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第2讲 对数与对数函数（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023春·云南红河·高二校考期中）函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·高一课时练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·北京·高三专题练习）设，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·山东日照·高二统考期末）已知函数，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．-
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023秋·四川成都·高一中和中学校考期末）若满足对定义域内任意的，都有，则称为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023秋·广东梅州·高三平远县平远中学校考期末）已知函数是偶函数，则 ．
10．（2023春·福建·高一校联考期末）已知函数，则 .
11．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为
四、解答题
12．（2023·高一课时练习）已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
13．（2023秋·河北保定·高一统考期末）已知函数，x∈[，9].
(1)当a=0时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.
14．（2023秋·甘肃临夏·高一校考期末）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
【练提升】
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高一长沙市实验中学校考期末）若a＝log54，b＝log43，c，则（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在 单调递增
3．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，.若，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
二、多选题
4．（2023秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期末）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
5．（2023秋·高一单元测试）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
三、填空题
6．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是 ．
7．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）函数的值域是 .
【练创新】
一、多选题
1．（2023春·山西大同·高一校考期中）已知函数，函数满足.则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数、满足，则
D．若函数与图象的交点为、、，则
二、填空题
2．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题
3．（2023秋·广东广州·高一广东实验中学校考期末）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
【练基础】
参考答案：
1．B
【分析】根据对数函数、根式的性质列不等式求函数定义域.
【详解】由题设，，可得.
所以函数定义域为.
故选：B
2．A
【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果
【详解】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
3．B
【分析】先换底，然后由对数运算性质可得.
【详解】.
故选：B
4．C
【分析】利用对数函数的性质即得.
【详解】∵，
∴，，，
∴.
故选：C.
5．A
【分析】根据函数的分段点代入求值.
【详解】，因为，所以.
故选：A.
6．D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断，，再对，进行取对数，结合对数函数的性质即可判断，进而即可得到答案．
【详解】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故选：D．
7．BD
【分析】利用奇函数和偶函数的定义进行判断.
【详解】因为是偶函数，所以，即，所以是奇函数.
对于A，定义域为，所以不满足题意；
对于B，定义域为，，符合题意；
对于C，定义域为，，不符合题意；
对于D，定义域为，，而，符合题意.
故选：BD.
8．CD
【分析】利用“好函数”的定义，举例说明判断A，B；计算判断C，D作答.
【详解】对于A，函数定义域为，取，则，，
则存在，使得，A不是；
对于B，函数定义域为，取，则，，
则存在，使得，B不是；
对于C，函数定义域内任意的，，C是；
对于D，函数定义域内任意的，，D是．
故选：CD
9．/0.5
【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.
【详解】由题意知：是偶函数，
则，
即：
即：
即：，解得：.
故答案为：.
10．4
【分析】根据分段函数的定义求解即可.
【详解】由，
所以，
所以.
故答案为：4.
11．3
【解析】根据具体函数的定义域建立不等式组，由已知可得答案.
【详解】由题意，函数有意义，
满足，即，
又由函数的定义域为，，
解得．
故答案为：3.
【点睛】本题考查由具体函数的定义域求参数的值，属于基础题.
12．(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为；值域为
【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；
（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域.
【详解】（1）由得：，的定义域为.
（2）令，在上单调递增；在上单调递减；
又在上单调递减，
的单调递增区间为；单调递减区间为，
，，
的值域为.
13．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意可得，结合定义域，逐步可得函数的值域；
（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.
【详解】（1）当a=0时，，x∈[，9].
∴，，
∴，
∴函数f(x)的值域为；
（2）令，
即函数的最小值为，
函数图象的对称轴为，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍）；
综上，实数a的值为或.
14．(1)或；
(2).
【分析】（1）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性进行求解即可；
（2）根据任意性的定义，结合换元法、构造函数法，然后利用函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）
由，即
计算可得或
或
故解集为：或；
（2）令，则，原式可化为在上恒成立，
记函数在上单调递增，
，故的取值范围是.
【练提升】
参考答案：
1．C
【分析】利用，得，可比较b、c，通过作商，结合基本不等式可比较a、b．
【详解】因为，所以，所以，即，
又，所以
因为
所以
即
所以
故选：C．
2．B
【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t＝||，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.
【详解】解：由，得x≠±．
又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，
∵11．
可得内层函数t＝||的图象如图，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，
又对数式y＝是定义域内的增函数，
由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，
在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减．
故选：B．
3．A
【分析】由函数性质判断函数的周期性，根据特殊值求的值，再根据函数的解析式，代入求值.
【详解】为奇函数，，
又为偶函数，，，
即，所以函数的周期为4，
由，令，易得，
，解得，
当时，.
故选：A
4．AC
【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若函数的值域为等价于的最小值为，由此可列出方程，即可求出实数的值；
若函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围；
若，，即可解出不等式；即可选出答案.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立，则，解得，故A正确；
对于B，因为的值域为，所以的最小值为，所以，解得，故B错误；
对于C，因为函数在区间上为增函数，
所以当m=0时，，符合题意；
当时，，解得；所以，故C正确；
对于D，当m=0时，，由，可得，解得，故D错误.
故选：AC.
5．BC
【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项.
【详解】函数的定义域满足 ，即，
即函数的定义域是，
∵，
设，则函数在单调递增，在单调递减，
又函数单调递增，
由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；
因为,,
所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；
又，，
所以，所以D错误．
故选：BC．
6．
【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．
【详解】解：∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
7．
【解析】先求出函数的定义域为，设，，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.
【详解】解：由题可知，函数，
则，解得：，
所以函数的定义域为，
设，，
则时，为增函数，时，为减函数，
可知当时，有最大值为，
而，所以，
而对数函数在定义域内为减函数，
由复合函数的单调性可知，
函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
∴函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.
【练创新】
参考答案：
1．AC
【分析】计算得出，可判断A选项；利用函数对称性的定义可判断B选项；分析函数的单调性，可判断C选项；利用函数的对称性可判断D选项.
【详解】对于A选项，对任意的，，
所以，函数的定义域为，
，
所以，，A对；
对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，B错；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，即，
所以，函数为奇函数，
当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，
所以，函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，故函数在上为增函数，
又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，
因为实数、满足，则，可得，即，C对；
对于D选项，由上可知，函数与图象都关于点对称，
由于函数与图象的交点为、、，
不妨设，若，则函数与图象的交点个数必为偶数，不合乎题意，
所以，，则，由函数的对称性可知，点、关于点对称，
则，，故，D错.
故选：AC.
【点睛】结论点睛：判断函数的对称性，可利用以下结论来转化：
①函数的图象关于点对称，则；
②函数的图象关于直线对称，则.
2．
【分析】恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；
（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；
（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.
【详解】（1）函数的定义或为，
函数为偶函数.
，即 ，
，
；
（2），
当时，，单调递增，
在上单调递增，
又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
，
，
解得或，
所以所求不等式的解集为 ；
（3）函数与图象有个公共点，
，
即，，
设，则，即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
，
解得，即的取值范围为.
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第2讲 对数与对数函数（分层练习）
【练基础】
一、单选题
1．（2023春·云南红河·高二校考期中）函数y＝＋lg(5－3x)的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·高一课时练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·北京·高三专题练习）设，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·山东日照·高二统考期末）已知函数，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．-
6．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．（2023秋·湖北黄冈·高三浠水县第一中学校考阶段练习）已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023秋·四川成都·高一中和中学校考期末）若满足对定义域内任意的，都有，则称为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023秋·广东梅州·高三平远县平远中学校考期末）已知函数是偶函数，则 ．
10．（2023春·福建·高一校联考期末）已知函数，则 .
11．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域，则实数的值为
四、解答题
12．（2023·高一课时练习）已知函数.
(1)求该函数的定义域；
(2)求该函数的单调区间及值域.
13．（2023秋·河北保定·高一统考期末）已知函数，x∈[，9].
(1)当a=0时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.
14．（2023秋·甘肃临夏·高一校考期末）已知函数
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意恒成立，求的取值范围.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
【练提升】
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高一长沙市实验中学校考期末）若a＝log54，b＝log43，c，则（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递增
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在 单调递增
3．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，.若，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
二、多选题
4．（2023秋·湖北武汉·高一华中师大一附中期末）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
5．（2023秋·高一单元测试）已知函数，则（ ）
A．在单调递增
B．在单调递增，在单调递减
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
三、填空题
6．（2023·高一课时练习）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是 ．
7．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）函数的值域是 .
【练创新】
一、多选题
1．（2023春·山西大同·高一校考期中）已知函数，函数满足.则（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．若实数、满足，则
D．若函数与图象的交点为、、，则
二、填空题
2．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ．
三、解答题
3．（2023秋·广东广州·高一广东实验中学校考期末）已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)解关于的不等式;
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.
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