福建省福州市闽江口协作体2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·福州期末）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二下·福州期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
3．（2023高二下·福州期末）甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·抚顺模拟）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2018高二下·西安期末）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023高二下·福州期末）已知平面的一个法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A． B．
C． D．相交但不垂直
7．（2020高一上·河南月考）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·福州期末）若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023高二下·福州期末）已知复数，其共轭复数为，则（ ）
A．的实部与虚部之和为 B．
C．是纯虚数 D．
三、单选题
10．（2023高二下·福州期末）在下列四个正方体中，能得出的是（ ）
A． B．
C． D．
四、多选题
11．（2023高二下·福州期末）已知函数，，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图像关于点对称
C．在上为增函数
D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
12．（2023高二下·福州期末）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．若，则
五、填空题
13．（2023高二下·福州期末）在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则 ．
14．（2023高二下·福州期末）已知为单位向量，且，若，向量的夹角为，则 ．
15．（2023高二下·福州期末）需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为 米
16．（2023高二下·福州期末）已知，若，则实数的值可以为
六、解答题
17．（2023高一下·文山期中）已知.
（1）当k为何值时，与共线
（2）若=，= 且A，B，C三点共线，求m的值.
18．（2023高二下·福州期末）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知，，分别为三个内角，，的对边，且____．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求；
（2）若，则的面积为，求，．
19．（2023高二下·福州期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（2023高二下·福州期末）为庆祝建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛现把名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：
（1）求的值及这名党员成绩的众数；
（2）若要选取成绩前的党员参加上一级的比赛，则应选取多少分以上的参赛？
21．（2023高二下·福州期末）已知向量，，且函数．
（1）求的周期
（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域．
22．（2018高二下·虎林期末）已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 恰有 个零点，求实数 的取值范围
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】 由 得A∪B= {x|-1则 .
故选：D.
【分析】由并集的定义，先求出A∪B，再利用集合的补集的定义求出 .
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】 由a∈R，a>1推出 ，由a∈R，推出a>1或a<0，
故“”是“”的必要非充分条件.
故选： B.
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
3．【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 记甲乙两人通过考试分别为事件M、N，则有，
则恰有一人通过的概率为P=P()P(N)+ P(M)P()=
故选： B.
【分析】 利用事件的独立性和互斥性公式，即可求出其中恰有一人通过的概率.
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较 的大小
5．【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由 的图象可知，当 ，或 时， ，故函数 是增函数，
时，函数 是减函数，
是函数的极大值点， 是函数的极小值点
所以函数 的图象只能是
故答案为：
【分析】结合导函数与原函数的关系，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】 由 ， 得，故
又由是平面的一个法向量，可得 .
故选： C.
【分析】根据向量的坐标得出与的关系，再根据平面的法向量与平面垂直可得出答案 .
7．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 ， ，
又 在 上单调递增，
在区间 存在唯一零点.
故答案为：C.
【分析】 利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性
【解析】【解答】 由题意可得解得x<-1或x>5，
令= x2-4x- 5，函数= x2-4x- 5在(-∞，-1)上单调递减，(5，+∞)上单调递增，
由函数y=lg是其定义域内单调递增函数，
故要使函数在上单调 ，
即t+1≤-1或t≥5，
解得t≤-2或t≥5，
即实数t的取值范围是
故选：D.
【分析】 由对数函数的真数大于0可得x<-1或x>5，再根据复合函数的单调性可得t+1≤-1或t≥5，进而求解可得出实数的取值范围 .
9．【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】 z=2+2i-3i- 3i2=5- i，即z的实部与虚部之和为5+（-1）=4，故A正确；
，故B正确；
z2=(5-i)2= 24- 10i，故C错误；
，故D错误.
故选： AB.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，求出z，再根据复数的定义，共轭复数的概念以及复数模的公式，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】 对于A，作出过AB的对角面如图，
根据正方体的结构特征可得直线CD与这个对角面垂直，根据线面垂直的性质，可得AB⊥CD成立，故A符合题意；
对于B，作出过AB的等边三角形截面如图，
将CD平移至内侧面，可得CD与AB所成角等于60° ，故B不符合题意；
对于C、D，将CD平移至经过B点的侧棱处，可得AB、CD所成角都是锐角，故C、D不符合题意.
故选：A.
【分析】利用正方体的结构特征，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图像得A=2，，即，则，
又图象过点，故且 ，即
故
由可得 的图像关于点对称，故A、B正确；
由得，故 在上为增函数 ，故C正确；
是偶函数，故D不正确.
故选：ABC
【分析】 根据图象求出f (x)的解析式，可判断A、B；利用三角函数的单调性可判断C；再根据三角函数的图象变换规律化简可判断D.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】 对于A，令a=b=0，则f(0)=0f(0) +0f(0)=0，故A正确；
对于B，令a=b=1，则f(1)= 1f(1)+1f(1)= 2f(1)，则f(1)=0，故B正确；
对于C，令a=b=-1，则f(1)=（-1）f(-1)+（-1）f(-1)=-2f(-1)，故f(-1)=0
又令a=-1， b=x，则f(-x)=（-1）f(x)+xf(-1)=-f(x)+0=-f(x)，故f(x)是奇函数，故C错误；
对于D，令a=2， ，则f(-1)=f[2x()]=2f()+（）f(2)=2f()-（）2=0，即 ，故D正确.
故选：ABD.
【分析】 利用赋值法对a， b取特殊值，代入已知表达式，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】由
又由 得
故
故答案为：
【分析】 在平行六面体中，用表示出， 然后根据空间向量基本定理即可得出x， y， z的值，即可求出 的值.
14．【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由 为单位向量，且， ，得，
则 ，
故答案为：
【分析】 利用向量的数量积求出，再根据向量的夹角的余弦值即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】在△BAD中，∠DAB=75°，∠ABD=45°，AB = 90，则∠ADB=180°-75°-45°=60°，
由得，解得，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，故CD=ADtan30°= ，即塔高CD= m.
故答案为：.
【分析】 利用正弦定理求得AD，再在Rt△ACD中，由CD=ADtan30°求得答案.
16．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由
令m=f(a)，当m≤2时，f(m)=2-m=-2，可得m=4(舍去)
当m>2时，，可得m-1=0.5-2=4，求得m=5，
即f(a)=5，可得或，解得a=-3
故答案为：.
【分析】 令m=f(a)，分m>2和m≤2求出t，进而求解出实数的值 .
17．【答案】（1）解：由题可得，；
.
因为与共线，则；
（2）解：因为A，B，C三点共线，与不共线，所以存在实数λ，使得=λ(λ∈R)，即，整理得，
所以m=.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）分别求出 与 的坐标，利用向量共线的坐标表示可求出k的值；
（2）由 A，B，C三点共线，与不共线，得=λ(λ∈R)， 根据向量线性运算列出方程组，求解可得m的值.
18．【答案】（1）解：若选①
∵．
由正弦定理得，，
∵，∴，即，
∵，∴．
若选②
∵，
由余弦定理，，
∵，∴．
若选③
∵，∴．
∵，，
∴，∴．
（2）解：若选①
∵，，
∴，由余弦定理：，
即，即，
由，，所以，即
所以．
若选②
∵，，
∴，由余弦定理：，
即，即，
由，，所以，即，所以．
若选③
∵，，
∴，由余弦定理：，
即，即，
由，，所以，即，所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 若选①，由正弦定理整理条件即可求出tanA，进而解出A；若选②， 由余弦定理整理条件即可求cosA，进而解出A；若选③，由三角恒等变换整理条件即可求得A；
(2) 若选①，利用面积公式求得bc=4，再结合余弦定理得到b， c的值；若选②，利用面积公式求得bc=4，再结合余弦定理得到b，c的值；若选③，利用面积公式求得bc=4，再结合余弦定理得到b，c的值.
19．【答案】（1）证明：解法一：
连接，交于点，连接，
底面是正方形，
为的中点，又为的中点，
，
平面，平面，
平面
解法二：
侧棱底面，底面，底面，
，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，．
，
设是平面的一个法向量，
则由，得，
．
，，
又平面，
平面．
（2）解：由知是平面的一个法向量，
又是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)法一：连接，交于点，连接，由底面ABCD是正方形，得OE // PA，再利用线面平行的判定定理可证得 平面；
法二：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量，由向量法证明出PA //平面BDE；
(2) 利用向量法可求出二面角的余弦值．
20．【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
，解得．
由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为．
（2）解：前个小组的频率之和是，
所以第百分位数在第六小组内，设其为，
则，解得，
则可以估计此样本数据的第百分位数为，即应选取93.75分以上的参赛．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中的数据求出a，再根据众数概念即可求解出 名党员成绩的众数； (2)先确定出第90百分位数在第六小组[90，100]内，设其为x，可得求解出x，即可得结论.
21．【答案】（1）解：因为向量，，
所以．
因为，
所以最小正周期．
（2）解：因为将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，
所以．
当时，，，
所以．
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式得，再利用周期公式求得 的周期 ；
(2)先利用函数y=Asin(x + φ)图象的平移变换规律得g(x)，再利用函数y=Asin(x + φ)的值域，计算得函数在的值域．
22．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
∴ ，
又 ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 ，
即
（2）解：由题意得 ，
∴ ，
由 解得 ，
故当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
∴ ，
又 ，
结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，
则 ，解得 ．
∴实数 的取值范围为 ．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【分析】（1）求导数，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式，即可写出曲线过该点的切线的方程，整理成一般式即可；
（2）写出g（x），求导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性求出函数的最值，作出函数的大致图象，结合函数图象，即可求出a的取值范围.
1 / 1福建省福州市闽江口协作体2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·福州期末）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】 由 得A∪B= {x|-1则 .
故选：D.
【分析】由并集的定义，先求出A∪B，再利用集合的补集的定义求出 .
2．（2023高二下·福州期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】 由a∈R，a>1推出 ，由a∈R，推出a>1或a<0，
故“”是“”的必要非充分条件.
故选： B.
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
3．（2023高二下·福州期末）甲乙两人通过考试的概率分别为和，两人同时参加考试，其中恰有一人通过的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】 记甲乙两人通过考试分别为事件M、N，则有，
则恰有一人通过的概率为P=P()P(N)+ P(M)P()=
故选： B.
【分析】 利用事件的独立性和互斥性公式，即可求出其中恰有一人通过的概率.
4．（2020·抚顺模拟）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较 的大小
5．（2018高二下·西安期末）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由 的图象可知，当 ，或 时， ，故函数 是增函数，
时，函数 是减函数，
是函数的极大值点， 是函数的极小值点
所以函数 的图象只能是
故答案为：
【分析】结合导函数与原函数的关系，即可得出答案。
6．（2023高二下·福州期末）已知平面的一个法向量为，，则直线与平面的位置关系为（ ）
A． B．
C． D．相交但不垂直
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】 由 ， 得，故
又由是平面的一个法向量，可得 .
故选： C.
【分析】根据向量的坐标得出与的关系，再根据平面的法向量与平面垂直可得出答案 .
7．（2020高一上·河南月考）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 ， ，
又 在 上单调递增，
在区间 存在唯一零点.
故答案为：C.
【分析】 利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间.
8．（2023高二下·福州期末）若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性
【解析】【解答】 由题意可得解得x<-1或x>5，
令= x2-4x- 5，函数= x2-4x- 5在(-∞，-1)上单调递减，(5，+∞)上单调递增，
由函数y=lg是其定义域内单调递增函数，
故要使函数在上单调 ，
即t+1≤-1或t≥5，
解得t≤-2或t≥5，
即实数t的取值范围是
故选：D.
【分析】 由对数函数的真数大于0可得x<-1或x>5，再根据复合函数的单调性可得t+1≤-1或t≥5，进而求解可得出实数的取值范围 .
二、多选题
9．（2023高二下·福州期末）已知复数，其共轭复数为，则（ ）
A．的实部与虚部之和为 B．
C．是纯虚数 D．
【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】 z=2+2i-3i- 3i2=5- i，即z的实部与虚部之和为5+（-1）=4，故A正确；
，故B正确；
z2=(5-i)2= 24- 10i，故C错误；
，故D错误.
故选： AB.
【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，求出z，再根据复数的定义，共轭复数的概念以及复数模的公式，逐项进行判断，可得答案.
三、单选题
10．（2023高二下·福州期末）在下列四个正方体中，能得出的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】 对于A，作出过AB的对角面如图，
根据正方体的结构特征可得直线CD与这个对角面垂直，根据线面垂直的性质，可得AB⊥CD成立，故A符合题意；
对于B，作出过AB的等边三角形截面如图，
将CD平移至内侧面，可得CD与AB所成角等于60° ，故B不符合题意；
对于C、D，将CD平移至经过B点的侧棱处，可得AB、CD所成角都是锐角，故C、D不符合题意.
故选：A.
【分析】利用正方体的结构特征，逐项进行判断，可得答案.
四、多选题
11．（2023高二下·福州期末）已知函数，，，的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图像关于点对称
C．在上为增函数
D．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象
【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图像得A=2，，即，则，
又图象过点，故且 ，即
故
由可得 的图像关于点对称，故A、B正确；
由得，故 在上为增函数 ，故C正确；
是偶函数，故D不正确.
故选：ABC
【分析】 根据图象求出f (x)的解析式，可判断A、B；利用三角函数的单调性可判断C；再根据三角函数的图象变换规律化简可判断D.
12．（2023高二下·福州期末）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意，都满足，则下述正确的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】 对于A，令a=b=0，则f(0)=0f(0) +0f(0)=0，故A正确；
对于B，令a=b=1，则f(1)= 1f(1)+1f(1)= 2f(1)，则f(1)=0，故B正确；
对于C，令a=b=-1，则f(1)=（-1）f(-1)+（-1）f(-1)=-2f(-1)，故f(-1)=0
又令a=-1， b=x，则f(-x)=（-1）f(x)+xf(-1)=-f(x)+0=-f(x)，故f(x)是奇函数，故C错误；
对于D，令a=2， ，则f(-1)=f[2x()]=2f()+（）f(2)=2f()-（）2=0，即 ，故D正确.
故选：ABD.
【分析】 利用赋值法对a， b取特殊值，代入已知表达式，逐项进行判断，可得答案.
五、填空题
13．（2023高二下·福州期末）在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则 ．
【答案】
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】由
又由 得
故
故答案为：
【分析】 在平行六面体中，用表示出， 然后根据空间向量基本定理即可得出x， y， z的值，即可求出 的值.
14．（2023高二下·福州期末）已知为单位向量，且，若，向量的夹角为，则 ．
【答案】
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由 为单位向量，且， ，得，
则 ，
故答案为：
【分析】 利用向量的数量积求出，再根据向量的夹角的余弦值即可求出答案.
15．（2023高二下·福州期末）需要测量某塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为 米
【答案】
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】在△BAD中，∠DAB=75°，∠ABD=45°，AB = 90，则∠ADB=180°-75°-45°=60°，
由得，解得，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，故CD=ADtan30°= ，即塔高CD= m.
故答案为：.
【分析】 利用正弦定理求得AD，再在Rt△ACD中，由CD=ADtan30°求得答案.
16．（2023高二下·福州期末）已知，若，则实数的值可以为
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】由
令m=f(a)，当m≤2时，f(m)=2-m=-2，可得m=4(舍去)
当m>2时，，可得m-1=0.5-2=4，求得m=5，
即f(a)=5，可得或，解得a=-3
故答案为：.
【分析】 令m=f(a)，分m>2和m≤2求出t，进而求解出实数的值 .
六、解答题
17．（2023高一下·文山期中）已知.
（1）当k为何值时，与共线
（2）若=，= 且A，B，C三点共线，求m的值.
【答案】（1）解：由题可得，；
.
因为与共线，则；
（2）解：因为A，B，C三点共线，与不共线，所以存在实数λ，使得=λ(λ∈R)，即，整理得，
所以m=.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【分析】（1）分别求出 与 的坐标，利用向量共线的坐标表示可求出k的值；
（2）由 A，B，C三点共线，与不共线，得=λ(λ∈R)， 根据向量线性运算列出方程组，求解可得m的值.
18．（2023高二下·福州期末）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知，，分别为三个内角，，的对边，且____．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（1）求；
（2）若，则的面积为，求，．
【答案】（1）解：若选①
∵．
由正弦定理得，，
∵，∴，即，
∵，∴．
若选②
∵，
由余弦定理，，
∵，∴．
若选③
∵，∴．
∵，，
∴，∴．
（2）解：若选①
∵，，
∴，由余弦定理：，
即，即，
由，，所以，即
所以．
若选②
∵，，
∴，由余弦定理：，
即，即，
由，，所以，即，所以．
若选③
∵，，
∴，由余弦定理：，
即，即，
由，，所以，即，所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1) 若选①，由正弦定理整理条件即可求出tanA，进而解出A；若选②， 由余弦定理整理条件即可求cosA，进而解出A；若选③，由三角恒等变换整理条件即可求得A；
(2) 若选①，利用面积公式求得bc=4，再结合余弦定理得到b， c的值；若选②，利用面积公式求得bc=4，再结合余弦定理得到b，c的值；若选③，利用面积公式求得bc=4，再结合余弦定理得到b，c的值.
19．（2023高二下·福州期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：解法一：
连接，交于点，连接，
底面是正方形，
为的中点，又为的中点，
，
平面，平面，
平面
解法二：
侧棱底面，底面，底面，
，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，．
，
设是平面的一个法向量，
则由，得，
．
，，
又平面，
平面．
（2）解：由知是平面的一个法向量，
又是平面的一个法向量．
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)法一：连接，交于点，连接，由底面ABCD是正方形，得OE // PA，再利用线面平行的判定定理可证得 平面；
法二：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的一个法向量，由向量法证明出PA //平面BDE；
(2) 利用向量法可求出二面角的余弦值．
20．（2023高二下·福州期末）为庆祝建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛现把名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：
（1）求的值及这名党员成绩的众数；
（2）若要选取成绩前的党员参加上一级的比赛，则应选取多少分以上的参赛？
【答案】（1）解：根据频率分布直方图得：
，解得．
由众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为．
（2）解：前个小组的频率之和是，
所以第百分位数在第六小组内，设其为，
则，解得，
则可以估计此样本数据的第百分位数为，即应选取93.75分以上的参赛．
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中的数据求出a，再根据众数概念即可求解出 名党员成绩的众数； (2)先确定出第90百分位数在第六小组[90，100]内，设其为x，可得求解出x，即可得结论.
21．（2023高二下·福州期末）已知向量，，且函数．
（1）求的周期
（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域．
【答案】（1）解：因为向量，，
所以．
因为，
所以最小正周期．
（2）解：因为将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，
所以．
当时，，，
所以．
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用平面向量数量积的坐标运算和辅助角公式得，再利用周期公式求得 的周期 ；
(2)先利用函数y=Asin(x + φ)图象的平移变换规律得g(x)，再利用函数y=Asin(x + φ)的值域，计算得函数在的值域．
22．（2018高二下·虎林期末）已知函数
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 恰有 个零点，求实数 的取值范围
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ．
∴ ，
又 ，
∴曲线 在点 处的切线方程为 ，
即
（2）解：由题意得 ，
∴ ，
由 解得 ，
故当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
∴ ，
又 ，
结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，
则 ，解得 ．
∴实数 的取值范围为 ．
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点
【解析】【分析】（1）求导数，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，利用点斜式，即可写出曲线过该点的切线的方程，整理成一般式即可；
（2）写出g（x），求导数，利用导数研究函数的单调性，结合函数的单调性求出函数的最值，作出函数的大致图象，结合函数图象，即可求出a的取值范围.
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