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第4讲 指数函数与对数函数（基础卷）
一、单选题
1．（2023秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
2．（2023·全国·高一假期作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
3．（2023秋·高一课时练习）设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
4．（2023秋·高一课时练习）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
5．（2023·全国·高三专题练习）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若，则a b c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·新疆昌吉·高三校考阶段练习）函数在区间上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2023秋·四川凉山·高一宁南中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称
D．函数在R上为增函数
11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）的图像过定点，则（ ）．
A． B．
C．为R上的增函数 D．的解集为
12．（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为减函数
C．有且只有一个零点 D．的值域为
三、填空题
13．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）已知函数则 .
14．（2023·高一课时练习） ．（用数字作答）
15．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则 ．
四、解答题
17．（2023秋·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期末）已知函数为奇函数
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
18．（2023·高一课时练习）(1)；
(2)．
19．（2023·全国·高一学业考试）已知函数（且）的图象过点．
(1)求a的值；
(2)若，求的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．
20．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，，用，表示.
21．（2023秋·高一课时练习）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
22．（2023秋·山西晋城·高一晋城市第二中学校校考期末）已知函数满足．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若对恒成立，求m的取值范围．
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试卷第4页，共4页
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参考答案：
1．A
【分析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】当时，，
所以函数的图像恒过定点
记，则有，解得
所以.
故选：A
2．C
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故选：C．
3．A
【分析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得．
故选：A.
4．A
【分析】运用对数的运算性质即可求解.
【详解】解析：
故选：A.
5．D
【分析】根据题意所求时间为，利用对数的运算进行求解即可.
【详解】设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；
两边取常用对数，得；
；
所以.
故选：D.
6．A
【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
7．C
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；
【详解】解：∵，∴是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B选项；
∵，∴在上不单调，排除D选项．
故选：C
8．D
【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．
【详解】[方法一]：构造函数（一）
由题意得，
，
，
，
因为函数在上单调递增，
所以，则，
所以.
故选：D.
[方法二]：构造函数（二）
构造，，所以在上单调递增，所以，则，所以.
故选：D.
9．AD
【分析】令，则.讨论的奇偶性和单调性，由得，由的单调性得，解出实数的取值范围即可得到答案.
【详解】令，则，因为，
所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数.
因为，所以，等价于，即，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：AD
10．ABD
【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以函数的定义域为R，因此本选项结论正确；
B：，
由，所以函数的值域为，因此本选项结论正确；
C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，所以本选项结论正确，
故选：ABD
11．BCD
【分析】根据指数函数的性质，逐个选项进行判断即可得答案.
【详解】由题意可得恒成立，故，A错误，
因为根据题意，得，，所以，故B正确，
，所以，为R上的增函数，C正确；
，解得，D正确．
故选：BCD
12．AC
【分析】根据奇函数的定义判断A，根据指数函数的性质判断B、D，令，解方程，即可判断C.
【详解】解：函数，，
，为奇函数．故A正确．
．
在上单调递增，所以在上为增函数．故B错误．
令，则，得到，所以有且只有一个零点．故C正确．
在上为增函数，
令，则，所以，所以，即，解得，．故D错误．
故选：AC．
13．7
【分析】根据函数每段的定义域求解.
【详解】因为函数
所以，
所以7，
故答案为：7
14．1
【分析】利用对数换底公式及性质计算作答.
【详解】
.
故答案为：1
15．1
【分析】由可得出函数所过定点，再由可得出的值，得出答案.
【详解】函数的图象经过定点
所以的图象也过定点， 即
则，所以
故答案为：1
16．1
【分析】利用偶函数定义列出关于的方程，解之即可求得实数的值
【详解】函数为偶函数，则有，
即恒成立
则恒成立
即恒成立
则，经检验符合题意.
故答案为：1
17．(1)，值域为
(2)
【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；
（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.
【详解】（1）函数为奇函数，定义域为，
则，所以，经检验知符合题意；
因为，则
所以函数的值域为.
（2）由题知：当恒成立；
则；
令，
所以；
又，当且仅当时等号成立，
而，所以，
则.
18．(1)2；(2)4.
【分析】(1)将展开再根据对数的运算求解；
(2)根据对数的运算求解即可.
【详解】解:(1)原式
．
(2)原式
．
19．(1)
(2)定义域为，在上单调递增，单调递增区间为
【分析】（1）根据给定条件结合指数式与对数式的互化计算作答.
（2）由（1）求出的解析式，列不等式求定义域，利用奇偶性定义判断作答.
【详解】（1）解：（1）由条件知，即，又且，∴．
（2）（2）．①由，得
，∴的定义域为．∵，
∴是偶函数；②，
∵函数单调递增，函数在上单调递增，故的单调递增区间为．
20．（1）；（2）.
【分析】（1）利用和立方差公式可得答案；
（2）由题可得，然后利用换底公式即得.
【详解】（1）
∵
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
则.
21．(1)见解析；
(2)﹒
【分析】(1)由对数函数的性质，得函数的定义域，再由，能求出函数的值域．
(2)由题设知：当时，函数有最小值，由此能求的值．
【详解】（1）由，得，
函数的定义域，
，
设，
，又，
则．
当时，，值域为．
当时，，值域为．
（2）由题设及(1)知：
当时，函数有最小值，
，
解得．
22．（1）2；（2）；（3）.
【分析】(1)令x=0，直接求出f(0)即可；
(2)把x换成-x，写出f(-x)的表达式，结合f(x)计算即可；
(3)根据(2)可把不等式分离参数，利用换元法得到新的函数，根据函数的单调性求出函数的最小值即可.
【详解】解：（1）令，得，
解得．
（2）因为①，
所以②，
得，
即．
（3）由（2）知等价于．
令，
设函数，易知在上单调递增，
从而，
则，即m的取值范围为．
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第4讲 指数函数与对数函数（基础卷）
一、单选题
1．（2023秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
2．（2023·全国·高一假期作业）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
3．（2023秋·高一课时练习）设，且，则（ ）
A． B．10 C．20 D．100
4．（2023秋·高一课时练习）化简的值为（ ）
A． B． C． D．-1
5．（2023·全国·高三专题练习）区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）若，则a b c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·新疆昌吉·高三校考阶段练习）函数在区间上的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．（2023秋·四川凉山·高一宁南中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称
D．函数在R上为增函数
11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数（且）的图像过定点，则（ ）．
A． B．
C．为R上的增函数 D．的解集为
12．（2023秋·广东湛江·高一雷州市第一中学校考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为减函数
C．有且只有一个零点 D．的值域为
三、填空题
13．（2023春·云南红河·高一开远市第一中学校校考阶段练习）已知函数则 .
14．（2023·高一课时练习） ．（用数字作答）
15．（2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知且，若函数与的图象经过同一个定点，则 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数为偶函数，则 ．
四、解答题
17．（2023秋·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期末）已知函数为奇函数
(1)求实数的值及函数的值域；
(2)若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
18．（2023·高一课时练习）(1)；
(2)．
19．（2023·全国·高一学业考试）已知函数（且）的图象过点．
(1)求a的值；
(2)若，求的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间．
20．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第十中学校考期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，，用，表示.
21．（2023秋·高一课时练习）已知f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值．
22．（2023秋·山西晋城·高一晋城市第二中学校校考期末）已知函数满足．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若对恒成立，求m的取值范围．
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