1.1 勾股定理的证明 同步练习 2023--2024学年北师大版八年级数学上册（含解析）

1.1 勾股定理的证明 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则EF的长为（　　）
A．9 B． C． D．3
2．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝7，BC＝8，则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．2
3．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，连接EC，若正方形ABCD的面积为10，EC＝BC，则小正方形EFGH的面积为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、b（b＞a），则（a+b）2的值为（　　）
A．16 B．9 C．4 D．3
5．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（　　）
A．25 B．19 C．13 D．169
6．如图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为8，每个直角三角形比小正方形的面积均小1，则每个小直角三角形的周长是（　　）
A．5+ B．9+ C．10+ D．14
7．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝27，大正方形面积为15，则小正方形面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
8．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（　　）
A． B．2 C． D．3
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
10．意大利著名画家达 芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（　　）
A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab
二．填空题（共5小题）
11．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果AB＝15，AH＝9，则四边形GFEH的面积为 　 　．
12．“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾（如图①）．小丽同学深受“赵爽弦图”的启发，设计出一个图形（如图②）．已知△ABC和△DEF都是等边三角形，D、E、F分别在线段BE、CF和AD上，且满足EC：EF＝1：2，若AC＝5，则EF＝　 　．
13．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，则小正方形与大正方形的面积之比为 　 　．
14．魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF＝2，CF＝4，则AE的长为　 　．
15．在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，AB＜BC）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么
＝　 　．
三．解答题（共4小题）
16．阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明，实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．
（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为 　 　，正方形PQMN的面积可表示为 　 　.（用含a，b的式子表示）
（2）请结合图2用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系．
（3）已知a+b＝7，ab＝5，求正方形EFGH的面积．
17．如图叫“赵爽弦图”，此图由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．它是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，其巧妙地利用图形的面积证明了“勾股定理”，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．
（1）请你写出“勾股定理”的内容；
（2）请你利用图形面积，结合图片完成勾股定理的证明．
18．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
19．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（如图中图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 　 　个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明．
1.1 勾股定理的证明 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则EF的长为（　　）
A．9 B． C． D．3
【解答】解：由题意可得，
a2+b2＝25，ab＝8，
∴（a﹣b）2
＝a2﹣2ab+b2
＝（a2+b2）﹣2ab
＝25﹣2×8
＝25﹣16
＝9，
由图可知：EF2＝（a﹣b）2+（a﹣b）2，
∴EF2＝9+9，
解得EF＝3，
故选：C．
2．在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB＝7，BC＝8，则小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形，
设每个直角三角形的较大的直角边为x，较小的直角边为y，
∵AB＝7，BC＝8，
∴，
解得，
∴小正方形的边长为＝．
故选A．
3．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，连接EC，若正方形ABCD的面积为10，EC＝BC，则小正方形EFGH的面积为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴CH⊥BE，
∵EC＝BC，
∴HE＝HB，
∴BE＝2HE，
∴HC＝2HE，
设正方形EFGH的边长为a，则HB＝HE＝a，HC＝2a，
∴S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BHC＝a2+4××HB HC＝a2+4××a 2a＝5a2＝10，
∴a2＝2，
故选：A．
4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是5，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别是a、b（b＞a），则（a+b）2的值为（　　）
A．16 B．9 C．4 D．3
【解答】解：由题意可知：大正方形的面积＝a2+b2＝5，4个直角三角形的面积之和＝，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝5+4＝9．
故选：B．
5．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（　　）
A．25 B．19 C．13 D．169
【解答】解：由条件可得：，
解之得：．
所以（a+b）2＝25，
故选：A．
6．如图是在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为8，每个直角三角形比小正方形的面积均小1，则每个小直角三角形的周长是（　　）
A．5+ B．9+ C．10+ D．14
【解答】解：设直角三角形的较长直角边是a，较短直角边是b，斜边是c，
∴ab＝8﹣1＝7，
∴ab＝14，
∵小正方形的边长是a﹣b，
∴（a﹣b）2＝8，
∴a2+b2﹣2ab＝8，
∴a2+b2＝36，
∵c2＝a2+b2＝36，
∴c＝6，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36+2×14＝64，
∴a+b＝8，
∴每个小直角三角形的周长是a+b+c＝8+6＝14，
故选：D．
7．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝27，大正方形面积为15，则小正方形面积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
【解答】解：∵（a+b）2＝27，
∴a2+2ab+b2＝27，
∵直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，
∴大正方形的边长为．
∵大正方形的面积为15，
∴，
∴a2+b2＝15，
∴2ab＝27﹣15＝12，
∴小正方形的面积为15﹣12＝3．
故选：A．
8．如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝10，大正方形面积为25，则小正方形边长为（　　）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×10＝5，
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣20＝5，
∵a﹣b＞0，
∴a﹣b＝．
故选：C．
9．我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，
∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，
∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴D选项不能证明勾股定理．
故选：D．
10．意大利著名画家达 芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设左图中空白部分的面积为S1，右图中空白部分的面积为S2，则下列表示S1，S2的等式成立的是（　　）
A．S1＝a2+b2+2ab B．S1＝a2+b2+ab
C．S2＝c2 D．S2＝c2+ab
【解答】解：观察图象可知：S1＝S2＝a2+b2+ab＝c2+ab，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果AB＝15，AH＝9，则四边形GFEH的面积为 　9　．
【解答】解：∵△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，
∴AH＝DE＝9，AD＝AB＝15，
在Rt△ADE中，
AE＝＝＝12，
∴HE＝AE﹣AH＝12﹣9＝3，
∵四边形EFGH是正方形，
∴四边形GFEH的面积为9，
故答案为：9．
12．“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾（如图①）．小丽同学深受“赵爽弦图”的启发，设计出一个图形（如图②）．已知△ABC和△DEF都是等边三角形，D、E、F分别在线段BE、CF和AD上，且满足EC：EF＝1：2，若AC＝5，则EF＝　　．
【解答】解：过C作CH⊥AF于H，设CE＝x，则EF﹣2x，
∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴∠BFD＝∠BEF＝∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠DAC+∠ACF＝∠ACF+∠BDF，∠AFC＝∠CEB，
∴∠DAC＝∠BCF，
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴AF＝CE＝x，
在Rt△CFH中，CF＝3x，∠CFD＝60°，
∴CH＝CFcos60°＝x，FH＝CFsin60°＝x，
∴AC＝＝5，
解得：x＝，
∴EF＝2x＝，
故答案为：．
13．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，则小正方形与大正方形的面积之比为 　1：5　．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是1和2，
∴小正方形的边长为1，
根据勾股定理得：大正方形的边长＝，
∴．
故答案为：1：5．
14．魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF＝2，CF＝4，则AE的长为　6　．
【解答】解：∵BF＝2，CF＝4，
∴BC＝BF+CF＝2+4＝6，
∵AB∥EC，
∴＝，即＝，
解得：CE＝12，
在Rt△ADE中，AD＝6，DE＝DC+CE＝6+12＝18，
根据勾股定理得：AE＝＝6，
故答案为：6．
15．在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示，AB＜BC）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，那么
＝　　．
【解答】解：∵小正方形的面积是25，
∴EB＝5，
∵△HAG≌△BCA，
∴AH＝CB，
∵大正方形的面积为49，
∴BH＝7，
∴AB+AH＝7，
设AB＝x，
则AH＝7﹣x，
在Rt△ABC中：x2+（7﹣x）2＝52，
解得：x1＝4，x2＝3，
当x＝4时，7﹣x＝3，
当x＝3时，7﹣x＝4，
∵AB＜BC，
∴AB＝3，BC＝4，
∴＝，
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
16．阅读材料，解决问题：
三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明，实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．
（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为 　（a+b）2　，正方形PQMN的面积可表示为 　（a﹣b）2　.（用含a，b的式子表示）
（2）请结合图2用面积法说明（a+b）2，ab，（a﹣b）2三者之间的等量关系．
（3）已知a+b＝7，ab＝5，求正方形EFGH的面积．
【解答】解：（1）正方形ABCD的面积可表示为 （a+b）2，正方形PQMN的面积可表示为（a﹣b）2．
故答案为：（a+b）2，（a﹣b）2；
（2）∵正方形ABCD的面积＝正方形MNPQ的面积+直角三角形的面积×8，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+ab×8，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣直角三角形的面积×4，
∴正方形EFGH的面积＝（a+b）2﹣ab×4＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×5＝39．
17．如图叫“赵爽弦图”，此图由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．它是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，其巧妙地利用图形的面积证明了“勾股定理”，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．
（1）请你写出“勾股定理”的内容；
（2）请你利用图形面积，结合图片完成勾股定理的证明．
【解答】解：（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（2）由图可知：，
∴a2﹣2ab+b2+2ab＝c2，
∴a2+b2＝c2．
故：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．
18．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题
（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．
（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
由面积的两种算法可得：，
解得：CD＝．
（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，
在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得＝．
19．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（如图中图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 　3　个；
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明．
【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．
（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）
②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即c2＝ab×4+（b﹣a）2，
化简得：a2+b2＝c2．
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．
即（a+b）2＝c2+ab×4，
化简得：a2+b2＝c2．
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．
即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，
化简得：a2+b2＝c2．
（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；
故答案为：3；
②结论：S1+S2＝S3．
∵S1+S2＝π（）2+π（）2+S3﹣π（）2，
∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，
∴a2+b2＝c2．
∴S1+S2＝S3．