人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线 学案（知识清单+典型例题+巩固提升）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-09-07 20:08:48 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学上册 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 导学案
【知识清单】
三角形的高
1. 三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点
和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。如图，线段AD是BC边上的高。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
2. 表示：1.AD是△ABC的BC上的高线；2.AD⊥BC于D；3.∠ADB=∠ADC=90°。
3. 三角形高的交点位置：锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。如下图所示。
图1 图2 图3
4.三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 3 1 1
高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形的内部 直角顶点 三角形的外部
三角形的中线
1. 三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线。
2.表示：1.AD是△ABC的BC上的中线；2.BD=DC=BC.
3.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。重心一定在三角形内。
三角形的角平分线
1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
2. 表示：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线；2.∠1=∠2=∠BAC.
3. 三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。
【典型例题】
考点1：三角形的高
例1．如图于点，那么图中以为高的三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】由于于，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数．
【详解】解：于，
而图中有一边在直线上，且以为顶点的三角形有6个，
以为高的三角形有6个．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
考点2：三角形的垂心
例2．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部
C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点
D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部
【答案】D
【分析】根据三角形三条边的垂直平分线的性质判断即可．
【详解】A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故正确；
B、锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部，故正确；
C、直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点，故正确；
D、钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，故错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形三条边的垂直平分线的性质，熟练掌握三角形三条边的垂直平分线的性质是解题的关键．
考点3：三角形的中线
例3．如图，在中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，，进而得到，推出，即可得解．
【详解】解：连接，
∵D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高三角形的面积比等于底边比，是解题的关键．
考点4:三角形角平分线
例4．如图，的角平分线，中线交于点O，则：
结论Ⅰ：是的角平分线；
结论Ⅱ：是的中线.
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对
【答案】C
【分析】根据三角形角平分线和中线的定义判断即可．
【详解】解：是的角平分线，
平分，即平分，
结论Ⅰ：是的角平分线，正确；
是的中线，
点是的中点，而点不一定是的中点，
结论Ⅱ：是的中线，错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形角平分线和中线的定义，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线．
【巩固提升】
选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行 B．若，则
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．三角形的三条高至少有一条在三角形内部
2．如图，在中，，点A为动点，且满足，则的面积最大值为（ ）
A．10 B．6 C．9 D．3
3．给出下列说法：①从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点的到这条直线的距离；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，在中，是中点，是中点，连结、，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，李笑用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，则他支起的这个点应是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．最长边的中点
7．下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角
C．三角形的角平分线在三角形的内部 D．三条线段组成的图形叫三角形
8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题
9．下列命题中：①三角形的高必交于一点；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数有 个．
10．如图，，是的角平分线，，相交于点F，若，则 ．
11．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
12．如图，是的中线．若，则的周长为 ．
13．如图，是的中线，它们相交于点O．若的面积是12，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形三条 的交点．（请从“高”、“角平分线”、“中线”中选择）
15．三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”）
16．下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．
三、解答题
17．如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均落在格点上，请按下列要求用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中，作直线，使；
(2)在图2中，作边上的高．
18．如图，在中，已知点D，E在边上并且，连接和，若的面积用表示，的面积用表示，的面积用表示，那么之间有什么数量关系？并加以说明．
19．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)若，则．
(2)三角形的三条高线相交于三角形内一点．
20．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)先画出的边上的中线，再找一个格点E，使得；
(2)在网格中找一个格点D，使．
21．如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：
(1)请画图找出的重心点；
(2)请在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，说明点满足的条件并写出这个三角形．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，．将平移得到，A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为，
(1)写出平移后的另外两个顶点的坐标，（ ， ），（ ， ）；
(2)请在图中画出：
(3)求的面积．
参考答案
1．D
【分析】根据平行线的性质和判定，不等式的性质，三角形的高线的性质，进行判断即可．
【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故选项A错误；
B、若，当时，则，故选项B错误；
C、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故选项C错误；
D、三角形的三条高至少有一条在三角形内部，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，不等式的性质，三角形的高线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
2．A
【分析】首先根据题意得到当A点到的距离等于4时，的面积最大，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：为动点，且满足，
点A到的距离小于或等于4，
当A点到的距离等于4时，的面积最大，
即的面积最大值为．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．B
【分析】根据点到直线的距离，三角形角平分线的定义，三角形的高，中线的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点的到这条直线的距离，故①不正确，不符合题意；
②三角形的角平分线是线段，故②不正确，不符合题意；
③三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形内,也可在三角形的边上，还可以在三角形外，故③不正确，不符合题意；
④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故④正确，符合题意；；
⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，故⑤正确，符合题意．
故正确的有④⑤
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，三角形角平分线的定义，三角形的高，中线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．D
【分析】由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，①
∴，②
∴①+②得：，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键．
5．B
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算，由此即可求解．
【详解】解：是中点，的面积为，
∴，
是中点，
∴，，
∵，
∴的面积为，
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
6．A
【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．
【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．
7．C
【分析】根据三角形角平分线的定义，对顶角的性质，平行线的性质及三角形的定义逐一判断可得．
【详解】解：、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误，不符合题意；
、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误，不符合题意；
、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项正确；
、三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫三角形，此选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的定义、三角形角平分线的定义、对顶角的性质及平行线的性质．
8．D
【分析】利用三角形面积公式画出使，，然后过点作的平行线可确定满足条件的点个数．
【详解】解：如图，满足条件的点有6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．
9．2
【分析】利用三角形的高的性质、平行公理、垂线的定义及平行线的定义逐一判断即可．
【详解】解：①三角形的高所在直线必交于一点，原说法错误，故原命题是假命题；
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误，故原命题是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法正确，故原命题是真命题；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，故原命题是真命题，
故答案为：2
【点睛】本题考查了三角形高的性质、平行公理应用、平行线的定义及垂线的定义，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
10．/67度
【分析】根据题意，在直角三角形中中求出，在直角三角形中求出．
【详解】解：，
是的角平分线
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，利用垂直和角平分线即可，争取掌握角与角的关系是解答此题的关键．
11．钝角
【分析】根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高交于三角形外部进行求解即可．
【详解】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【点睛】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解题的关键．
12．
【分析】根据三角形中线的定义求出，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，熟知三角形中线的定义是解题的关键．
13．4
【分析】由是的中线，可得，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了中线的性质．解题的关键在于熟练掌握：顶点到中线交点的距离与中线交点到对边中点的距离的比值为．
14．中线
【分析】支撑点应是三角形的重心，根据三角形重心是三角形得三条中线的交点．
【详解】解：支撑点是三角形的重心，三角形的重心是三角形得三条中线的交点，
故答案为：中线．
【点睛】本题考查了三角形的重心的概念和性质．
15．线段
【分析】三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．据此得出．
【详解】解：三角形的角平分线是线段．
故选B．
【点睛】掌握三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段．
16．21
【分析】利用割补法求四边形的面积即可．
【详解】解：．
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了在方格中求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握格点的特点，注意运用割补法．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据网格的特点找到过点的网格对角线，即可求解；
（2）根据三角形的高的定义以及网格的特点，找到格点，则即为所求．
【详解】（1）如图，为所求直线；
（2）如图，为所求的高
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，画平行线，画三角形的高，熟练掌握网格的特点是解题的关键．
18．，理由见解析
【分析】作出三角形的高，根据面积公式验证即可．
【详解】解：．理由如下：
如图，作，垂足为F，
则是的边上的高，
也是的边上的高，还是的边上的高．
由三角形面积公式得
，
．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是找到三个三角形的共同的高．
19．(1)假命题，理由见解析
(2)假命题，理由见解析
【分析】（1）根据当时，，即可判断命题真假；
（2）根据三角形垂线的性质即可判断命题真假．
【详解】（1）解：假命题，利用如下：
∵当时，，当时，，
∴若，则或，
∴该命题是假命题；
（2）解：∵锐角三角形的三条高线交于三角形内一点，直角三角形的三条高线交于直角顶点；钝角三角形的三条高线交于三角形外一点，
∴命题三角形的三条高线相交于三角形内一点是假命题．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，三角形垂心的性质，熟知相关知识是解题的关键．
20．(1)见解析；见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点M，连接；然后取格点（或），即可求解；
（2）取格点D，连接，则，从而得到．
【详解】（1）解：如图，中线、点（或）即为所求．
（2）解：如图，点D即为所求．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及平行线的性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析；
【分析】（1）找到的中点，连接交于点即可求解；
（2）根据三角形的三条中线交于一点，找到的中点，根据任意两点组成的三角形的面积是面积的，则这个点在上．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，找到的中点，连接交于点，连接，延长交于点，
依题意，在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，则满足题意，
即点要满足的条件是：经过三边的中点，且与一边平行，这个三角形是．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
22．(1)0，1，，0
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）根据点通过平移后对应点，可得向左平移4个单位，向下平移2个单位得到，据此可得平移后点、坐标；
（2）根据（1）中所求的点、坐标描出点、，再连接、、即可；
（3）利用矩形面积减去三个直角三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：∵将平移得到，点通过平移后对应点，
∴将向左平移4个单位，向下平移2个单位得到，
∵，，
∴、，
即、，
故答案为：0，1，，0；
（2）解：如图所示，
（3）解：，
即的面积为4．
【点睛】本题考查根据平移的坐标变换确定平移方式，根据坐标描点，利用网格求三角形面积，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
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人教版八年级数学上册 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 导学案
【知识清单】
三角形的高
1. 三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点
和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高。如图，线段AD是BC边上的高。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
2. 表示：1.AD是△ABC的BC上的高线；2.AD⊥BC于D；3.∠ADB=∠ADC=90°。
3. 三角形高的交点位置：锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交点在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。如下图所示。
图1 图2 图3
4.三角形的三条高的特性
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量 3 1 1
高之间是否相交 相交 相交 不相交
高所在的直线是否相交 相交 相交 相交
三条高所在直线的交点的位置 三角形的内部 直角顶点 三角形的外部
三角形的中线
1. 三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线。
2.表示：1.AD是△ABC的BC上的中线；2.BD=DC=BC.
3.三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。重心一定在三角形内。
三角形的角平分线
1.三角形的角平分线定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。
2. 表示：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线；2.∠1=∠2=∠BAC.
3. 三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点。
【典型例题】
考点1：三角形的高
例1．如图于点，那么图中以为高的三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】由于于，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线上，由此即可确定以为高的三角形的个数．
【详解】解：于，
而图中有一边在直线上，且以为顶点的三角形有6个，
以为高的三角形有6个．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
考点2：三角形的垂心
例2．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部
C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点
D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部
【答案】D
【分析】根据三角形三条边的垂直平分线的性质判断即可．
【详解】A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故正确；
B、锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部，故正确；
C、直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点，故正确；
D、钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，故错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形三条边的垂直平分线的性质，熟练掌握三角形三条边的垂直平分线的性质是解题的关键．
考点3：三角形的中线
例3．如图，在中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，，进而得到，推出，即可得解．
【详解】解：连接，
∵D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即：；
故选C．
【点睛】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高三角形的面积比等于底边比，是解题的关键．
考点4:三角形角平分线
例4．如图，的角平分线，中线交于点O，则：
结论Ⅰ：是的角平分线；
结论Ⅱ：是的中线.
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对
【答案】C
【分析】根据三角形角平分线和中线的定义判断即可．
【详解】解：是的角平分线，
平分，即平分，
结论Ⅰ：是的角平分线，正确；
是的中线，
点是的中点，而点不一定是的中点，
结论Ⅱ：是的中线，错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形角平分线和中线的定义，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，连接三角形的顶点和对边中点的线段叫三角形的中线．
【巩固提升】
选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行 B．若，则
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．三角形的三条高至少有一条在三角形内部
2．如图，在中，，点A为动点，且满足，则的面积最大值为（ ）
A．10 B．6 C．9 D．3
3．给出下列说法：①从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点的到这条直线的距离；②三角形的角平分线是射线；③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在中，是边上的中线，的周长比的周长多3，与的和为13，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，在中，是中点，是中点，连结、，若的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，李笑用铅笔尖可以支起一张均匀的三角形硬纸板，则他支起的这个点应是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．最长边的中点
7．下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角
C．三角形的角平分线在三角形的内部 D．三条线段组成的图形叫三角形
8．如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题
9．下列命题中：①三角形的高必交于一点；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数有 个．
10．如图，，是的角平分线，，相交于点F，若，则 ．
11．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）
12．如图，是的中线．若，则的周长为 ．
13．如图，是的中线，它们相交于点O．若的面积是12，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形三条 的交点．（请从“高”、“角平分线”、“中线”中选择）
15．三角形的角平分线是 ．（填“射线”、“线段”、或“直线”）
16．下图中每个小方格的边长为1个单位长，则格点四边形（四个顶点A、B、C、D都在格点上）的面积为 ．
三、解答题
17．如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均落在格点上，请按下列要求用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中，作直线，使；
(2)在图2中，作边上的高．
18．如图，在中，已知点D，E在边上并且，连接和，若的面积用表示，的面积用表示，的面积用表示，那么之间有什么数量关系？并加以说明．
19．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)若，则．
(2)三角形的三条高线相交于三角形内一点．
20．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)先画出的边上的中线，再找一个格点E，使得；
(2)在网格中找一个格点D，使．
21．如图，的顶点在正方形网格的格点上，请按要求画图并回答问题：
(1)请画图找出的重心点；
(2)请在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，说明点满足的条件并写出这个三角形．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，．将平移得到，A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为，
(1)写出平移后的另外两个顶点的坐标，（ ， ），（ ， ）；
(2)请在图中画出：
(3)求的面积．
参考答案
1．D
【分析】根据平行线的性质和判定，不等式的性质，三角形的高线的性质，进行判断即可．
【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故选项A错误；
B、若，当时，则，故选项B错误；
C、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故选项C错误；
D、三角形的三条高至少有一条在三角形内部，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，不等式的性质，三角形的高线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
2．A
【分析】首先根据题意得到当A点到的距离等于4时，的面积最大，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：为动点，且满足，
点A到的距离小于或等于4，
当A点到的距离等于4时，的面积最大，
即的面积最大值为．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．B
【分析】根据点到直线的距离，三角形角平分线的定义，三角形的高，中线的定义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点的到这条直线的距离，故①不正确，不符合题意；
②三角形的角平分线是线段，故②不正确，不符合题意；
③三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形内,也可在三角形的边上，还可以在三角形外，故③不正确，不符合题意；
④任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故④正确，符合题意；；
⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，故⑤正确，符合题意．
故正确的有④⑤
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，三角形角平分线的定义，三角形的高，中线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．D
【分析】由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，①
∴，②
∴①+②得：，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键．
5．B
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算，由此即可求解．
【详解】解：是中点，的面积为，
∴，
是中点，
∴，，
∵，
∴的面积为，
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
6．A
【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．
【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．
7．C
【分析】根据三角形角平分线的定义，对顶角的性质，平行线的性质及三角形的定义逐一判断可得．
【详解】解：、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误，不符合题意；
、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误，不符合题意；
、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项正确；
、三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫三角形，此选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的定义、三角形角平分线的定义、对顶角的性质及平行线的性质．
8．D
【分析】利用三角形面积公式画出使，，然后过点作的平行线可确定满足条件的点个数．
【详解】解：如图，满足条件的点有6个．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．
9．2
【分析】利用三角形的高的性质、平行公理、垂线的定义及平行线的定义逐一判断即可．
【详解】解：①三角形的高所在直线必交于一点，原说法错误，故原命题是假命题；
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原说法错误，故原命题是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法正确，故原命题是真命题；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，故原命题是真命题，
故答案为：2
【点睛】本题考查了三角形高的性质、平行公理应用、平行线的定义及垂线的定义，熟练掌握其基础知识是解题的关键．
10．/67度
【分析】根据题意，在直角三角形中中求出，在直角三角形中求出．
【详解】解：，
是的角平分线
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，利用垂直和角平分线即可，争取掌握角与角的关系是解答此题的关键．
11．钝角
【分析】根据锐角三角形三条高交于三角形内部，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高交于三角形外部进行求解即可．
【详解】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的外部，则这个三角形是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【点睛】本题主要考查了三角形垂心，熟知锐角三角形，直角三角形，钝角三角形垂心所在的位置是解题的关键．
12．
【分析】根据三角形中线的定义求出，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵是的中线，，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，熟知三角形中线的定义是解题的关键．
13．4
【分析】由是的中线，可得，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了中线的性质．解题的关键在于熟练掌握：顶点到中线交点的距离与中线交点到对边中点的距离的比值为．
14．中线
【分析】支撑点应是三角形的重心，根据三角形重心是三角形得三条中线的交点．
【详解】解：支撑点是三角形的重心，三角形的重心是三角形得三条中线的交点，
故答案为：中线．
【点睛】本题考查了三角形的重心的概念和性质．
15．线段
【分析】三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线．据此得出．
【详解】解：三角形的角平分线是线段．
故选B．
【点睛】掌握三角形的角平分线与角的平分线的区别．角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段．
16．21
【分析】利用割补法求四边形的面积即可．
【详解】解：．
故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了在方格中求四边形的面积，解题的关键是熟练掌握格点的特点，注意运用割补法．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据网格的特点找到过点的网格对角线，即可求解；
（2）根据三角形的高的定义以及网格的特点，找到格点，则即为所求．
【详解】（1）如图，为所求直线；
（2）如图，为所求的高
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，画平行线，画三角形的高，熟练掌握网格的特点是解题的关键．
18．，理由见解析
【分析】作出三角形的高，根据面积公式验证即可．
【详解】解：．理由如下：
如图，作，垂足为F，
则是的边上的高，
也是的边上的高，还是的边上的高．
由三角形面积公式得
，
．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是找到三个三角形的共同的高．
19．(1)假命题，理由见解析
(2)假命题，理由见解析
【分析】（1）根据当时，，即可判断命题真假；
（2）根据三角形垂线的性质即可判断命题真假．
【详解】（1）解：假命题，利用如下：
∵当时，，当时，，
∴若，则或，
∴该命题是假命题；
（2）解：∵锐角三角形的三条高线交于三角形内一点，直角三角形的三条高线交于直角顶点；钝角三角形的三条高线交于三角形外一点，
∴命题三角形的三条高线相交于三角形内一点是假命题．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，三角形垂心的性质，熟知相关知识是解题的关键．
20．(1)见解析；见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点M，连接；然后取格点（或），即可求解；
（2）取格点D，连接，则，从而得到．
【详解】（1）解：如图，中线、点（或）即为所求．
（2）解：如图，点D即为所求．
【点睛】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及平行线的性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析；
【分析】（1）找到的中点，连接交于点即可求解；
（2）根据三角形的三条中线交于一点，找到的中点，根据任意两点组成的三角形的面积是面积的，则这个点在上．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，找到的中点，连接交于点，连接，延长交于点，
依题意，在的边上找一点，使它与点，，中的任意两点组成的三角形的面积是面积的，则满足题意，
即点要满足的条件是：经过三边的中点，且与一边平行，这个三角形是．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
22．(1)0，1，，0
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）根据点通过平移后对应点，可得向左平移4个单位，向下平移2个单位得到，据此可得平移后点、坐标；
（2）根据（1）中所求的点、坐标描出点、，再连接、、即可；
（3）利用矩形面积减去三个直角三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：∵将平移得到，点通过平移后对应点，
∴将向左平移4个单位，向下平移2个单位得到，
∵，，
∴、，
即、，
故答案为：0，1，，0；
（2）解：如图所示，
（3）解：，
即的面积为4．
【点睛】本题考查根据平移的坐标变换确定平移方式，根据坐标描点，利用网格求三角形面积，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键．
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