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第1讲 指数与指数函数（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
3．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期中）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
8．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B． 图象关于点成中心对称
C． 的最大值为
D．幂函数在上为减函数，则的值为
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数 ．
①若，则；②；③在上单调递减．
10．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 .
11．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）双曲函数是由以为底的指数函数和所产生的．其定义为：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切．类比三角函数的公式，我们给出如下双曲函数的公式，其中正确公式的序号为 ．
①
②
③
④
四、解答题
12．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
（1）若f(2)＝，求f(x)解析式；
（2）讨论f(x)奇偶性．
13．（2023·高一课时练习）已知函数
(1)若是奇函数，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
14．（2023秋·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知是定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷第2页，共3页
试卷第1页，共1页
【练提升】
一、单选题
1．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)
2．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023春·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
5．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
三、填空题
6．（2023·高一课时练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
7．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
试卷第2页，共2页
试卷第5页，共2页
【练创新】
一、多选题
1．（2023春·重庆·高二统考阶段练习）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．若在定义域上是增函数，则
C．若的值域为，则
D．当时，若，则
二、填空题
2．（2023秋·福建莆田·高一莆田第五中学校考期末）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
3．（2023春·河北唐山·高二校考期末）已知函数（为常数，且，）．
(1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．试卷第1页，共3页
试卷第6页，共1页
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第1讲 指数与指数函数（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
3．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期中）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增
C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减
4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，下面说法正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且，
8．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B． 图象关于点成中心对称
C． 的最大值为
D．幂函数在上为减函数，则的值为
三、填空题
9．（2023·全国·高三专题练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数 ．
①若，则；②；③在上单调递减．
10．（2023秋·河北廊坊·高一校考期末）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，且对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 .
11．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）双曲函数是由以为底的指数函数和所产生的．其定义为：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切．类比三角函数的公式，我们给出如下双曲函数的公式，其中正确公式的序号为 ．
①
②
③
④
四、解答题
12．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）已知函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)．
（1）若f(2)＝，求f(x)解析式；
（2）讨论f(x)奇偶性．
13．（2023·高一课时练习）已知函数
(1)若是奇函数，求的值；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
14．（2023秋·甘肃兰州·高三校考开学考试）已知是定义在上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
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【练提升】
一、单选题
1．（2023秋·新疆省直辖县级单位·高一校考期末）已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1) B．a∈[,1) C．a∈(0,] D．a∈[,2)
2．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2023春·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
5．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
三、填空题
6．（2023·高一课时练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
7．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)判断并证明在上的单调性；
(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
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【练创新】
一、多选题
1．（2023春·重庆·高二统考阶段练习）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．若在定义域上是增函数，则
C．若的值域为，则
D．当时，若，则
二、填空题
2．（2023秋·福建莆田·高一莆田第五中学校考期末）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是 ．
三、解答题
3．（2023春·河北唐山·高二校考期末）已知函数（为常数，且，）．
(1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．试卷第1页，共3页
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【练基础】
参考答案：
1．C
【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】解：因为，
当时函数单调递减，且，
当时函数单调递减，且，
所以函数在上是单调递减，
所以不等式等价于，解得．
即不等式的解集为；
故选：C
2．C
【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.
【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故选：C
3．B
【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；
【详解】解：定义域为，且，
所以为奇函数，
又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；
故选：B
4．A
【分析】求出函数的取值集合，再利用指数函数的单调性求解作答.
【详解】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，
所以函数的值域为.
故选：A
5．A
【分析】根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.
【详解】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．
故选：A
6．A
【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可.
【详解】解：函数，
当时，是增函数，当时，的减函数，
且时，，即图象过点；
符合条件的图象是．
故选：A．
7．AC
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确；化简函数为，结合，求得的取值范围，可判定C正确；结合函数的单调性，可判定D错误.
【详解】对于A中，由，可得函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设，可得，所以，即，解得，
即函数的值域为，所以C正确；
对于D中，对，且，，可得函数为减函数，
而为单调递增函数，所以D错误.
故选：AC.
8．BD
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于m的关系式，进而求解m的值.
【详解】对于A，函数的定义域为，由得，
则函数的定义域为，A错误；
对于B，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，
则函数的图象的对称中心为，B正确；
对于C，函数在R上单调递减，且，
则，即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误；
对于D，因为函数为幂函数，
所以，
解得，D正确.
故选：BD.
9．（答案不唯一）
【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可.
【详解】比如，，故，又，也即成立，
又在上单调递减．
故答案为：.
10．
【分析】由，再根据函数的奇偶性得，两式联立可得，再由参变分离法得在上恒成立，判断函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】函数满足①，所以，由函数的奇偶性可得，②，由①②得，，因为对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立，令，则函数在上为减函数，所以，所以.
故答案为：
11．②④
【分析】根据所给的函数解析式逐个选项判断即可.
【详解】①，错误；
②
，正确；
③
，错误；
④，正确．
故答案为：②④
12．（1）；（2）奇函数．
【分析】（1）根据，求函数的解析式；（2）化简，再判断函数的奇偶性.
【详解】解：（1），．
即，．
即．
（2）因为f(x)的定义域为R，
且，
所以f(x)是奇函数．
13．(1)
(2)
【分析】（1）由奇函数的性质得到，即可求得的值，再检验即可；
（2）设，则，由函数的单调性求得函数的最小值，即可求出参数的取值范围．
【详解】（1）解：∵的定义域为且是奇函数，
∴，即，解得，
此时，则，符合题意．
（2）解：∵在上恒成立，
∴．
令，因为，所以，
所以，，
因为 在单调递增，
所以 ，
即 ，
故，解得，
所以的取值范围是．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数即可求出结果；
（2）根据的奇偶性和单调性即可求出结果.
【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，所以，所以．
此时，经验证，，故．
（2）由（1）可知，
任取，
则，
因为，则，
所以
所以是上的增函数．
由恒成立，
得恒成立，
则，
所以恒成立，
因为，
所以．
实数的取值范围为：．
【练提升】
参考答案：
1．C
【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．
【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
2．D
【分析】先判断函数是奇函数，排除，再排除选项B，即得解.
【详解】解：因为，所以.
所以函数是奇函数，排除选项.
因为，，所以排除选项B.
故选: D
3．B
【分析】由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意可得答案．
【详解】解：，
，
函数是周期为的周期函数，
又当时，，
所以，，，
，
故选：B．
4．ABD
【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.
【详解】令，则．
对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；
对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；
对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
5．BC
【解析】计算得出判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证是奇函数，选项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项C正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】根据题意知，.
∵，
，
，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知在R上是增函数，C正确；
，，，
，，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数，然后才会对函数变形，并作出判断.
6．
【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：由，得，
即，
，，
则，
，则，即．
故答案为：
7．(1)
(2)增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，即可求得实数的值；
（2）判断出函数在上为增函数，然后函数单调性定义证明函数在上为增函数即可；
（3）由已知可得，可得出不等式对任意的恒成立，分、两种情况，结合已知条件可的关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：因为函数为奇函数，且，
则，由，则，
所以，对任意的恒成立，所以，，可得.
（2）证明：由（1）可知，函数在上为增函数，证明如下：
任取、且，则，
所以，
，
所以，，故函数在上为增函数.
（3）解：由可得，
所以，，即对任意的恒成立.
当时，则有，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【练创新】
参考答案：
1．AB
【分析】对于A利用函数奇偶性定义证明；对于B，由增函数定义知即可求解； 对于C，利用指数函数的单调性，求出分段函数每段函数上的值域，结合的值域为，即可求解；对于D，将等价于，利用函数定义域及单调性即可求解；
【详解】对于A，当时，，，；
当时，，，，所以是奇函数，故A正确；
对于B，由在定义域上是增函数，知，解得，故B正确；
对于C，当时，在区间上单调递增，此时值域为，
当时，在区间上单调递增，此时值域为，要使的值域为，则，解得，故C错误；
对于D，当时，由于，则在定义域上是增函数，等价于，
即，解得，故D错误；
故选：AB
2．
【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（ ∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（ ∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．
【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，
因为对任意的，都存在唯一的，满足，
则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
当时，
①当时，，此时，
，解得，
②当时，，
此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，
，解得，
综合得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.
3．(1)；
(2).
【分析】（1）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；
（2）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解.
【详解】（1）当时，在上单调递增，
∴当时，，
对任意的都有成立，转化为恒成立，即对恒成立，
令，则恒成立，即，
由对勾函数的性质知：在上单调递增，故，
∴的取值范围是.
（2）当为偶函数时，对xR都有，即恒成立，即恒成立，
∴，解得，则，
此时，由可得：有实数解
令（当时取等号），则，
∴方程，即在上有实数解，而在上单调递增，
∴.
【点睛】关键点点睛：应用转化与化归思想，第一问转化为对恒成立问题求参数范围；第二问由奇偶性求参数，再将问题转化为有实数解求参数范围.
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