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一元二次方程-判别式及根与系数关系
知识回顾
一根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
二.根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，，反过来也成立，即，.
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
典例精练
1.下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1
C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
2.关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3.函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
4.关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且k≠1 B．且k≠1 C． D．
5.如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
6.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝ ．
7.设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为 ．
8.关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝ ．
9.设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为 ．
10.已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
同步练习
1．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
2.已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_________．
3.若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4.一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定
5.一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
6.已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________．
7.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____________．
8.关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
中考真题
1．（2023·天津·统考中考真题）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
4．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________．
6．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．
7．（2023·四川达州·统考中考真题）已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________．
8．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．
9．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程的根为，则的值为____________．
10．（2023·湖南·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
11．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．
12．（2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2﹣x1x2的值等于_____．
13．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
针对练习
1．关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
2．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3.已知、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于
A．7 B．7或6 C．6或 D．6
4.若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
5.．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则________（写出一个满足条件的值）．
6．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________．
7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
8．已知a、b是方程的两根，则___________．
9.已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
10.已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
11．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
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一元二次方程-判别式及根与系数关系
知识回顾
一根的判别式：利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
二.根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，，反过来也成立，即，.
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
典例精练
1.下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1
C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
【分析】利用根的判别式△＝b2﹣4ac逐一求出四个方程的△的值，取其为正值的选项即可得出结论．
【解答】解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；
B、方程变形为x2﹣2x+1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根；
C、方程变形为x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，
∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根；
D、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2+1＝0没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
2.关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】根据根的判别式△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4＞0即可作出判断．
【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）
＝k2﹣4k+4+16﹣4k
＝k2﹣8k+20
＝k2﹣8k+16+4
＝（k﹣4）2+4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
3.函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】先利用一次函数的性质得k＜0，b＜0，再计算判别式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据图象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，﹣4k＞0，
因为△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，
所以△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
4.关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且k≠1 B．且k≠1 C． D．
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0两种情况，利用根的判别式求解可得．
【解答】解：当k﹣1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程．
∵关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得；
当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为3x+1＝0，显然有解；
综上，k的取值范围是，
故选：D．
【点评】本题主要考查根的判别式和一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
5.如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（ ）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
【分析】根据方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，将α2+β﹣2αβ变形为α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．
【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
6.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）＝ ．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4，
故答案为：4
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
7.设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为 ．
【分析】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣3，
∴5．
故答案为﹣5．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
8.关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝ ．
【分析】根据根与系数的关系求得x1+x2＝2，x1 x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，然后将其代入已知等式列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1、x2，
∴x1+x2＝2，x1 x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，
∴x12﹣x1＝﹣m+x1，
∵x12﹣x1+x2＝3x1x2，
∴﹣m+x1+x2＝3x1x2，
即﹣m+2＝3m，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系．解题时，借用了“一元二次方程的解的定义”这一知识点．
9.设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，
＝4（）﹣1
＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1
＝4×16﹣8﹣1
＝55，
故答案为：55
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
10.已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】(1)见解析；(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
同步练习
1．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
2.已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数_________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入已知等式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
3.若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键．
4.一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程中，，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键．
5.一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键
6.已知关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为__________，另一个根为__________．
【答案】；
【分析】将代入原方程，解得，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，
∴
解得：，
设原方程的另一个根为，则，
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_____________．
【答案】m＞-1
【分析】根据有两个不相等的实数根得到＞0，解不等式即可．
【详解】解：根据题意，得＞0，
解得 m＞-1；
故答案为m＞-1．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，解决问题的关键是掌握判别式和方程根之间的关系：当＞0时，原方程有两个不相等的实数根，当=0时，原方程有两个相等的实数根，当＜0时，原方程无实数根．
8.关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求m的取值范围．
【分析】（1）计算判别式的值，利用配方法得到△＝（m﹣4）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论．
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根据题意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，
∴△＝b2﹣4ac
＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，
∴x．
∴x1＝m﹣2，x2＝2．
∵此方程有一个根小于1．
∴m﹣2＜1．
∴m＜3．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
中考真题
1．（2023·天津·统考中考真题）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
2．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
3．（2023·全国·统考中考真题）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
4．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
5．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设方程的两个根分别为a，b，
由题意得：，，
∴，
∴，解得：，
经检验：是分式方程的解，
检验：，
∴符合题意，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
6．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7．（2023·四川达州·统考中考真题）已知是方程的两个实数根，且，则的值为___________．
【答案】7
【分析】根据根与系数的关系求出与的值，然后整体代入求值即可．
【详解】∵是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
，
，
∴解得．
故答案为：7．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
8．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________．
【答案】2
【分析】根据根与系数的关系得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
9．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程的根为，则的值为____________．
【答案】6
【分析】解方程，将解得的代入即可解答．
【详解】解：，
对左边式子因式分解，可得
解得，，
将，代入，
可得原式，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握计算方法是解题的关键．
10．（2023·湖南·统考中考真题）已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
【答案】5
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据该方程一个根为，即可求出另一个根．
【详解】解：根据题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，．
11．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若是关x的方程的解，则的值为___________．
【答案】2019
【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．
12．（2022春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2﹣x1x2的值等于_____．
【答案】2
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得：
x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
13．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】(1)见解析；(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
针对练习
1．（2023·四川·统考中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．
【详解】解：，
其中，，，
∴，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
2．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
所以原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
3.已知、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于
A．7 B．7或6 C．6或 D．6
【解答】解：、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
当或时，即，
方程为，
解得：，
当时，即△，
解得：，
综上所述，的值等于6或7，
故选：．
4.若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
【解答】解：，是方程的两个实数根，
，，即，
则原式
．
故选：．
于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 且 ．
【解答】解：根据题意得且△，
解得且；
故答案为且．
5.．（2023·甘肃武威·统考中考真题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则________（写出一个满足条件的值）．
【答案】（答案不唯一，合理即可）
【分析】先根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，解得，根据的取值范围，选取合适的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
当时，满足题意，
故答案为：（答案不唯一，合理即可）.
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当时，一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
6．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
7．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
【答案】
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1） 方程有两个不相等的实数根；（2） 方程有两个相等的实数根；（3） 方程没有实数根．
8．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a、b是方程的两根，则___________．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
9.已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）由题意得，关于，的方程组的相同解，就是方程组的解，
解得，，代入原方程组得，，；
（2）当，时，关于的方程就变为，
解得，，
又，
以、、为边的三角形是等腰直角三角形．
10.已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（2）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求k的值（k为整数）．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到△＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；
（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．
【解答】（1）证明：当k≠0时，
∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴△＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，
∴△＝（2k﹣3）2≥0，
当k＝0时，3x﹣3＝0，
解得x＝1．
∴无论k取何值，方程都有实根；
（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，
解得k．
故k的值；
（3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x，
∴此方程的两个根分别为x1＝1，x2＝3，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．
11．设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】选②，，；选③，，
【分析】先根据判别式判断一元二次方程根的情况，再利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解一元二次方程，解题的关键是掌握：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程没有实数根．
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