一次函数(其中练习无答案)

一次函数
一、知识要点
1、函数概念：在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
2、一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
说明： （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定.
（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数.
（3）当b=0，k≠0时，y=b仍是一次函数.
（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.
3、一次函数的图象（三步画图象）
由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．
由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.
4、一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质（正比例函数的性质略）
（1）k的正负决定直线的倾斜方向；①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；
②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；
①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；
②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；
③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；
5、确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数y=kx（k≠0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值．
（2）由于一次函数y=kx+b（k≠0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y的值．
6、待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数．
7、用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；
（3）求出k与b的值，得到函数表达式．
8、本章思想方法
（1）函数方法。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系。
（2）数形结合法。数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法。
二、典型例题
例1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？
例2、 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg的物体，弹簧就伸长0．5cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判断y是否是x的一次函数．
例3、（2003·厦门）某物体从上午7时至下午4时的温度M（℃）是时间t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 __ ℃．
例4、已知y+m与x-n成正比例（其中m，n是常数）
　　（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；在什么条件下，y是x的正比例函数？
（2）如果x=-1时，y=-15；x=7时，y=1，求这个一次函数的解析式。并求这条直线与坐标轴围成的三角形的面积。
例5、（哈尔滨）若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1﹤x2时，y1＞y2，则m的取值范围是_____________
例6、一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式为 .
例7、我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共200吨．按合同，每吨荔枝售价为人民币0.3万元，每吨芒果售价为人民币0.5万元．现设销售这两种水果的总收入为人民币y万元，荔枝的产量为x吨（0＜x＜200）．
　 （1）请写出y关于x的函数关系式；
　 （2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的20％，但不大于60％，请求出y值的范围．
单元测试
一、选择题
1.已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P(升)与耗油时间t(小时)之间的函数关系式为（ ）
A.P=25+5t B.P=25－5t
C.P= D.P=5t－25
2.函数y=的自变量的取值范围是（ ）
A.x≥3 B.x＞3
C.x≠0且x≠3 D.x≠0
3.函数y=3x+1的图象一定通过（ ）
A.（3，5） B.（－2，3）
C.（2，7） D.（4，10）
4.下列函数中，图象经过原点的有（ ）
①y=2x－2 ②y=5x2－4x ③y=－x2 ④y=
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.某市自来水公司年度利润表如图，观察该图表可知，下列四个说法中错误的是（ ）
A.1996年的利润比1995年的利润增长－2173.33万元
B.1997年的利润比1996年的利润增长5679.03万元
C.1998年的利润比1997年的利润增长315.51万元
D.1999年的利润比1998年的利润增长－7706.77万元
6.下列函数中是一次函数的是（ ）
A.y=2x2－1 B.y=－
C.y= D.y=3x+2x2－1
7.已知函数y=(m2+2m)x+(2m－3)是x的一次函数，则常数m的值为（ ）
A.－2 B.1 C.－2或－1 D.2或－1
8.如图所示的图象是直线ax+by+c=0的图象，
则下列条件中正确的为（ ）
A.a=b,c=0 B.a=－b,c=0
C.a=b,c=1 D.a=－b,c=1
9.若函数y=2x+3与y=3x－2b的图象交x轴于同一点，则b的值为（ ）;若交y轴于同一点，则b的值为（ ）
A.－3 B.－ C.9 D.－
10.函数y=2x+1与y=－x+6的图象的交点坐标是（ ）
A.(－1,－1) B.(2,5) C.(1,6) D.(－2,5)
二、填空题
11.已知函数y=3x－6，当x=0时，y=______;当y=0时，x=______.
12.在函数y=中，自变量x的取值范围是______.
13.长沙向北京打长途电话，设通话时间x(分)，需付电话费y(元)，通话3分以内话费为3.6元.请你根据如图所示的y随x的变化的图象，找出通话5分钟需付电话费______元.
14.已知直线经过原点和P（－3,2），那么它的解析式为______.
15.已知一次函数y=－(k－1)x+5随着x的增大，y的值也随着增大，那么k的取值范围是______.
16.一次函数y=1－5x经过点（0，______）与点（______，0），y随x的增大而______.
17.一次函数y=(m2－4)x+(1－m)和y=(m－1)x+m2－3的图象与y轴分别交于点P和点Q，若点P与点Q关于x轴对称，则m=______.
18.假定甲乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道：这是一次______米赛跑；甲、乙两人中先到达终点的是______；乙在这次赛跑中的速度为______米/秒.
三、解答题
19.北京到天津的低速公路约240千米，骑自行车以每小时20千米匀速从北京出发，t小时后离天津S千米.
(1)写出S与t之间的函数关系式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）回答:①8小时后距天津多远？②出发后几小时，到两地距离相等？
20.已知正比例函数的图象上有一点P，它的纵坐标与横坐标的比值是－.
(1)求这个函数的解析式;
(2)点P1(10,－12)、P2(－3,36)在这个函数图象上吗？为什么？
21.作出函数y=x－4的图象，并回答下面的问题：
(1)求它的图象与x轴、y轴所围成图形的面积;
(2)求原点到此图象的距离.
22.如图一次函数y=kx+b的图象经过点A和点B.
(1)写出点A和点B的坐标并求出k、b的值; (2)求出当x=时的函数值
.
23.一次函数y=(2a+4)x－(3－b),当a、b为何值时
（1）y随x的增大而增大；
（2）图象与y轴交在x轴上方；
（3）图象过原点.
24.判断三点A（1，3）、B（－2，0）、C（2，4）是否在同一条直线上，为什么？
25.为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，所使用的便民卡和如意卡在×市范围内每月（30天）的通话时间x(分钟)与通话费y(元)的关系如图 所示：
分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式.
26.为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费；超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费.设某户每月用水量为x（立方米），应交水费为y(元).
(1)分别写出未超过7立方米和多于7立方米时，y与x的函数关系式;
(2)如果某单位共有50户，某月共交水费541.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？
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