2023-2024学年贵州省六校联盟高三（上）实用性联考数学试卷（一）（含解析）

2023-2024学年贵州省六校联盟高三（上）实用性联考数学试卷（一）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设，则( )
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
3. 将个不同的小球平均放入个不同的盒子中，有多少种不同的放法？( )
A. B. C. D.
4. 设函数为奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5. 设直线与双曲线相交于，两点，为上不同于，的一点，直线，的斜率分别为，，若的离心率为，则( )
A. B. C. D.
6. 若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 在锐角中，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 数列满足，且，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 下列说法正确的是( )
A. 数据，，，，，，，，，的分位数是
B. 应用最小二乘法所求的回归直线一定经过样本点的中心
C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
D. 离散型随机变量的方差反映了随机变量取值的波动情况
10. 已知抛物线：的顶点为，准线为，焦点为，过作直线交抛物线于，两点在的左边，则( )
A.
B. 若直线经过点，则
C. 线段的最小值为
D. 若，则直线的斜率为
11. 函数的图象如图所示，则以下结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.
12. 骰子通常作为桌上游戏的小道具最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字，，，，，，现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，，，假定每次闯关互不影响，则( )
A. 挑战第关通过的概率为
B. 直接挑战第关并过关的概率为
C. 连续挑战前两关并过关的概率为
D. 若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则
二、非选择题（共90分）
13. 已知向量，且，则 ______ ．
14. 已知底面半径为，高为的圆锥，用一个平行于底面的平面去截该圆锥得体积相等的两个几何体，则所截得的圆台的高为______ ．
15. 已知圆：，过直线：上任意一点，作圆的两条切线，切点分别为，两点，则的最小值为______ ．
16. 已知函数，相邻两个零点的距离为，且在区间上有个不同的零点，则个零点之和的取值范围是______ ．
17. 在中，内角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
若，且边上的中线长为，求的面积．
18. 已知在正项数列中，，当时，．
求数列的通项公式；
已知数列满足，为数列的前项和，证明：．
19. 为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经过三轮的筛选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当参赛甲、乙两位中有一位先赢得三局比赛时，则该选手获胜，则比赛结束每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响假设甲在每一局获胜的概率均为．
若比赛进行三局就结束的概率为，求的最小值；
记中，取得最小值时，的值为，以作为的值，用表示甲、乙实际比赛的局数，求的分布列及数学期望．
20. 如图，四棱柱的底面为矩形，，为中点，平面平面，且D.
证明：；
若此四棱柱的体积为，求二面角的正弦值．
21. 已知椭圆经过点．
求的离心率；
直线交于，两点，若直线，关于直线对称，求的斜率．
22. 已知函数在处的切线方程为．
求实数，的值；
证明：函数有两个零点，，且．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，则，
所以．
故选：．
由复数的四则运算结合模长公式求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，
，
则．
故选：．
分别把集合，表示出来，然后找两个集合的公共元素即可．
本题考查集合的运算，不等式的解法，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意根据先分组再排列知共有种．
故选：．
根据平均分组的方法即可得到答案．
本题考查排列组合相关知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：若函数有意义，则有，解得或，
故函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，
又为奇函数，则为偶函数，
有，即，解得．
故选：．
函数为奇函数，函数为奇函数，则有函数为偶函数，由可求实数的值．
本题主要考查了函数奇偶性的性质与判断，考查转化思想与运算能力，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可知点，关于原点对称，
设，，，
则有，，
又，，都在双曲线上，
则，，
两式相减得，
则，
得，
即，
又由，
则．
故选：．
设点，，的坐标，代入双曲线方程，利用点差法化简可得，求值即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了运算能力，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：函数在区间上单调递减，
由函数在定义域内单调递增，
则函数在区间上单调递减，且恒成立，可得．
故选：．
由题意，利用复合函数的单调性结合函数定义域，求得实数的取值范围．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在锐角中，由，得，
于是，解得，，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用二倍角的正弦，结合余弦函数的性质求解作答．
本题主要考查了二倍角公式的应用，考查了余弦函数的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列递推式，判断出数列为公差是的等差数列，并求得是关键，考查分析应用能力．属于中档题．
依题意，得，可判断出数列为公差是的等差数列，进一步可求得，即其首项为，从而可得，继而可得答案．
【解答】
解：，即，
数列为公差是的等差数列，
又，
，即其首项为，
，
．
，，，，，
若，则的最小值为，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：因为，所以分位数是，故A错误；
对于选项B：根据回归直线的定义可知：回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；
对于选项C：由在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，故C正确；
对于：由方差的性质可知：方差反映了随机变量取值的波动情况，方差越大，波动性越大，故D正确．
故选：．
对于：根据百分位数的定义运算求解；对于：根据回归直线的定义分析判断；对于：根据残差的定义分析判断；对于：根据方差的定义分析判断．
本题主要考查了百分位数的计算，考查了线性回归方程的性质，以及方差的定义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：选项，抛物线的标准方程为，准线为，则，
准线方程，解得，故A正确；
焦点，过作直线交抛物线于，两点，显然的斜率存在，
设直线的方程为，
联立整理得，恒成立，
设，，
则，，
所以，
选项，若直线经过点，则，，故B错误；
选项，当时，的最小值为，故C正确；
选项，由，得，
又，，，解得，，
又因为，所以，故D正确．
故选：．
由抛物线方程的准线求的值判断选项A；设直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式表示出，代入点验证选项B；利用算式判断最小值验证选项C；利用所给条件解出，，得到直线斜率验证选项D．
本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，化归转化思想，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：由的图象可知在和上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，在处取得极小值，
又，即和为方程的两根且，
由韦达定理得，，
，，，，故A错误，B正确；
，，故C正确，D错误．
故选：．
由的图象得到函数的单调区间与极值，求出函数的导函数，即可得到和为方程的两根且，利用韦达定理即可表示出、，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于中，闯第关时，，满足条件的点数有，，三种情况，
所以挑战第关通过的概率为，所以A错误；
对于中，直接挑战第关，则，
所以投掷两次点数之和应大于，即点数为，，，，共种情况，
故直接挑战第关并过关的概率为，所以B正确；
对于中，连续挑战前两关并过关的概率为，所以C正确；
对于中，由题意可知，抛掷次的基本事件有个，
抛掷次至少出现一个点的基本事件共有个，故，
而事件包括：含，，的个，含，，的有个，一共有个，故，
所以，所以D正确．
故选：．
根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，相互独立事件的概率乘法公式，以及条件概率的计算方法，逐项判定，即可求解．
本题考查古典摡型、相互独立事件、条件概率概率计算公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，可得，
又由，
可得，
则．
故答案为：．
根据题意，求得，结合，即可求解．
本题考查了平面向量的模的运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，圆锥的底面半径为，高为的圆锥，
用一个平行于底面的平面去截该圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，
设所截得的圆锥的底面半径为，则截得该圆锥的高为，
因截得两个几何体体积相等，所以截得的圆锥体积为原圆锥体积的一半，
所以，得，
则所截的圆台的高为．
故答案为：．
根据题意，设所截得的圆锥的底面半径为，由于截得的圆锥体积为原圆锥体积的一半体积，利用体积公式可得截得的圆锥半径为，进而计算可得答案．
本题考查圆锥、圆台的体积计算，注意圆锥、圆台的结构特征和体积计算公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，圆：的圆心为，半径为，
如图所示，
根据圆的切线长公式，可得，
则，
当取最小值时，取最小值，此时，则，
则．
故答案为：．
根据圆的切线长公式，结合，利用圆的性质，即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题知，所以，即，
区间上方程有个不同实数根，
令，解得，
分别令，，得三条对称轴分别为，
，令，解得，，令，则，
作出图形如图所示，
则，
所以，则个零点之和的取值范围是．
故答案为：．
由函数的最小正周期得到，作出函数图像，问题转化为区间上方程有个不同实数根，利用曲线的对称性和正弦函数的性质，求个零点之和的取值范围．
本题主要考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合解题思想，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
故，即，
因为，
所以，
故，
所以，
所以；
设的中点为，
则，
两边同时平方得：，
因为，，，
所以，
在中，由余弦定理，可得，
由可得，
则，
所以．
【解析】由题意利用正弦定理和倍角公式化简得，可得角的大小；
利用中线的向量性质，结合余弦定理求出的值，利用三角形的面积公式即可求的面积．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：由，得，
数列的各项都为正数，，，即，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
证明：由知，，
，
，
，
，，
，
故，得证．
【解析】对已知等式分解因式，结合各项都为正数，可得，从而知是首项为，公比为的等比数列，进而求出的通项公式；
由可得，再利用分组求和法与裂项求和法，可得证．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等比数列的通项公式与前项和公式，裂项求和法，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：三局就结束比赛的概率为，
由，
当；当，
所以在上递减，在上递增，
所以，当时，取得最小值为．
由知，，
设实际比赛局数为，则的可能取值为，，，
所以，
，
，
的分布列为：
．
【解析】若比赛进行三局就结束，则甲连胜三局或乙连胜三局，求出概率，利用导数求的最小值；
由知的值，的可能取值为，，，依次计算概率，列分布列，利用公式求数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
20.【答案】证明：因为平面平面，
平面平面，平面，，
所以平面，
因为，所以平面，
又因为平面
所以D.
解：取中点，连接，因为，所以，
又因为平面平面，
平面平面，
所以平面，
所以为四棱柱的高，
设，则，，
所以四棱柱的体积，
解得，
以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设二面角的平面角为，
则，
所以，
即二面角的正弦值为．
【解析】推导出平面，平面，从而；
取中点，连接，则，推导出平面，由四棱柱的体积求出，以为坐标原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属中档题．
21.【答案】解：因为椭圆经过点，
将点代入，可得，即，
解得或舍去，
所以，
又因为，
所以，
所以椭圆的离心率为．
由可知的方程为，
由题意，直线斜率存在，
设：，且，，
联立方程组，整理得，
则，可得，
且，
因为直线，关于直线对称，
所以，
可得，
整理得，
代入可得，
即，即，
解得或，
当时，即，
可得，即，
此时直线经过点，不符合题意，
所以直线的斜率为．
【解析】将点代入，求得，结合离心率的定义，即可求解；
设：，且，，联立方程组，得到，，再由，得到，整理得，进而求得直线的斜率．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：函数，求导得，
显然切线的斜率为，且切点坐标为，
于是，，
所以，．
证明：由知：，
，函数定义域为，
当时，；当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由零点存在性定理知：在和上各存在唯一的零点，
不妨令，由，
得，
显然，即有，
则，因此，
设，，求导得，
函数在上单调递增，
所以，
所以．
【解析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答．
由求出函数的解析式，探讨函数单调性，结合零点存在性定理探讨，的取值范围，利用零点的意义构造函数，再利用导数求解作答．
本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的切线问题，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．
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