(共18张PPT)
6.1 平方根
（第1课时）
平方根是初中数学中的重要概念，与之对应的开平方运算是学生在学习了加、减、乘、除、乘方等五种运算的基础上引入的一种新的运算．它们为引入无理数作铺垫，是学习实数的准备知识，同时也是今后学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根是偶次方根的特例．
课件说明
课件说明
学习目标：
（1）了解算术平方根的概念．
（2）会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示．
学习重点：
算术平方根的概念和求法．
请你说一说解决问题的思路．
1.情境导入
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
（1）若正方形的面积如下，请填表：
（2）你能指出它们的共同特点吗？
正方形的面积/dm2 1 9 16 36
正方形的边长/dm2
1.情境导入
都是已知一个正数的平方，求这个正数.
例如，由于 ，5是25的算术平方根，
即 ．
规定：0的算术平方根是0 ，也就是说，若 ，则 ．
一般地，如果一个正数的平方等于 ， 即 ，那么这个正数 叫做 的算术
平方根． 的算术平方根记为 ，读作
“根号 ”， 叫做被开方数．
2.总结概念
例1：求下列各数的算术平方根：
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1）因为 ，
所以100的算术平方根是10 ．
即 ．
3.例题解析
3.例题解析
解：（2）因为 ，
所以 的算术平方根是 ．
即 ．
例1：求下列各数的算术平方根：
（1） ；（2） ；（3） ．
3.例题解析
解：（3）因为 ，
所以0.0001的算术平方根是0.01 ．
即 ．
例1：求下列各数的算术平方根：
（1） ；（2） ；（3） ．
求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
4.练习
5.提出问题
被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系呢？
-4有算术平方根吗？什么数才有算术平方根？
例2：下列各式是否有意义，为什么？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
解：
（1）无意义；
（4）有意义．
（3）有意义；
（2）有意义；
6.例题解析
能否用两个面积为1的小正方形
拼成一个面积为2的大正方形？
7.提出问题
7.提出问题
能否用两个面积为1 dm2的小正方形
拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
7.提出问题
能否用两个面积为1 dm2的小正方形
拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
拼成的这个面积为 2 dm2 的大正方形的
边长应该是多少呢？
7.提出问题
？
解：设大正方形的边长为x dm，
则
由算术平方根的定义，
得 ．
所以大正方形的边长为 dm．
有多大呢？
（1）什么是算术平方根？
如何求一个正数的算术平方根？
（2） 什么数才有算术平方根？
8.归纳小结
教科书41页 练习 第1、2题
9.布置作业(共14张PPT)
6.1 平方根
自学指导（一）
自学课本45页表格及表格下第一自然段，完成表格并理解平方根的概念.
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或二次方根.如果x2 =a，那么x叫做a
的平方根.
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开平方
平方
平方运算与开平方运算互为逆运算.
合作探究（一）
结合下图，比较平方运算与开平方运算.
正数的平方根有几个，有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
例1 . 求下列各数的平方根：
（1）100； （2） ； （3）0.49；
（4） （5） 0
1、正数有两个平方根，它们互为相反数；
3、负数没有平方根.
2、0的平方根是0.
自我检测：相信你是最棒的！
判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3； （ ）
（2）49的平方根是7； （ ）
（3）(－2)2的平方根是±2； （ ）
（4）－1 是 1的平方根； （ ）
×
×
√
√
（5） 的平方根是 ±4，16的算术平方根是4. （ ）
×
自学课本46页归纳下第一自然段及例5，学会用符号表示a的平方根，a的负的平方根，a的算术平方根.
自学指导（二）
a的平方根表示为
x2 = a
表示a的负的平方根
符号表示
±
a
表示a的算数平方根
a
－
a
(a≥0)
±
a
x =
1、下列各式有意义吗？
±
（3）
自我检测
2、求下列各式的值
（4）
1、a的一个平方根是3，则另一个平方 根是 ，a= .
2、81的平方根是___， 的算术平方根是__.
3、3a-2和2a-3是一个正数的两个平方 根，则这两个平方根是__和__，这个数是__.
-3
9
拓展与应用（一）
3
1
-1
1
拓展与应用（二）
已知 ，则2x+5的平方
根为_____.
这节课我们学到了哪些知识？
归纳提升：
1、数的平方根的概念，运用根号表示一个数的平方根；
2、平方根与算术平方根的区别.
3、求一些数的平方根.
4、平方运算与开平方运算互为逆运算.
分层作业：
必做题：课本47页4、5题
选做题：课本48页11题(共14张PPT)
3分米
要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？
这个问题实际上就是求：
答：9平方分米
这是已知底数和指数，求幂的运算
乘方运算
引入
？分米
反过来，要做一张面积是3平方分米的方桌面，它的边长是多少分米？
实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：
显然，括号里应是±3，但－3不符题意.
∴方桌面的边长应是3分米.
9平方分米
你还能举出类似的等式吗？
(1) ( )2=4； (2) ( )2=0.36；
(3) ( )2= ； (4) ( )2=81；
平方根的定义：如果x2=a ，那么x就叫做a的平方根（二次方根）.
归纳
开平方的定义：求一个数a的平方根的
运算，叫做开平方.
如：3和-3都是9的平方根
∴9的平方根是±3
探究
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
平方
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
平方运算与开平方运算的关系
平方与开平方互为逆运算
归纳
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
平方
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
开平方
1、正数有两个平方根，它们互为相反数；
2、0的平方根是0；
3、负数没有平方根.
规定：正数a的正的平方根 叫做a的算数平方根；0的算数平方根是0.
读作“正负根号a”.
表示 a的正的平方根
表示a的负的平方根.
其中a叫做被开方数 .
归纳
平方根的表示方法：
如果x2=a (a≥0)，那么x = .
1、下列等式正确的是( A )
A B
C D
巩固
2、下列各式中没有平方根的是( D )
A B
C D
巩固
3、若一个数的平方根与它算术平方根
的值相同，则这个数是（ B ）
A．1 B．0
C．0或1 D．1、0或-1
巩固
范例
例1、求下列各数的平方根及算数平方根：
(1)
(2)
(3)
(4)
方法：逆用平方运算即求两个互为相
反数，使它的平方等于这个数.
范例
例2、求下列方程：
方法：
1、把x2当作一个整体，求出x2=a；
2、再根据平方根的定义求x.
小结
1、本节课你学了什么知识？
2、你有什么体会？
平方根的定义
平方根的表示
求一个非负数的平方根的方法
算术平方根与平方根的区别、联系(共16张PPT)
6.1 平方根
拼成的这个面积为 2 的大正方形的
边长应该是多少呢？
1．解决问题
有多大呢？
有多大呢？
你是怎样判断出 大于1而小于2的？
你能不能得到 的更精确的范围？
大于1而小于2
因为 ， ，
而 < < ，
所以 ．
1．解决问题
有多大呢？
1．解决问题
因为 ， ，而 ，
所以 ．
因为 ， ，
而 ，所以 ．
因为 ， ，
而 ，所以 ．
……
有多大呢？
1．解决问题
你以前见过这种数吗？
例1 用计算器求下列各式的值： (1) ； (2) （精确到 ）．
解：(1) 依次按键 3136
显示：56．
∴ ．
2．用计算器求算术平方根
(2) 依次按键 2
显示：1.414213562．
∴ ．
你会表示 ， 吗？
3．解决提出的问题
你知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的
速度在什么范围吗？这时它的速度要大于第一
宇宙速度 （单位： ）而小于第二宇宙速度 （单位： ）． ， 的大小满足 ，
，其中 ，R是地球半径， ．怎样求 ， 呢？
3．解决提出的问题
你会计算吗？
因此，第一宇宙速度 大约是 ，
第二宇宙 速度 大约是 ．
利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
… …
… …
5．探究规律
被开方数每扩大100倍，
其算术平方根就扩大10倍
你能用计算器计算 （精确到0.001）吗？
并利用刚才的得到规律说出 ，
的近似值．
你能否根据 的值说出 是多少？
6．应用规律
例2 比较大小：
7．例题讲解
解：∵ 5＞4，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
小丽想用一块面积为400 cm2为的长方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
7．例题讲解
你能将这个问题转化为数学问题吗？
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm，则有3x 2x=300 ，
6x2=300 ，
x2=50，
x= ， 故长方形纸片的长为 ，宽为 ．
7．例题讲解
长方形的长和宽与正方形的边长之间的大小关系是什么？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
7．例题讲解
因为 50＞49，得 ＞7 ，所以 ＞3×7＝21，比原正方形的边长更长，这是不可能的．所以，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
举例说明如何估算算术平方根的大小．
8．归纳小结
10．布置作业
教科书第44页练习 第1，2(1)、(2)、(4)题；习题6.1第6题
