察
问题3：观察∠4与∠5的位置关系
①在直线AB、CD的内侧
②在直线EF的同侧
4
5
同旁内角：
∠3和∠6
C
D
（
1
2
）
7
8
（
B
）
3
E
5
A
F
6
4
A
B
C
D
）
（
1
3
2
4
E
F
）
（
5
7
6
8
“ U ”
b
4
3
2
1
a
c
5
7
7
6
3.用适当的词语填空：
∠1与∠5是_________
∠1与∠7是_______
∠1与∠6是_______
同旁内角
内错角
同位角
4
3
2
1
练习：用适当的词语填空：
∠2与∠3是_________
∠1与∠4是_______
∠3与∠4是_______
同旁内角
内错角
同位角
A
B
E
D
C
同位角、内错角和同旁内角的结构特征：
同位角、内错角和同旁内角的结构特征：
截线 被截线 结构特征
同位角
内错角
同旁内角
之间
之间
同侧
同旁
两旁
同旁
F
Z
U
能力挑战：看图填空
（1）若ED，BF被AB所截， 则∠1与____是同位角.
∠2
能力挑战：看图填空
（2）若ED，BC被AF所截， 则∠3与____是内错角.
∠4
能力挑战：看图填空
（3）∠1与∠3是AB和AF被___所截构成的_____角.
DE
内错
能力挑战：看图填空
（4）∠2与∠4是___和___被 BC所截构成的_____角.
AB
AF
同位
下列各图中 与 哪些是同位角？哪些不是？
1
2
( )
1
2
（ ）
（ ）
1
2
（ ）
1
2
课堂练习
识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角.
1
2
（1）
同位角
1
2
（2）
1
2
（3）
1
2
（4）
1
2
（5）
a
b
c
1
2
(6)
1
2
(7)
1
2
(8)
1
2
1
2
(9)
(10)
同位角
同位角
同位角
同位角
内错角
同旁内角
例1：如图，直线DE截直线AB，AC，构成8个角.指出所有的同位角、内错角和同旁内角.
截线
被截线
如何找截线和被截线？
练一练：
如图，直线AB，CD被直线EF所截，请找出一对同位角，一对内错角和一对同旁内角.
练一练：
（1）如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？
∠3与∠4呢？
∠ 2与∠4呢？
(同位角)
(内错角)
(同旁内角)
练一练：
（2）如果把图看成是直线CD，EF被直线AB所截，那么∠1与∠5是一对什么角？
∠4与∠5呢？
(同旁内角)
(内错角)
练一练：
（3）哪两条直线被哪一条直线所截，∠2与∠5是同位角？
(直线AB和CD被直线EF所截)
例1 、如图，直线DE截AB，AC，构成8个角.指出所有的同位角、内错角和同旁内角.
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
D
E
1.若DE，AB被AC所截呢？
2.若DE，AC被AB所截呢？
关键：要先分清哪两条直线被哪一条直线所截
1.（1）如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠3与∠4呢？∠2与∠4呢？
（2）如果把图看成是直线CD，EF被直线AB所截，那么∠1与∠5是一对什么角？∠4与∠5呢？
A
B
C
D
E
F
１
２
３
４
５
（3）哪两条直线被哪一条直线所截， ∠2与∠5是同位角
∠1与∠2是一对同位角，
∠3与∠4是一对内错角，
∠2与∠4是一对同旁内角.
∠1与∠5是一对同旁内角， ∠4与∠5是一对内错角.
直线AB，CD被直线EF所截
课内练习
C
A
B
D
E
F
1
2
3
4
2.看图填空：
（1）若ED，BF被AB所截，
则∠ 1与 是同位角；
（2）若ED，BC被AF所截，
则∠3与 是内错角；
（3）∠1与∠3是AB和AF被 所截构成的 角；
（4）∠2 与∠4是 和 被BC所截构成的 角.
1
3
2
4
∠2
∠4
ED
内错
AB
AF
同位(共21张PPT)
5.1相交线
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
如果有两条直线和另一条直线相交，
a
b
c
八
通常说：两条直线被第三条直线所截
截线
被截线
如：直线a、b被直线c 所截.
可以得到几个角？
它们的位置在第三条直线l3的同旁，并且位于两条直线l1，l2的相同一侧，
观察∠1与∠5的位置
我们把满足上面两个条件的一对角叫做同位角
思考：
∠３与∠７是同位角吗？
还有哪几对角是同位角？
它们的位置在第三条直线l3的两侧，并且都在两条直线l1，l2的之间，
观察∠3与∠5的位置
我们把满足上面两个条件的一对角叫做内错角
思考：
图中还有其它内错角吗？
它们的位置在第三条直线l3的同旁，并且都在两条直线l1，l2的之间.
观察∠3与∠6的位置
我们把满足上面两个条件的一对角叫做同旁内角
思考：
寻找图中其它的同旁内角？
同位角、内错角和同旁内角的结构特征：
截线 被截线 结构特征
同位角
内错角
同旁内角
之间
之间
同侧
同旁
两旁
同旁
F
Z
U
上述三类角类似于对应角都是成对出现.不能说哪个角是同位角、内错角等？
注意：
能力挑战：看图填空
（1）若ED，BF被AB所截， 则∠1与____是同位角.
∠2
能力挑战：看图填空
（2）若ED，BC被AF所截， 则∠3与___是内错角.
∠4
能力挑战：看图填空
（3）∠1与∠3是AB和AF被___所截构成的_____角.
DE
内错
能力挑战：看图填空
（4）∠2与∠4是____和____被 BC所截构成的_____角.
AB
AF
同位
例1
如图：直线DE，BC被直线AB所截.
（1）∠1与∠2， ∠1和 ∠3，∠1和 ∠4各是什么角？
（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠3相等吗？∠1与∠3互补吗？为什么？
4
3
2
1
F
E
D
C
B
A
例2 如图，直线DE截AB，AC，构成8个角.
指出所有的同位角、内错角和同旁内角.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
温馨提示：
解题之前要明确哪两条直线被哪条直线所截
如果是AB与DE 被AC所截，请指出其中的同位角、内错角、同旁内角？
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
变式：
变式：∠A与∠8是哪两条直线被第3条直线所截的角？它们是什么关系的角？
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
AC与DE 被AB所截，
是同位角
AB与DE 被AC所截，是内错角
∠A与∠5呢？
AB与DE 被AC所截，
是同旁内角
∠A与∠4呢？
课内练习
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
5
1、(1)如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠3与∠4呢？ ∠2与∠4呢？
(2)如果把图看成是直线CD，EF被直线AB所截，那么∠1与∠5是一对什么角？ ∠4与∠5呢？
(3)哪两条直线被哪一条所截，∠2与∠5是同位角？
1.如图：直线AB、CD 被直线 AC 所截，所产生的内错角是____________.
2.如图：直线AD、BC 被直线 DC 所截，产生了____________角，它们是____________ .
4
3
2
1
D
C
B
A
五、小结
2、掌握辩别这些角的关键是看哪两条直线被哪一条直线所截、分清哪一条直线截哪两条直线形成了哪些角，是作出正确判定的前提，在截线的同旁找同位角，同旁内角，在截线的不同旁，找内错角.
1、同位角、内错角、同旁内角都是两条直线被第三条直线所截时产生的，我们要掌握他们的位置特征.
1、课后作业题
2、习题5.1 第11题(共17张PPT)
问题：
两条直线，有几种不同的位置关系？
相交与不相交
有一个公共点的两条直线形成相交直线.（你能举出一些生活中的实例来吗？）
(2)看看这几个角有什么位置关系？请用自己的话分别说一说。
问题：请你画出任意两条相交直线，回答：
(1)这两条相交直线形成的小于平角的角有几个？
任意画两条相交直线，在形成的四个角(如图)中，两两相配共组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？
两直线相交 形成的角 分 类
O
）
（
2
A
B
C
D
1
3
4
）
（
∠3
∠1
∠2
∠4
∠1和∠2
4
∠2和∠
∠ 和∠
∠ 和∠
1
4
3
4
3
∠1和∠3
∠ 和∠
2
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
有关概念：
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角.
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角.
对顶角相等.
对顶角的性质：
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
为什么？
已知：直线AB与CD相交于O点(如图)，
求证：∠1=∠3、∠2=∠4
证明：∵直线AB与CD相交于O点，
∴∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3
同理可得：∠2=∠4
1
练习1、下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
(
)
)
1
练习2、下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
(
)
（
（3）图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
例1、如图，直线a、b相交，∠1=40°，求 ∠2、∠3、∠ 4的度数。
（对顶角相等）
∵∠3=∠1
∠1=40°（ ）
已知
∴∠3=40°
解：
（等量代换）
∴∠2=180°—∠1=140°
∴∠4=∠2=140°
（对顶角相等）
（邻补角的定义）
变式1：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？
变式2：若∠2-∠1=40°，求∠4的度数？
解：∵∠DOB=∠ ，（ ）
=80°（已知）
∴∠DOB= °（等量代换）
又∵∠1=30°（ ）
∴∠2=∠ -∠ = - = °
1、一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个。
3、如图，直线AB、CD相交于O，∠AOC=80°，∠1=30°；求∠2的度数.
A
C
B
D
E
1
一
两
无数
AOC
∠AOC
DOB
1
80°
30°
50
对顶角相等
已知
练一练：
80
2、右图中∠AOC的对顶角是 ，邻补角是 .
∠DOB
∠AOD和∠COB
2
)
)
O
归纳小结
角的
名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
对
顶
角
邻
补
角
对顶
角相
等
邻补
角互
补
②有公共顶点;
③没有公共边
①两条直线相交形成的角；
①两条直线相交而成；
②有公共顶点;
③有一条公共边
①都是两条直线相交而成的角；
③都是成对出现的
②都有一个公共顶点；
②两直线相交时，
对顶角只有两对
邻补角有四对
①有无公共边
【例1】如图，AB、CD、AD都是直线，且∠1=∠2，那么∠3=∠1吗？为什么？
活动与探究
两条直线相交于一点，有________对对顶角，三条直线相交于一点，有_____对对顶角．……n条直线相交于一点，共可组成_______对对顶角．
达标测试
一、判断题
1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（ ）
2、两条直线相交，有两组对顶角。 （ ）
3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，
那么其余的三个角也是直角。 （ ）
二、选择题
1、如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么（ ）
A.∠AOC和∠BOE是对顶角；
B.∠COE和∠AOD是对顶角；
C.∠BOC和∠AOD是对顶角；
D.∠AOE和∠DOE是对顶角。
2、如右图中直线AB、CD交于O，
OE是∠BOC的平分线且∠BOE=50度，
那么∠AOE=（ ）度
（A）80 （B）100 （C）130 （D）150
A
B
C
D
O
E
×
√
√
C
C
三、填空（每空3分）
如图1，直线AB、CD交EF于点
G、H，∠2=∠3，∠1=70度。求
∠4的度数。
解：∵∠2=∠ （ ）
∠1=70 °（ ）
∴∠2= （等量代换）
又∵ （已知）
∴∠3= （ ）
∴∠4=180°—∠ = （ 的定义）
A
C
D
B
E
F
G
H
1
2
3
4
图1
1
对顶角相等
已知
70°
∠2=∠3
70 °
等量代换
3
110 °
邻补角
解：∵∠AOC=50°（已知）
∴∠AOD=180°—∠AOC=180°—50°=130°（邻补角的定义）
∵OE平分∠AOD（已知）
∴∠DOE=1/2∠AOD=130°÷2=65°（角平分线的定义）
四、解答题
直线AB、CD交于点O，OE是∠AOD的平分线，已知∠AOC=50°。求∠DOE的度数。
A
B
C
D
O
E
图2(共14张PPT)
5.1.2 同位角、内错角、同旁内角
第五章 相交线与平行线
∠1与∠3是直线AB与CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角.
2
3
1
4
A
B
C
D
O
∠1和∠2也是直线AB、CD相交得到的，它们不仅有一个公共顶点O，还有一条公共边OA，像这样的两个角叫做邻补角.
第一种情况我们已研究过了（相交线成角——对顶角、邻补角）；下面我们着重研究一下第二、三种情况（两条直线被第三条直线所截）.
课本P7——1、2
随堂练习
识别同位角、内错角、同旁内角步骤：
先分离； 看三线； 找截线； 再以位置细分辨.
巩固练习
1、如图，∠1与∠2，∠3与∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么角？
A
B
D
C
3
1
2
4
A
B
D
C
3
1
2
4
E
巩固练习
2、如图，找出∠3的同位角、内错角和同旁内角，并指出分别由哪两条直线被哪条直线所截.
8
11
10
3
1
5
7
4
2
6
9
12
两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，有同位角、内错角和同旁内角；
同位角、内错角、同旁内角如图所示；
在找同位角、内错角和同旁内角时，一般按照“先分离；看三线；找截线；再以位置细分辨”的顺序进行.
小结
两条直线被第三条直线所截，形成几个角？
图中的∠1和∠5具有什么样的位置关系？
1
2
3
4
5
6
8
7
l2
l1
l3
图中的∠1和∠5分别在直线l1、l2的同一方，并且都在直线l3的同侧，具有这样位置关系的一对角叫做同位角.
图中的同位角共有四对：
∠1和∠5； ∠2和∠6；
∠4和∠8； ∠3和∠7.
l2
l1
l3
1
5
2
3
4
6
8
7
图中的∠3和∠5都在直线l1、l2之间，并且分别在直线l3的两侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.
图中的内错角共有两对：
∠3和∠5；∠4和∠6.
l2
l1
l3
5
3
1
2
4
6
8
7
图中的∠3和∠6都在直线l1、l2之间，并且在直线l3的同一旁，具有这样位置关系的一对角叫做同旁内角.
图中的同旁内角共有两对：
∠3和∠6； ∠4和∠5.
l2
l1
l3
3
6
5
1
2
4
8
7
例1 如图，判断正误：
（1） ∠B和∠DAE是同位角；
（2） ∠B和∠EAC是同位角；
（3） ∠B和∠DAC是同位角；
（4） ∠B和∠CAB是同旁内角；
（5） ∠B和∠EAB是同旁内角；
（6） ∠C和∠EAC是内错角；
（7） ∠C和∠DAE是内错角；
（8） ∠C和∠B是同旁内角；
范例教学
D
E
B
C
A
识别同位角、内错角、同旁内角步骤：
先分离； 看三线； 找截线； 再以位置细分辨.
巩固练习
1、如图所示∠1与∠2是不是同位角？∠1与∠3呢？
1
2
3
a
b
c
d(共16张PPT)
5．1．2垂线（２）
1、同一平面内，两条直线的位置关系：________.
2、怎样的两条直线我们称它们互相垂直？
3、一条直线仅有一条垂线.对吗？
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
练习1.如图，在铁路旁有一城镇，现打算从城镇修一条和铁路垂直的道路，这种因为__________
D
C
O
A
B
1
2
练习2.如图，已知OA⊥OC于点O， ∠1= ∠2，判断OB与OD 的位置关系，并说明理由.
．
Ｐ
．
．
．
．
．
．
．
．
．
O
A1
A2
A3
A4
如图，连接直线a外一点P与直线a上各点O，A ，A ，A ，…
其中PO⊥a（我们称PO为点P到直线a的垂线段）
比较线段PO，PA ，PA ，PA ，…的长短，
这些线段中那一条最短。
．
Ｐ
．
．
．
．
．
．
．
．
．
O
A1
A2
A3
A4
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成垂线段最短
．
Ｐ
．
．
．
．
．
．
．
．
．
O
A1
A2
A3
A4
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
叫做点到直线的距离.
．
．
A
O
1、如图，点A处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处.
（1）此人到小屋去，怎样走最近？为什么？
（2）此人要到公路去，怎样走最近？为什么？
2、下列说法正确的是（ ）
A
B
C
D
（A）线段AB叫做点B到直线AC的距离.
（B）线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
（C）线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离
（D）线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
3、如图所示，有两条高速公路l，m，点P为公路l上的一个出口，现要经过点P建一连接两高速公路的一段通道，欲使通道最短，应怎样施工？说明理由.
．
Ｐ
l
m
A
B
C
4、如图，P为 ABC的平分线上一点.
（1）分别画出点P到边BA、BC的垂线段；
（2）分别量出点P到边BA、BC的距离.
5、文峰学校第六届运动会上，701班一名运动员第五跳打破了年级记录.如图A、B为这一跳的脚印落点，起跳线为CD.请画图说明如何测量他的成绩.
解：过脚印B的后跟E作EF⊥CD，垂足为点F.
那么垂线段EF的长度就是这名运动员跳远的成绩.
┓
B
C
D
E
F
A
A
C
B
6、如图所示，在△ ABC中，∠ABC=90 ，
①过点B作△ABC的AC边上的高BD，
过D点作△ ABD的AB边上的高DE.
②点A到直线BC的距离是线段 的长度.
点B到直线AC的距离是线段 的长度.
点D到直线AB的距离是线段 的长度.
线段AD的长度是点 到直线 的距离.
AB
BD
DE
A
BD
A
C
B
A
B
C
D
G
M
·
·
问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线.并说明理由.
问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC上，你认为它的最佳路线是什么？
问题3：若蚂蚁在点M处，想爬到棱BC上，请你设计一条最佳路线.
┏
N(共39张PPT)
5.1.2 垂线
问题1：如右图，
（1）∠AOC的对顶角是哪个角？这两个角的关系怎样？
（2）∠AOC的邻补角有几个？是哪几个角？
问题2：如下图，当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？
活动1
观察：
两条直线相交形成4个角，若固定木条a，旋转木条b，当b的位置发生变化时，a、b所成的角也会随之变化，其中有一个特殊的位置： ＝90°.
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，
当α=90°时，a与b垂直.
当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化.
当α≠90°时，a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90度)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
例如、如图，a、b互相垂直，O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线.
b
a
O
一、垂直的定义
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
α
2.垂直的表示：
例如、如图，a、b互相垂直， 垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a，
若要强调垂足，则记为：a⊥b垂，足为O.
F
E
M
N
O
记作：MN⊥EF ，垂足为O.
或者MN⊥EF于O
A
B
O
E
记作：AB⊥OE垂足为O.
或者AB⊥OE于O
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°.
3.垂直的书写形式：
∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90°（垂直的定义）
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
垂直的定义的应用格式
∵∠AOC=90°（已知），
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.
这个推理过程可以写成：
∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成：
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗？
方格本的横线和竖线
铅垂线和水平线
选择题：
1、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判
定两条直线垂直的是
（A）有两个角相等 （ B）有两对角相等
（C）有三个角相等 （ D）有四对邻补角
（C）
2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
（A）4 （B）3
（C）2 （D）1
A
练习：
1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=125°，
求∠COE的度数.
A
C
E
B
D
O
1
）
2.如图，∠ABC=90°，∠1=60°，过B作AC的垂线BO，垂足是O，过O作BC的垂线，垂足是D，若∠1=∠2，求∠ABO，∠BOD.
∵BO ⊥AC于O点
1
2
A
B
C
D
O
）
)
∵∠ABC=90°( )
∠1=60
已知
∴∠ABO=30°
解：
∴∠BOC=90°
∴∠BOD=30°
（互余的定义）
（互余的定义）
（垂直的定义）
又∵∠2=∠1
∴∠2=60°
看谁做得快
1.若直线m、n相交于点O，
∠1＝90°，则__________.
2.若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD＝____.
3.如图，BO⊥AO，∠BOC
与∠BOA的度数之比为1：5，
那么∠COA＝_____，
∠BOC的补角为______度.
O
m
n
1
B
C
A
O
m⊥n
90°
72°
162
二、垂线的画法
问题：
怎么样画垂线？
1.垂线的画法：
问题：
这样画l的垂线可以画几条？
1放、
2靠、
3画线、
l
O
如图，已知直线 l，作l的垂线.
工具：直尺、三角板
A
无数条
1.垂线的画法：
l
A
如图，已知直线 l 和l上的一点A ，作l的垂线.
B
4画线：沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放：放直尺，直尺的一边要与已知直线重合；
3移：移动三角板到已知点；
2靠：靠三角板，把三角板的一直角边靠在直尺上；
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
探究：
结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(1)画已知直线l的垂线能画几条？
(2)过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？
(3)过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？
结论：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条，而且只能作一条.
问题：过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ，作l的垂线，可以作几条？
注意：
过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
课堂练习
1.过点 向线段 所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A B C D
C
巩固练习
1.如何画一条线段或一条射线的垂线？
画已知线段、射线的垂线其实
就是经过已知点作已知线段、射线
所在的直线的垂线.
课堂练习：
2. 过点P作线段或射线所在直线的垂线
A
B
.
.
.P
(1)
.
O
.P
.A
(2)
3.过点P分别向角的两边作垂线
.P
.P
.P
.P
E
E
E
注意：画线段（或射线）的垂线时，有时要将线段延长（或将射线反向延长）后再画垂线.
问题
（1）如图，在灌溉时需要把河AB中的水引到C处， 如何挖渠能使渠道最短？
（2）从上述探究过程中你能发现什么结论？
结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短.
即，垂线段最短.
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
垂线段最短
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
P
A
B
C
m
D
垂线段的长度
简单说成：垂线段最短.
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.
A
B
P
D
特别强调：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
P
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示？
l
P
A
解：过P点作PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.
点到直线的距离：
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由.
张庄
拓展应用1
∟
垂线段最短
N
拓 展 应 用2
如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？
请画出图来，并说明理由.
C
∟
垂线段最短
N
立定跳远中，体育老师是如何测量运动员的成绩的？
体育老师实际上测量的是点到直线的距离
起跳线
落脚点
小常识
A
B
C
D
E
F
G
M
·
·
问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线.并说明理由.
问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC上，你认为它的最佳路线是什么？
问题3：若蚂蚁在点M处，想爬到棱BC上，请你设计一条最佳路线.
N
1.在直角三角形的三条边中哪一条最长？
思考
答：直角所对的边即斜边最长.
选择题：
2.如图， AC⊥BC， ∠C=90° ，线段AC、BC、CD中最短的是( )
(A) AC (B) BC (C) CD (D) 不能确定
D
A
B
C
C
解：
∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）
垂直
∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
＝ 180°－35°－55°
＝90°
∴OE⊥AB (垂直的定义)
1.如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是
.
C
D
A
B
O
E
1
2
2.如图 ，已知AB. CD相交于O， OE⊥CD
于O，∠AOC=36°，则∠BOE= .
（A）36° (B) 64°
(C)144° (D) 54°
A
B
O
C
D
E
54°
（1）如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地， M、N是分别位于公路两侧的村庄.
巩固练习
①设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB 上分别画出点P和点Q的位置.
②当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距
离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越
来越近，而离M越来越远？(共21张PPT)
5 .1.2 垂线
一、学习目标
1、了解垂线段的概念，
2、了解垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义.
3、学会度量点到直线的距离.
重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.
二、重点和难点
难点：点到直线的距离的概念的理解.
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
α
2.垂直的表示：
例如、如图，a、b互相垂直，垂足为O，则记为：
a⊥b或b⊥a，
若要强调垂足，则记为：a⊥b，垂足为O.
一、复习
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°.
∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90°（垂直的定义）
应用垂直的定义：
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
3.垂直的书写形式：
l
A
如图，已知直线 l 和l上的一点A，作l的垂线.
B
4画线：沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放：放直尺，直尺的一边要与已知直线重合;
3移：移动三角板到已知点;
2靠：靠三角板，把三角板的一直角边靠在直尺上;
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
垂线的画法复习：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
过一点画已知线段（或射线）的垂线，就是画这条线段（或射线）所在直线的垂线.
垂线的性质（1）：
P
请你画图，并用尺量一下，看看哪一条线段最短？
此问题就是“直线外一点与已知直线上各点所连的线段中，有没有最短的线段？”
由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段.
P
l
A
要找垂线段， 先把点来看. 过点画垂线， 点足垂线段.
例如：如图，PA⊥l于点A，线段PA叫做点P到直线l的垂线段.
垂线段的概念：
B
D
A
O
C1
C2
C3
C4
简单说成：垂线段最短.
结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.
A
B
P
D
特别强调：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
P
l
A
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示？
l
P
A
解：过P点作PA⊥l于点A，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.
点到直线的距离：
2.如图， AC⊥BC， ∠C=90°，线段AC、BC、CD中最短的是( )
(A)、AC (B)、BC (C)、CD (D)、不能确定
1.已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
D
A
B
C
D
C
例1、选择题：
1
2
A
B
C
D
O
∵BO⊥AC于O点
）
)
（已知）
∵∠ABC=90°( )
∠1=60°（ ）
已知
∴∠ABO=30°
解：
（已知）
∴∠BOC=90°
∴∠BOD=30°
（余角定义）
（余角定义）
已知
（垂直定义）
又∵∠2=∠1=60°
例2、如图，∠ABC=90°，∠1=60°，过B作AC的垂线BO，垂足是O，过O作BC的垂线，垂足是D，若∠1= ∠2，求∠ABO，∠BOD.
D
B
C
A
E
已知：如图AD＜AE ＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？
答：不能.
想一想：
C
A
D
E
B
解：
∵ AC⊥BC于C(已知）
∴ AC＜AB（垂线段最短）
又∵ CD⊥AD于D(已知）
∵ DE⊥BC于E(已知）
∴ CD＜AC（垂线段最短）
∴ DE＜CD（垂线段最短）
∴ AB＞AC＞CD＞DE
例3、如图：AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，试比较四条线段AB 、AC、DC和 DE的大小.
C
A
B
0m
20m
30m
10m
0m
20m
30m
10m
8m
25m
例4、如图，量出（1）村庄A与货场B的距离，（2）货场B到铁道的距离.
0cm
20cm
30cm
10cm
A
B
C
M
P
Q
0cm
20cm
30cm
10cm
0cm
20cm
30cm
10cm
9cm
9cm
∴BP=CQ
例5、如图，
（1）画出线段BC的中点M，连结AM；
（2）比较点B与点C到直线AM的距离.
例6、1.如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图，
1)过M点画CD的垂线交CD于F点，
2)M点和N点的距离是线段____的长，
3)M点到CD的距离是线段____的长.
MN
MF
A
B
C
D
M
N
F
∴直线MF为所求垂线.
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由.
张庄
∟
垂线段最短
拓展应用1
A
B
C
D
E
F
G
M
·
·
问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线.并说明理由.
问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC上，你认为它的最佳路线是什么？
问题3：若蚂蚁在点M处，想爬到棱BC上，请你设计一条最佳路线.
┏
N
拓展应用2
1、垂线段的定义
2、点到直线的距离
3、垂线的性质
（2）垂线段最短
小结：
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段.(共14张PPT)
只有一个公共点的两条直线形成相交直线.
A
B
O
C
D
从数学的角度你认为相交线的图形中蕴涵了什么知识？
位置关系
数量关系
基本图形
B
A
C
D
O
1
2
3
4
1、有公共顶点
归类
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1
∠1和∠3、
∠2和∠4、
1、有公共顶点
位置关系
邻补角
对顶角
2、有一条公共边
3、另一边互为反向延长线
2、没有公共边
两直线相交
3、两边互为反向延长线
名称
1
2
1
3
考虑角的位置关系可以从角的顶点和角边入手!
1
练习1.下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
(
)
)
1
练习2.下列各图中∠1、∠2是邻补角吗？为什么？
2
1
2
1
2
)
(
(
(
)
（
对顶角相等.
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
已知：直线AB与CD相交于O点(如图)，试说明：∠1=∠3、∠2=∠4
答：因为直线AB与CD相交于O点
所以∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°
所以∠1=∠3
同理可得：∠2=∠4
对顶角的性质：
同学们可以观察刚才画的两条相交线，并用各种工具或方法验证这个猜想.
∵直线AB与CD相交于O点
∴∠1=∠3
1、有公共顶点
分类
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1
∠1和∠3、
∠2和∠4、
1、有公共顶点
位置关系
邻补角
对顶角
邻补角互补
2、有一条公共边
3、另一边互为反向延长线
2、没有公共边
两直线相交
3、两边互为反向延长线
名称
数量关系
对顶角相等
B
A
C
D
O
1
2
3
4
1
3
1
2
a
b
）
（
1
3
4
2
）
（
例1：如图，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数。
∵∠3=∠1
∠1=40°
∴∠3=40°
解：
∴∠2=180°－∠1=140°
∴∠4=∠2=140°
变式1：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数？
变式2：若∠2-∠1=40°， 求∠4的度数？
用代数的方法(列方程）解决几何问题是比较有效的!
4、(1)如右图直线AB、CD交于点O，OE为射线，那么 ( )
A)∠AOC和∠BOE是对顶角；
B)∠COE和∠AOD是对顶角；
C)∠BOC和∠AOD是对顶角；
D)∠AOE和∠DOE是对顶角。
(2)如右图中直线AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分线
且∠BOE=50度，那么∠AOE=（ ）
A）80度 B）100度 C）130度 D）150度
A
B
C
D
O
E
练习：
C
C
50O
(3)如上图，直线AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分线，
请你补充一个条件，求出∠DOE.
你补充的条件是∠DOE ＝80° ， ∠DOE= 130°.
数学源于生活，必将用于生活
临海巾山双塔
临海是一座历史文化古城，拥有很多的历史古迹。其中就有巾山双塔，为了实地测量古塔（如图１)外墙底角（如图2中∠ABC）的大小，李霞同学设计了两种测量方案：
方案1：作AB的延长线，量出∠CBD的度数，便知∠ABC的度数；
方案2：作AB的延长线，CB的延长线，量出∠DBE的度数，便知∠ABC的度数。
请你解释方案1、方案2所应用的数学道理.
图1
A
B
C
图2
D
E
思考题： (合作讨论)
两条直线相交，最多有几对对顶角？
三条直线相交，最多有几对对顶角？
四条直线相交，最多有几对对顶角？
n条直线相交，最多有几对对顶角？
(2)如图1，三条直线ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ两两相交，在这个图形中，有对顶角____对，邻补角____对.
6
12
练习：
(3)如图1，三条直线ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ相交于一点，在这个图形中，有对顶角____对，邻补角____对.
6
12
5、(1)如图1，两条直线ＣＤ、ＥＦ相交，在这个图形中，有对顶角____对，邻补角____对.
A
B
图1
C
E
F
D
４
２
4×3=12对
n×(n-1)对
①今天我们学习了哪些数学知识？
②今天我们学到哪些数学方法？
③通过今天学习你认为今后应该怎么处理生活与数学的关系？
①作业本
②收集生活中相交线的图片，并找到其中运用我们所学知识的例子!(共24张PPT)
5.1.2垂线
入水姿势
两条直线相交
一般情况
对顶角：相等
邻补角：互补
特殊情况
复习：
B
A
C
D
O
1
2
3
4
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b，
当α=90°时，a与b垂直.
当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化.
当α≠90°时，a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
观察与思考
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
例如、如图，a、b互相垂直，O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线.
b
a
O
从垂直的定义可知，
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
一、垂直的定义
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图5.1-6中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗？
十字路口的两条道路
围棋盘的横线和竖线
铅垂线和水平线
b
a
O
A
B
C
D
O
A
B
O
A
M
B
N
图1
图4
图3
图2
b
a
1）图形：
O
α
2）文字：a、b互相垂直，
垂足为O
3）符号：a⊥b或b⊥a，
若要强调垂足，
则记为：a⊥b，垂足为O
2.垂直的表示：
A
B
C
D
O
书写形式：
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O.
①判定：∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
书写形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°.
②性质：∵AB⊥CD（已知）
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
3.垂直的书写形式：
练习1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能断定两条直线垂直的是（ ）
（A）有一个角为90° （B）有两个角相等
（C） 有三个角相等 （D）有四个角相等
（E）有四对邻补角 （F）有一对对顶角互补
（G）有一对邻补角相等 （H）有两组角相等
A C D F G
O
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则OE与AB的位置关系
是 .
C
D
A
B
O
E
1
2
切记：要证垂直必先想到直角（90°）
联想数学
练习2.
OE⊥AB
A
C
E
B
D
O
1
∴∠EOB=90°(垂直的定义)
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD
=90°+55°=145°
(
解：
∵AB⊥OE（已知）
∵∠BOD=∠1=55°
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠1=55°，求∠EOD的度数.
（对顶角相等）
1.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？
2.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B，经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？
过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？
问题：
怎么样画垂线？
垂线的画法
问题：
这样画l的垂线可以画几条？
1放、
2靠、
3画线、
l
O
如图，已知直线l，作l的垂线.
工具：直尺、三角板
A
无数条
1.垂线的画法：
结论：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条，而且只能作一条.
问题：过已知直线l和l上(或外)的一点A，作l的垂线，可以作几条？
注意：
过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
垂线的性质（1）
①过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ ）.
A B C D
C
练习3.
E
E
E
注意：画线段（或射线）的垂线时，有时要将线段延长（或将射线反向延长）后再画垂线.
②
练习5.点O是直线AB上的一点，OC是射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，试确定OE与OF的位置关系．并说明理由．
A
B
O
C
E
F
1
2
1、垂线的定义
2、垂线的画法
3、垂线的性质（1）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移；四、画
小结：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
课后作业：
配套练习中剩余题目(共11张PPT)
同位角、内错角、同旁内角
如图：直线AB、CD相交于O，图中有哪些角具有特殊位置关系？这些角数量上有什么关系？
知识回顾：
如图：两条直线AB、CD都与第三条直线EF相交，构成几个小于平角的角？
6
7
5
8
直线 、 被直线 所截
同位角
内错角
同旁内角
∠1和∠5
∠4和∠8
∠2和∠6
∠3和∠7
∠3和∠5
∠4和∠6
∠4和∠5
∠3和∠6
截线
被截直线
如图：找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.
1
2
3
4
5
6
7
8
同位角、内错角和同旁内角的结构特征：
三个英文字母代表三种角，哪三个字母呢？
能力挑战：看图填空
（1）若ED，BF被AB所截， 则∠1与____是同位角.
∠2
能力挑战：看图填空
（2）若ED，BC被AF所截， 则∠3与___是内错角.
∠4
能力挑战：看图填空
（3）∠2与∠AFB是AB和AF被___所截构成的______角.
BC
同旁内
1. （1）如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠3与∠4呢？∠2与∠4呢？
（2）如果把图看成是直线CD，EF被直线AB所截，那么∠1与∠5是一对什么角？∠4与∠5呢？
A
B
C
D
E
F
１
２
３
４
５
（3）哪两条直线被哪一条直线所截， ∠2与∠5是同位角
∠1与∠2是一对同位角，
∠3与∠4是一对内错角，
∠2与∠4是一对同旁内角.
∠1与∠5是一对同旁内角， ∠4与∠5是一对内错角.
直线AB，CD被直线EF所截
课内练习
如图：找出图中数字标注的角的同位角，内错角，同旁内角.
1
2
3
4
5
6
